Пособие по математике для самостоятельной работы студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

e1 , e 2 , e3

будет матрица A =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

719 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Произведением двух линейных операторов	ˆ	и	ˆ	называется
	A		B

оператор

, для которого

C x =

A ( B x ).

этом

случае

вектору

применяем

оператор

полученному новому вектору применяем оператор

. Покажем,

что

оператор

–

линейный оператор:

) =

+ λ

) =

= C (

λ x

B (λ x

x )

= A(λ

B x + λ

B x

1 1

2 2

1 1

2 2

= λ1 A(B x1 ) + λ2 A(B x2 ) = λ1C x1

+ λ2C x2 .

Пусть линейный оператор

A имеет матрицу А, линейный оператор

–

матрицу

В,

линейный

оператор

–

матрицу

С:

A ( B X ) = C Х ; ( A B) Х = C Х ; C = A B .

При умножении линейных

операторов соответствующие им матрицы перемножаются.

Определим

степени

линейного

оператора

A :

ˆ 2

ˆ 0

A ;

A A ;

E .

Образом

оператора

является

вектор

Множество всех

y =

A x .

векторов,

для которых

= 0 , называется ядром оператора. Образ и

A x

ядро линейного оператора являются подпространствами в

R n .

При

этом

размерность образа называется

рангом,

размерность

ядра

–

дефектом

линейного

оператора

Сумма ранга и

дефекта

равна

A .

размерности пространства n.

2.4. Преобразование матрицы линейного оператора при

переходе к другому базису

Пусть в пространстве R n мы перешли от базиса e , e , ..., e

к базису

h , h , ..., h .

Координаты

вектора

изменяются

по

формулам

X = P Xɶ

, где Х – столбец из координат вектора x в базисе e , e

, ..., e

Xɶ

–

столбец из координат вектора

x в базисе

h ,

...,

h ,

Р –

матрица перехода от базиса e1,e2 ,...,en

к базису h1 ,

h2 ,

...,

hn .

Рассмотрим линейный оператор

. Пусть в базисе e1 , e2 ,..., en

ему

соответствует матрица A ,

а в базисе

h 2 ,

... ,

h n

–

матрица Aɶ.

Пусть

– столбцы из координат вектора

y в базисах

y =

A x ,

и Y

e1 , e2 ,..., en

h1 ,

h 2

... ,

h n

соответственно. Тогда, по формуле (2.2):

Aɶ Xɶ

= Yɶ;

A X

= Y .

По

формулам

преобразования

координат:

;

откуда

= P

−1

X = P X

P Y

и поэтому P Y = A P X

AP X .

Следовательно,

для

любого

столбца

имеем:

− 1

A P .

A X = P

P X

; A =

Матрица

Aɶ

называется

подобной

матрице А, если существует

невырожденная матрица Р такая, что

= P

−1

A P .

2.5. Обратный оператор и его матрица

Пусть

два линейных оператора в n – мерном линейном

пространстве. Положим, что

ˆ ˆ

–

единичный оператор.

A B = E , где

В этом случае

говорят,

что

оператор

–

обратный оператор к

оператору

B .

Обозначим оператор, обратный к оператору

ˆ−1

Матрицей

A ,

этого оператора (если он существует)

будет матрица

A−1 .

Для того

, необходимо,

чтобы существовал оператор, обратный к оператору A

чтобы его матрица была невырожденной, т.е. ее определитель не равнялся нулю.

В конечномерном пространстве для невырожденного оператора									ˆ
									A
выполняется равенство				ˆ	ˆ −1	ˆ −1	ˆ	ˆ
				A A		= A	A =	E .
	2.6. Собственные векторы и собственные значения линейного
						оператора
Пусть		ˆ	линейный оператор в					линейном пространстве	R	n	.
		A –
Ненулевой вектор x Rn					называется собственным вектором оператора
ˆ	если,	ˆ		где		λ –	число, называемое собственным
A ,		A x	= λ x ,

значением этого оператора.

Совокупность собственных значений оператора называется

спектром оператора.

Выберем

линейном пространстве

R n базис

соответствует в этом базисе матрица

e1 , e2 ,..., en . Пусть оператору A

a11 a12 ...a1n

λ x1

...a2n

λ x2

a21 a22

А. Из равенства Ax =

λ x получаем:

…………

...

n 2

…a

λ x

	Имеем	систему	однородных	уравнений:
	(a11 − λ ) x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = 0,
	a21 x1 + (a22 − λ ) x2 + …+ a2 n xn
	a21 x1 + (a22 − λ ) x2 + …+ a2 n xn		= 0,	(2.3)
……………………………………				(2.3)
……………………………………

	an1 x1 + an 2 x2 + …+ (ann − λ ) xn = 0.
	an1 x1 + an 2 x2 + …+ (ann − λ ) xn = 0.

