3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Более глубокое познание предметной области приводит к очередному периоду развития науки на более высоком – методическом (теоретическом) уровне. Для методического уровня характерны такие познавательные приёмы, как выдвижение гипотез, моделирование, абстрагирование, идеализация, обобщение, мысленный эксперимент и др.

Моделирование – метод исследования, основанный на построении моделей.

Модель – объект (или явление), который отображает или воспроизводит свойства другого объекта или явления (оригинала) и используется для его исследования.

Абстрагирование – процесс мысленного выделения, вычленения отдельных или общих интересующих в данный момент признаков, свойств, отношений предмета и мысленного отвлечения от множества других признаков, свойств, отношений этого предмета [5, 7].

Идеализация – мыслительный акт, связанный с образованием некоторых абстрактных объектов, которые не могут быть созданы на практике опытным путём [7].

Обобщение – логический процесс перехода от единичного к общему, от менее общего к более общему знанию, а также результат этого процесса: обобщённое понятие, суждение, закон науки, теория [6, 7].

Теоретический уровень научного знания предполагает наличие особых абстрактных объектов (конструкторов) и связывающих их теоретических законов, создаваемых в целях идеализированного описания и объяснения ситуаций, т.е. в целях познания сущности явлений. Оперирование с объектами теоретического уровня, с одной стороны, может осуществляться без обращения к эмпирии, а с другой стороны, предполагает возможность перехода к ней, реализующуюся в объяснении уже имеющихся и предсказании новых фактов. Все теоретические дисциплины так или иначе уходят своими историческими корнями в практический опыт. Однако в ходе развития отдельные науки отрываются от своей эмпирической базы и развиваются сугубо теоретически (например, математика), возвращаясь к опыту только в сфере своих практических приложений [7].

Результатом развития науки на теоретическом (методическом)

уровне является разработка методических (теоретических) основ нау-

ки соответствующей предметной области. Методические основы составляют следующие элементы:

− понятийный аппарат, включающий совокупность специфиче-

ских понятий, категорий, терминов и определений данной науки;

16

−научно-методический аппарат, объединяющий совокупность разработанных в ходе развития науки и практики, принятых к широкому использованию (т.е. апробированных на практике, прошедших экспертизу специалистов, официально признанных и опубликованных) решений научных и практических задач, приводящих к получению научных результатов, обладающих вполне определённой гарантированной степенью достоверности. Наиболее совершенными формами организации знаний в рамках создания научно-методического аппара-

та являются метод и теория;

−теоретические научные данные – совокупность научных выво-

дов и рекомендаций, полученных в результате применения методов и теорий данной науки в интересах непосредственной отдачи практике.

Научно-методический аппарат науки, в сущности, представляет собой арсенал средств описания, объяснения и предсказания явлений (процессов) соответствующей предметной области, объединяющий как средства теоретического исследования, базирующиеся на использовании методов тех или иных имеющихся или складывающихся теорий, так и средства экспериментального исследования, основывающиеся на применении методов и технических средств (устройств, установок

ит.д.) экспериментирования.

Элементами научно-методического аппарата являются поста-

новки и методы решения научных и практических задач, в том числе математические методы, модели и алгоритмы, а также их конкретные реализации в виде методик и средств (вычислительных, моделирующих, испытательных и др.) теоретического и экспериментального исследования. Термин «научно-методический аппарат» обычно не упоминается в энциклопедических изданиях, но широко применяется в практике защиты и экспертизы диссертаций в связи с тем, что для соответствующей ему совокупности элементов требуется особое краткое название. Элементы научно-методического аппарата создаются с учётом вполне определённых ограничений и допущений, что влияет на область их применимости.

Допущения – предположения, положенные в основу упрощения описания реального объекта (процесса), используемые при исследовании.

Ограничения – требования к форме представления и пределам изменения варьируемых данных, вводимые при исследовании.

Допущения и ограничения, характеризующие границы, определяющие масштаб исследования в целом (по времени, пространству, исходным данным), называют рамками исследования (например, рамки

17

Метод – совокупность приёмов или операций практического или теоретического освоения действительности, подчинённых решению конкретной задачи [7], т.е. способ получения научных данных.

Методика – совокупность методов, приёмов целесообразного проведения какой-либо работы. Такое определение встречается часто, но оно неудачно, так как практически совпадает с определением метода. Правильнее считать методикой конкретизированную в пространстве и времени детальную последовательность операций по реализации данного метода. Методика также определяет оборудование и материалы, количество и технологию опытов, затраты времени и средств, другие элементы исследования.

