Теорема 7.2 (О количестве простых чисел)

Множество простых чисел неограничено.

Доказательство

Доказывать эту теорему будем также методом «от противного». Предположим, что количество простых чисел ограничено. Это озна-

чает, что существует наибольшее простое число P.

Тогда возьмем все простые числа, меньшие либо равные P, и перемножим их, обозначив произведение Q:

Q = 2 3 5 7 P .

Рассмотрим число Q+1. Оно не делится ни на одно из чисел, меньших себя: 2, 3, 5, 7, …, P – в остатке всегда будет 1. Следовательно, число Q+1 само является простым числом, но ведь оно больше P.

Предположив существование конечного количества простых чисел, мы пришли к противоречию, тем самым доказав теорему.

7.3. Функция Эйлера

Еще одно важное понятие теории чисел, которое нашло применение в асимметричной криптографии, – взаимно простые числа.

Целые числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Это отношение обозначается как (a,b)=1.

Числовая функция, ставящая в соответствие любому натуральному числу n количество натуральных чисел ≤ n , взаимно простых с n, называется функцией Эйлера числа n и обозначается ϕ(n). Нам будут полезны некоторые свойства функции Эйлера.

Свойство 1

Если p-простое число, то ϕ(p)= p −1.

Доказательство

Доказательство этого свойства очевидно. Если p – простое число, то оно взаимно просто со всеми числами меньше себя, то есть с числами 1, 2, 3, …, p-1. Таких чисел ровно p-1.

59

Свойство 2

Если p – простое число, а натуральное число n представимо в виде n = pα , где α - целое, то ϕ(n)= pα − pα−1 .

Доказательство

Если число n представимо в виде степени простого числа, то оно взаимно просто со всеми числами меньшими себя или равными себе (та-

ких чисел ровно n = pα ), за исключением тех, которые кратны p. У последних с n будет общий делитель p, следовательно, они не будут взаимно простыми.

Рассмотрим последовательность чисел ≤ n и кратных p:

1 p,2 p,3 p, , pα−1 p .

Очевидно, что таких чисел ровно pα−1 .

Таким образом, количество чисел, меньших либо равных n и взаимно простых с ним, составляет pα − pα−1 .

Свойство 3

Если натуральные числа m и n взаимно просты, то

ϕ(m n)= ϕ(m) ϕ(n).

Доказательство

Это свойство называется свойством мультипликативности функции

Согласно определению функции Эйлера, чтобы найти ϕ(mn), нужно подсчитать, сколько в этой таблице чисел, взаимно простых с mn.

Но взаимно простыми с произведением mn являются те и только те числа, которые взаимно просты и с m и с n. Поэтому сначала отберем из таблицы те числа, которые взаимно просты с m.

Числа каждого из столбцов таблицы принадлежат одному классу вычетов по модулю m, следовательно, они имеют одинаковый с m наиболь-

60

ший общий делитель (см. теорему 2.2). Поэтому если одно из чисел столбца взаимно просто с m, то и все остальные числа столбца также взаимно просты с m. Поэтому мы можем посчитать столбцы чисел, взаимно простых с m, очевидно, судя только по количеству таких чисел только в одной строке, например в первой, где их ровно ϕ(m).

Итак, в нашей таблице столбцов чисел, взаимно простых с m, ровно

ϕ(m).

Рассмотрим теперь произвольный столбец таблицы, например k-тый: k, m+k, 2m+k, 3m+k, …, (n-1)m+k.

Числа этого столбца имеют форму ml+k, где l пробегает полную систему вычетов 0, 1, 2, …, n-1 по модулю n.

Так как m и n – взаимно простые числа, то столбец является такой совокупностью чисел, которая независимо от k образует полную систему вычетов по модулю n и содержит ϕ(n) чисел, взаимно простых с n.

Таким образом, в таблице имеется ϕ(m) ϕ(n) чисел, взаимно простых с m и n одновременно.

Тем самым теорема о мультипликативности функции Эйлера дока-

зана.

Свойство 4

Следствие из свойств 2 и 3. Если n = p1α1 p2α2 pkαk – каноническое

Доказательство

Доказательство приведем в виде последовательности выкладок:

ϕ(n)= ϕ(p1α1 )ϕ(p2α2 ) ϕ(pkαk )=

= (p1α1 − p1α1 −1 )(p2α2 − p2α2 −1 ) (pkαk − pkαk −1 )=

61