Эта система имеет	тривиальное		решение	x1 = x2 =…= xn = 0,

ненулевые решения ( x	≠ 0 ) система имеет тогда и только тогда,
		a11 − λ	a12	...	a1n
		a11 − λ	a12	...	a1n
когда её определитель равен нулю:		a21	a22 − λ	...	a2 n	= 0 .
когда её определитель равен нулю:		...... ........... ...			...	= 0 .
		...... ........... ...			...
		an1	an 2	...	ann − λ

Полученное уравнение (степени не ниже n) называется характеристическим уравнением матрицы A . Таким образом, доказали теорему:

Теорема. Собственные значения линейного оператора совпадают с корнями характеристического уравнения матрицы этого оператора.

Левую часть этого уравнения называют характеристическим полиномом линейного оператора.

Сделаем несколько замечаний:

1.Для любого собственного значения λ существует бесконечное множество собственных векторов k x , k – вещественное число.

2.Если линейный оператор действует в действительном линейном пространстве, то многочлен P (λ ) имеет действительные

коэффициенты. Если n – нечётное, то характеристическое уравнение имеет, по крайней мере, один действительный корень. Линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

3. Линейный оператор не может иметь больше чем n различных собственных значений, т.к. характеристическое уравнение имеет степень не ниже n.

	ˆ
4. Собственные векторы x1 ; x2 ; …, xm линейного оператора		с
	A

попарно различными собственными значениями λ1 , λ2 ,…,λm линейно независимы.

5.Если все n корней характеристического полинома λ1 , λ2 , …,λn

различны, то соответствующие им собственные векторы x1 ,…,xn

образуют		базис		n–мерного				пространства	(т.к.	они	линейно
независимы).			Построим				матрицу оператора		ˆ	в этом	базисе.
независимы).			Построим				матрицу оператора		A	в этом	базисе.
Поскольку		ˆ			;		ˆ		матрица имеет вид:
Поскольку		A x1	= λ1 x1		;	… ; A x n		= λ n x n , то эта	матрица имеет вид:
λ1	0	0	0
0	λ	0	0
A =	2			.
… … … …

0	0	0	λn

6. Собственные векторы линейного оператора ˆ ,

соответствующие данному	собственному значению λ , вместе с
нулевым вектором образуют подпространство Rλ Rn .
2.7. Оператор простой структуры
ˆ	действующий в линейном пространстве Х,
Линейный оператор A ,

называется оператором простой структуры, если в этом пространстве


имеется базис из собственных векторов оператора					ˆ
имеется базис из собственных векторов оператора					A .
Теорема.	Для	того	чтобы существовал базис			из собственных
векторов оператора		ˆ	необходимо и достаточно,			чтобы каждому
векторов оператора		A ,	необходимо и достаточно,			чтобы каждому
собственному	значению			соответствовало	столько		линейно
независимых собственных векторов, какова его кратность.

В силу того, что одному и тому же линейному оператору в различных базисах соответствуют подобные матрицы, эту теорему можно сформулировать так: преобразование, приводящее матрицу оператора к диагональному виду, существует тогда и только тогда, если каждому собственному значению соответствуют столько линейно независимых собственных векторов, какова кратность собственного значения.

Примеры решения типовых задач

Пример 2.1. Найти матрицу линейного оператора		, если
	E

	=
E x	=	x .
		Решение
			x	в	произвольном базисе
Координаты векторов E x и			x	в	произвольном базисе
e 1 ,	e 2 ,	e 3 связаны соотношениями:	у1	= x1 ,	y2 = x2 , y3 = x3 .

Переписав эти соотношения в виде формул (2.1), получим:

y1 = 1 x1 + 0 x2 + 0 x3 , y2 = 0 x1 + 1 x2 + 0 x3 , y3 = 0 x1 + 0 x2 + 1 x3 .

Откуда следует, что матрица			Е оператора				в произвольном
Откуда следует, что матрица			Е оператора			E	в произвольном
	1		0	0
базисе является единичной:
базисе является единичной:	E =	0	1	0	.
		0	0	1
		0	0	1

Пример	2.2.	Найти	матрицу	линейного			оператора	ˆ	,	если
Пример	2.2.	Найти	матрицу	линейного			оператора	A	,	если
ˆ
A x = k x .
			Решение
Координаты		векторов	ˆ	и	k x в	произвольном		базисе
Координаты		векторов	A x	и	k x в	произвольном		базисе
e 1 , e 2 , e 3	связаны соотношениями:				у1 = kx1 ,	y2	= kx2 , y3 = kx3 .
Переписав эти соотношения в виде формул (2.1), получим:
y1 = k x1 + 0 x2 + 0 x3 ,

y2 = 0 x1 + k x2 + 0 x3 , y3 = 0 x1 + 0 x2 + k x3 .