Таким образом, метод выбирают (например, метод эксперимента), а методику детально прописывают, т.е. метод говорит о том, что надо делать для получения научного результата, а методика – как и каким образом это делать.

Теория – высшая, самая развитая форма организации научного знания, дающая целостное представление о закономерностях и существенных связях определённой области действительности – объекта данной теории [7].

Теория и метод не представляют собой два совершенно различных, независимых объекта [6, 7]. Именно это отражает приведённое выше название второго компонента науки как основ методических (теоретических). В самом деле, понятие теории может быть рассмотрено с двух точек зрения, одна из которых тяготеет к отражению формы, а другая – к изложению содержания.

С точки зрения содержания: теория есть систематизированные и обобщённые знания о закономерностях и особенностях развития явлений рассматриваемой предметной области.

Как отмечено в работе [7], «любая теория по существу выступает в функции метода при построении других теорий в данной или даже в иных областях знаний, или в функции метода, определяющего содержание и последовательность экспериментальной деятельности. Поэтому различие между методом и теорией носит функциональный характер». Студентам магистратуры, аспирантам и соискателям учёной степени кандидата наук предлагается самостоятельно определить взаимосвязь теорий и методов на примере, например теории оптимального управления или других видов теорий, используемых в их научноисследовательской работе.

К необходимым признакам теории следует также отнести:

− неочевидность, т.е. нетривиальность теоретических положений, способов получения результатов и(или) самих получаемых результатов, обеспечивающая появление ситуации, когда «и без теории всё ясно»;

18

−прагматичность – теория, как и метод, должна быть приложима к практике, т.е. должна давать научные обоснования выводов и рекомендаций, полезных для практической деятельности.

В наиболее общем случае теория как система знаний представляет собой ту или иную композицию элементов первых двух компонентов конкретной науки – её эмпирических и методических основ соответствующей ей предметной области. В структуре теории (научного метода), следуя работу [7], можно выделить следующие основные эле-

менты:

−исходная эмпирическая основа, которая включает множество зафиксированных фактов, разработанных эмпирических гипотез и концепций, выявленных эмпирических соотношений, относящихся к объекту данной теории;

−исходная теоретическая основа – понятийный аппарат тео-

рии, множество первичных идеализаций (типа «абсолютно чёрное тело, точечный объект поражения»), теоретических гипотез и концепций (представление об электрическом токе как о жидкости, о группировке противовоздушной обороны как системе массового обслуживания), исходных допущений, аксиом (постулатов), в совокупности описывающих идеализированный объект теории;

−логика (логические основы) теории – множество допустимых в рамках теории правил логического вывода и доказательства, а также теоретических конструкций в виде общих и частных моделей, формульных описаний, расчётных соотношений и т.п.;

−совокупность сформулированных в теории (теоретических) выводов и рекомендаций (в том числе принципов, закономерностей или даже законов) с их обоснованиями, составляющая основной массив теоретического знания.

Логически взаимосвязанные элементы теории, представляющие собой общие и частные решения научных и практических задач соответствующей предметной области, в совокупности образуют научно-

методический аппарат данной теории.

Каждая теория создаётся при вполне определённых допущениях и ограничениях, что влияет на область её применимости: она описывает, объясняет и предсказывает вполне определённую совокупность фактов, свойств и явлений той предметной области, к науке которой эта теория относится. Основываясь на общественной практике и давая целостное, достоверное, систематически развиваемое знание о существенных связях и закономерностях действительности, теория выступает как наиболее совершенная форма научного обоснования и программирования практической деятельности [7].

19

Подводя итог сравнению теории и метода, следует особо отметить, что теория в основном представляет собой описывающие, объясняющие и доказывающие знания, отвечая главным образом на вопросы «каково то или иное: что, зачем и почему».

Метод – это предписывающие знания, дающие ответ на вопросы «каким образом: что, за чем и когда». Каждый метод воплощает соответствующую теорию (либо теории). Каждая теория в качестве своей важнейшей составляющей части включает ту или иную совокупность методов (объяснения, доказательства и др.).

Теория как научный метод в наиболее развитом виде включает в качестве элементов своего научно-методического аппарата следующий набор более элементарных методов, охватывающих все основные этапы познания применительно к той предметной области, к которой она относится:

−методы сбора (наблюдения и регистрации с требуемыми подсчётами и измерениями) фактов, имеющих отношение к объекту теории;

−методы содержательного, формализованного и формального описания фактов, а также вытекающих из них свойств идеализированного объекта теории и выражаемых этими свойствами факторов, определяющих развитие исследуемых явлений (процессов);

−методы анализа (оценки, сопоставления, сравнения, классификации, упорядочения, систематизации) исследуемых фактов, свойств, факторов и явлений по тем или иным показателям и критериям;

−методы обоснования научных выводов, среди которых могут быть выделены методы построения (синтеза), доказательства и методы оценки достоверности;

−методы выбора и обоснования научных рекомендаций, в том числе методы построения (синтеза), оценки и оптимизации;

−методы интерпретации и экспериментальной проверки выводов и рекомендаций;

−методы технико-экономической оценки рекомендаций. Содержательное описание – это описание на естественном (про-

фессиональном или научном) языке.

Формальное описание – описание в специфических терминах и символьных обозначениях той или иной теории.

Формализованное описание – содержательное описание с элементами формального описания.

Процесс перехода от содержательного к формализованному и формальному описанию (процесс формализации) развивается от использования первичных идеализаций через выдвижение теоретических концепций к построению на основе располагаемого (или вновь созда-

20

ваемого) научно-методического аппарата более или менее общей теоретической модели рассматриваемых явлений (процессов).

Факторы – это причины, обстоятельства, движущие силы, определяющие причинно-следственные связи в рассматриваемом явлении (процессе).

Показатель – качественная или количественная характеристика, вводимая для оценки отдельного свойства или совокупности свойств рассматриваемого объекта (процесса). Показатель обычно имеет наименование, обозначение и значение. Различают количественные показатели (значение – численная величина) и качественные показатели (значение – словесное, неколичественное описание меры проявления рассматриваемого свойства или совокупности свойств).

Критерий – необходимый и(или) достаточный признак, на основе которого производится оценка (классификация) или выбор объекта по значениям одного критериального показателя (простой критерий) или нескольких показателей (сложный критерий).

Теоретические исследования позволяют глубоко проникнуть в суть тех или иных процессов и реализуются в несколько этапов [8]:

−анализ сущности процесса;

−формулирование гипотезы процесса;

−разработка модели;

−проведение исследования, опираясь на полученную модель, как правило, с привлечением компьютера, используя стандартное или оригинальное программное обеспечение;

−анализ полученных решений;

−теоретические умозаключения (выводы).

Целью теоретического исследования является установление взаимосвязей между выходными и входными параметрами технической системы и выявление некоторой закономерности (аналитической или регрессионной зависимости).

Задачами теоретического исследования являются:

1)обобщение результатов исследования, нахождение общих закономерностей путём обработки опытных данных;

2)возможность распространения результатов исследования на аналогичные процессы без повторения исследований (речь идёт об универсальности предложенных зависимостей);

3)изучение объекта, недоступного для исследования;

4)повышение надёжности экспериментального исследования (обоснование параметров и условий наблюдений, точности измерений).

Наиболее широко используемые общенаучные методы теоретиче-

ских исследований: расчленение и объединение.

21

Суть метода расчленения заключается в том, что система взаимосвязи объектов (параметров) расчленяется на простейшие составные части и выделяются значимые и незначимые параметры, а также связи между ними. Изучается вид взаимосвязи элементов, и осуществляется моделирование. С учётом значимости параметров модель претерпевает упрощения и вводятся некоторые допущения.

Суть метода объединения заключается в том, что реализуется комплексный подход к изучению объекта. Осуществляется переход от дифференциации к интеграции. Система не дробится, а рассматривается как единое целое. Находят решение, удовлетворяющее условиям решения этой системы.

Из распространённых методов творческого мышления при теоретических исследованиях можно назвать:

−«мозговой штурм»;

−экспертный метод;

−метод «маленьких человечков»;

−теорию решений изобретательских задач;

−морфологический анализ.

При «мозговом штурме» группа специалистов (до 10 человек) из различных областей знаний в течение 40…50 мин генерирует идеи для решения поставленной задачи теоретического исследования. Идеи фиксируются, анализируются учёными, которые будут решать поставленную задачу.

При экспертном методе используют знания и опыт экспертов в исследуемой области.

При методе «маленьких человечков» процессы, происходящие в системе, представляют для наглядности в виде рисунков (схем), что облегчает получение единой картины взаимодействий.