Откуда следует, что матрицей оператора подобия в произвольном

Пример 2.3. Найти матрицу В линейного оператора вращения	ˆ
Пример 2.3. Найти матрицу В линейного оператора вращения	B ,
действующего в плоскости OXY.
Решение

Возьмем в плоскости ортонормированный базис i , j и введем

полярную систему координат. Тогда координаты вектора x запишутся в виде: x1 = ρ cos ϕ , x2 = ρ sin ϕ , где ρ и ϕ – полярные координаты

вектора x .

= ˆ

Так как вектор y Bx получается поворотом вектора x вокруг

точки О на угол α , то его координаты запишутся в виде y1 = ρ cos (ϕ + α ) = ρ(cosα cosϕ − sinα cosϕ),

y2 = ρ sin (ϕ + α ) = ρ(sinα cosϕ − cosα sinϕ).

Раскрывая скобки и подставляя вместо ρ cosϕ и ρ sin ϕ

соответственно х1 и х2 , получим формулы линейного преобразования координат вектора на плоскости:

y1 = x1 cosα − x2 sin α , y2 = x1 sin α − x2 cosα.

Откуда следует, что матрицей оператора вращения в

ортонормированном

базисе

пространства

будет

матрица

cos α

− sin α

B =

cosα

sin α

Пример 2.4.

базисе

j, k

написать

матрицу

оператора

проектирования P на плоскость

α : х + y + z = 0.

Решение

Оператор

проектирования

на

плоскость

α определяется

равенством

, где x

−

ортогональная проекция вектора x на

P x

= x

n x

плоскость α . Имеем

Pa x

= x

− xn

= x

−

прn x

= x −

где n

– нормальный вектор плоскости α . В рассматриваемом случае

и, следовательно,

= i + j + k

P i = i −

−

j −

k ,

P j = j −

= −

i −

j −

k ,

P k = k −

= −

i −

j −

k ,

откуда

2 / 3 −1/ 3 −1/ 3

P =

−1/ 3 2 / 3 −1/ 3

−1/ 3 −1/ 3

2 / 3

Пример 2.5. Найти собственные векторы и собственные значения

ˆ	1		2
оператора A , если его матрица	A =			.
		2	1

Решение Составим характеристическое уравнение для матрицы линейного

оператора	ˆ
	A и решаем его:

	1 − λ	2	= 0, (1	− λ )2 − 4 = 0, 1 − λ = ± 2, λ = 3, λ = −1.
			= 0, (1	− λ )2 − 4 = 0, 1 − λ = ± 2, λ = 3, λ = −1.
	2	1 − λ			1		2
	2	1 − λ
Мы нашли собственные значения оператора						ˆ
Мы нашли собственные значения оператора						A .
Возьмем λ1 = 3				и	подставим в уравнение		(2.3). В результате
получим систему:
(1− 3)m1 + 2n1 = 0,					−2m1 + 2n1 = 0,
		+ (1− 3)n1 = 0.
2m1		+ (1− 3)n1 = 0.			2m1 − 2n1 = 0.

Поскольку определитель этой системы равен нулю, второе уравнение является следствием первого и его можно отбросить. Тогда

имеем −2m1 + 2n1 = 0,	откуда m1 = n1 .				Возьмем, например, m1 = n1 = 1.
				1	=	{ }
Тогда получим собственный вектор х					=	1;1 .
Подставим λ1 = −1 в уравнение (2.3). Получим систему:
(1− (−1))m1 + 2n1	= 0,	2m1	+ 2n1	= 0,
			+ 2n1
2m1 + (1− (−1))n1	= 0.	2m1	+ 2n1	= 0.

Поскольку определитель этой системы равен нулю, второе уравнение является следствием первого и его можно отбросить. Тогда имеем 2m1 + 2n1 = 0, откуда m1 = −n1 . Возьмем, например, m1 = n1 = 1.

Тогда получим собственный вектор х1 = {−1;1}.

Пример 2.6. Найти собственные значения и собственные векторы

7	−12	6
оператора, заданного матрицей	−19	.
10	−19	10
	− 24
12	− 24	13

Составим		и	решим	характеристическое	уравнение:
7 − λ	−12	6
7 − λ	−12	6
10	−19 − λ	10	= 0,
12	−24	13 − λ
					27