При использовании теории решений изобретательских задач реализуется следующий алгоритм:

−анализ исходной ситуации;

−анализ задачи;

−анализ модели задачи;

−разрешение противоречий;

−анализ возможности устранения противоречий;

−развитие полученного решения;

−анализ хода решения.

При морфологическом анализе из массива возможных решений выбирается лучшее, соответствующее требованиям технического задания. Решается оптимизационная задача.

22

Решение практических задач математическими методами осуществляется путём реализации следующего алгоритма:

−разработка математической модели;

−выбор метода проведения исследования математической модели;

−анализ полученного математического результата. Математическая модель – система формул, функций, уравнений,

средствами которых описывается то или иное явление, процесс, объект в целом. При разработке модели нужно учитывать все реально существующие связи факторов и параметров, хотя при этом нельзя забывать о возможности последующего решения математической модели. Следует прибегать к каким-либо упрощениям, допущениям, аппроксимациям. Для модели физического процесса необходимо определить:

1)область или границы применения модели;

2)физические ограничения;

3)требуемую точность результатов;

4)константы и переменные процесса;

5)управляемые переменные;

6)неуправляемые переменные.

В теоретических исследованиях следует выделить детерминированные и вероятностные математические методы, которые могут быть статическими и динамическими.

Детерминированные статические методы опираются на алгебру и дифференциальные уравнения с независимыми от времени аргументами.

Детерминированные динамические методы опираются на интегральные уравнения, дифференциальные уравнения с частными производными, теорию автоматического управления.

Вероятностные статические методы опираются на алгебру, теорию вероятностей и теорию информации, а вероятностные динамические – на дифференциальные уравнения, теорию случайных процессов и теорию автоматов.

Кроме этого, не следует забывать о роли численных методов решения задач. Например, в решении нелинейных уравнений – это метод деления отрезка пополам, хорд, касательных, простых итераций, Ньютона; в решении интегралов – метод прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона); в решении дифференциальных уравнений – методы семейства Рунге– Кутта, метод конечных разностей, метод Эйлера и др.; в решении оптимизационных задач – метод перебора, «золотого» сечения, покоординатного спуска, градиентного спуска, линейного программирования; в решении аппроксимационных задач – логарифмические, степенные, показательные ряды и многочлены.

23

Классификация математических моделей

Параметры математических моделей могут иметь различную «математическую природу»: могут быть постоянными величинами, функциями, скалярами, векторами, тензорами различных рангов и т.д.

Варианты описания неопределённых параметров:

1)детерминированное – каждому параметру модели соответствует конкретное целое, вещественное, комплексное число, либо функция;

2)стохастическое – значения отдельных параметров определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятностей;

3)случайное – значения отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, полученными в результате обработки экспериментальной выборки данных параметров;

4)интервальное – отдельные параметры задаются интервальными величинами от минимального до максимального значений;

5)нечёткое – параметры модели описываются функциями принадлежности нечёткому множеству («много больше пяти», «около нуля» и т.д.).

Разделение моделей на одномерные, двухмерные, трёхмерные зависит от координат пространства, увеличение размерности усложняет модель и предполагает использование многопроцессорных компьютеров с использованием языков параллельных вычислений:

1)в квазистатических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации;

2)в динамических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования велика по сравнению со скоростью релаксации;

3)в стационарных процессах значения параметров в фиксированной точке модели не зависят от времени;

4)в нестационарных процессах время является существенной независимой переменной.

Методы реализации математических моделей подразделяются на аналитические и алгоритмические. При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечноразностным аналогом и последующим приближенным решением алгебраических уравнений. Разработка и использование численных методов является предметом вычислительной математики.

При имитационном моделировании на отдельные элементы разбивается сам объект исследования, система математических соотношений заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы.

24

Методы построения математических моделей [9]

В настоящее время используется три метода построения математических моделей – аналитический, экспериментальный и эксперимен- тально-аналитический.

Аналитическим методом составления математического описания обычно называют способы вывода уравнений статики и динамики на основе теоретического анализа физических и химических процессов, происходящих в исследуемом объекте, учёте конструкций аппаратуры и характеристик перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, а также кинетические закономерности процессов химических превращений, переноса тепла и массы.

Для составления аналитическими методами математического описания не требуется проведения каких-либо экспериментов на объекте. Поэтому такие методы пригодны для нахождения статических и динамических характеристик вновь конструируемых объектов.

Параметры (коэффициенты) составленных уравнений функционально зависят от определённых размеров химико-технологического аппарата (диаметров, длин и т.д.), свойств обрабатываемых веществ (плотность, вязкость и т.д.) и величин, характеризующих протекание физико-химических процессов (констант скорости реакций, коэффициентов диффузии и др.).

Некоторые параметры уравнений могут быть определены расчётным путём или получены по результатам ранее выполненных лабораторных исследований какого-либо процесса. В большинстве же случаев для получения численных значений коэффициентов требуется постановка специальных лабораторных опытов по изучению каждого из происходящих в объекте процессов. Это существенно увеличивает затраты времени на получение математического описания.

Экспериментальный метод построения математической модели заключается в получении зависимостей выходных координат объекта от входных путём проведения эксперимента на объекте. При этом не исследуются физико-химические процессы, происходящие в объекте, не учитываются внутренние связи и структура процесса. Такие модели получили название модели типа «чёрный ящик».

Экспериментально-аналитический метод построения математи-

ческих моделей заключается в аналитическом составлении уравнений, описывающих поведение объекта, проведении эксперимента на действующем объекте и определении по результатам эксперимента параметров уравнений.

25

Параметры полученного математического описания имеют определённый физический и химический смысл или характеризуют конструкцию аппарата.

Использование экспериментальных данных, полученных при испытании конкретного объекта, позволяет учесть все его индивидуальные особенности.

Основные этапы построения математических моделей аналитическим методом

1.Выбор объекта исследования.

2.Изучение объекта. Проводится ознакомление с конструкцией объекта и протекающими в нём физико-химическими процессами.

3.Составление структурной схемы объекта. Исследуемый объект условно разделяется на ряд звеньев. В качестве звеньев в объектах выделяют участки, которые или являются повторяющимися элементами конструкции аппарата (тарелка в ректификационной колонке), или отличаются от других участков типом проходящих в них процессов, или конструктивно представляют самостоятельную часть.

Задача составления структурной схемы объекта является весьма ответственной и трудноформализуемой.

С проблемой рационального расчленения объекта на звенья тесно связана задача принятия системы допущений. В общем случае обсуждаются и затем принимаются или отвергаются следующие важнейшие допущения: о стационарности процессов в элементе; об учёте тех или иных физико-химических явлений, имеющих место в данном звене и др.

В целом вся система допущений направлена, как правило, на упрощение и обоснование принятой структурной схемы исследуемого объекта.

4.Составление математического описания отдельных звеньев. Для каждого звена составляются уравнения материального и энергетических балансов, кинетики химических реакций и т.д.; записываются граничные условия и уравнения связи с другими, соседними звеньями.

5.Определение параметров уравнений. Для нахождения коэффициентов и других параметров уравнений необходимо знать физикохимические свойства перерабатываемых веществ, константы скоростей, учитываемых в математическом описании химических реакций, коэффициенты теплопередачи и т.д. Необходимо знать также все определяющие геометрические размеры звеньев.

Часть этой информации можно найти в соответствующей технической и научной литературе, для определения же некоторых коэффициентов и констант требуется постановка специальных лабораторных исследований.

26

Определение коэффициентов и других параметров уравнений очень часто является исключительно трудоёмкой и кропотливой работой.

6.Составление и анализ уравнений всего объекта. В математическое описание входят уравнения отдельных звеньев и связей между ними, граничные и начальные условия, а также ограничения на диапазоны входных и выходных координат.

7.Выбор методов решения уравнений модели.

Решение системы уравнений модели, как правило, осуществляется на вычислительной машине методами, известными из вычислительной математики. Системы алгебраических уравнений можно решить итерационными методами, обыкновенных дифференциальных – методами семейства Рунге– Кутта, дифференциальных в частных производных – разностными методами.

8. Оценка точности математического описания объекта, которая оценивается сравнением выходной величины, рассчитанной по модели и на объекте, при одинаковых входных переменных.

Количественно точность может оцениваться одним из следующих показателей:

n

Ф1 = 1 ∑( yi − yiэ)2 , n i =1

где n – количество экспериментов; y – выходная величина, рассчитанная по модели; yэ – выходная величина, измеренная на объекте в процессе эксперимента;

Ф2 = max yi − yiэ .

Вопрос о том, при каком значении Ф1 и Ф2 считать математическое описание адекватным объекту, а при каком требовать уточнение уравнений модели, является исключительно сложным и не имеет однозначного ответа. Выбор такого значения критерия тесно связан с целевым назначением математического описания и осуществляется в каждом конкретном случае по-своему.

27