−(7−λ)(19+λ)(13−λ) −12 10 12−6 10 24+6 12(19+λ) +24 10(7−λ) +10 12(13−λ) =0,

− (133 −12λ − λ2 ) (13 − λ ) −1440 −1440 +1368 + 72λ +1680 − 240λ +
										.
+1560 −120λ = 0,
− 1729 + 133 λ + 156 λ − 12 λ2 + 13λ2 − λ3 − 288 λ + 1728 = 0 .
	(	)		(	) (	)	(	)	(	)
−λ 3+λ 2+λ −1= 0; −λ 2		λ −1	+λ −1,		λ −1	−λ 2+1	= 0,−	λ −1	2	λ +1 = 0
Отсюда: λ 1 = λ 2 = 1 , λ 3 = − 1 .
Пусть:	λ 1 = λ 2 = 1 , тогда получаем систему:
6m1 −12n1 + 6 p1 = 0,			m1 − 2n1 + p1 = 0,
	− 20n1 +10 p1		m1 − 2n1 + p1 = 0,					m1 = 2n1 − p1 . Ранг
10m1	− 20n1 +10 p1	= 0,			− 10n1 + 5 p1		= 0.	m1 = 2n1 − p1 . Ранг
	− 24n1 +12 p1	= 0.	5m1		− 10n1 + 5 p1		= 0.
12m1	− 24n1 +12 p1	= 0.

системы равен единице, поэтому фундаментальная система решений

состоит из двух решений. Пусть

n =1,

p = 0, m = 2, ,тогда x

1,1

−1

Если n = 0, p =1,m = −1, , то

1,2

8m2 −12n2 + 6 p2 = 0,

Если λ 3= −1; то 10m2 −18n2 +10 p2 = 0, .

+14 p2 = 0.

12m2 − 24n2

4m − 6n + 3 p = 0,

4m − 6n + 3p = 0,

Ранг системы равен двум:

;

5m2 − 9n2 + 5 p2 = 0.

6n2 − 5 p2 = 0.

Если p2

= 6 , то m 2

= 3 , n 2

= 5 ; и

x2,1

p2 .

Пример

2.7.

Для

линейного

= ( x1

+ 2x2 + x3 , x1

− x3 , x1 + x2 ) ,

действующего

оператора Ax

пространстве R3 , определить ранг и дефект, а также найти базисы образа и ядра.

Решение

Для представления арифметических векторов и заданного

линейного оператора воспользуемся каноническим базисом в R3 . В
1 2		1
этом базисе матрица оператора имеет вид A = 1	0	−1 .
1	1	0

По определению y является образом вектора x R3

в том и только

в том случае, когда найдется вектор

такой,

или в

что у

= Ах ,

координатной записи,

1 2

1 x1

Y = AX = 1 0

−1

= x1

1 + x2

+ x3 −1 .

(2)

1 1

Равенство (2) означает, что образ совпадает с линейной оболочкой системы столбов матрицы A . Следовательно, ранг оператора

Аˆ совпадает с рангом его матрицы, т.е. равен двум, а в качестве базиса может быть выбран любой из базисов системы столбцов матрицы A ,

	1		2
например, E1	= 1	, E2	=	0	.
				1
	1			1

Аналогично,		x является ядром оператора в том и только в том
случае, когда	ˆ	= 0 , или, в координатной записи,
случае, когда	Ах	= 0 , или, в координатной записи,
1 2	1	x1	0
AX = 1 0	−1	x2	= 0	.	(3)
1 1	0	x3	0

Отсюда следует, что ядро оператора совпадает с подпространством

решений однородной				системы (3),		т.е. дефект оператора		ˆ	равен
решений однородной				системы (3),		т.е. дефект оператора		А	равен
nA = n − rA = 3 − 2 = 1,			в		качестве	базиса может	быть	выбрана
									1
фундаментальная система решений системы (3), например, E =									−1 .
									1
	Задачи для самостоятельного решения.
	и		–	линейные операторы.
1.Пусть A	и	B	–	линейные операторы.
1.1. Пусть				2 , x
1.1. Пусть	x = { x1 , x			2 , x	3 } , A x = { x 2	− x3 , x1 , x1 + x 2 } , B x = { x 2 , 2 x3 , x1 } .
2
Найти: ( A	+ B)x.

1.2. Пусть x =		{x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
									29

Найти:		2			2
Найти:	( A	− B			) x.

1.3. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:						2
Найти:	(3B		− 2 A			) x.

1.4. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:	3
Найти:	B x.

1.5. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:		2
Найти:	( B	−		2 A) x.

1.6. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:				+
Найти:	( A( B			+	A)) x .

1.7. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:			2
Найти:	( A B		) x.

1.8. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:				−
Найти:	( A( B			−	A)) x.

1.9. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:				2			2
Найти:	2(B +			2 A		+ B	) x.

1.10. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:				−
Найти:	( B	( A		−	B )) x.

1.11. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:			−			2
Найти:	2( В		−	A +		В ) x.

1.12. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:				+
Найти:	( В	( A		+	В)) x .

1.13. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:		+
Найти:	( A	+	ВA −			В)x.

1.14. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:					2
Найти:	( В	+ 2 A			) x.

1.15. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]