Обработка статистической информации при испытаниях игровых автоматов с денежным выигрышем с целью утверждения их типа. Учебное пособие

6.ВОЗМОЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ χ2 ПИРСОНА

И3σ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ ИАДВ

Вразделе 4.2 при рассмотрении применения критерия Колмогорова – Смирнова для анализа результатов игр на ИАДВ было сделано предположение об их случайном характере и о применимости к описанию их вероятностей биномиального распределения. Оказывается, что это предположение может быть проверено экспериментально, а соответствующая проверка может рассматриваться как способ установления независимости результатов игр от особенностей оператора (игрока) или как методика испытания той части игровой программы, которая ответственна за случайный характер выигрышей в slot-автоматах и первый выброс карт

вИАДВ покерного типа. Это испытание можно осуществить с

помощью хорошо известного в метрологической практике критерия χ2 Пирсона.

Вернемся к последовательности результатов игр (30) и снова обратим внимание на то, что каждая комбинация карт (для автоматов покерного типа) или картинок (для slot-автоматов) появля-

ется с соответствующей вероятностью pi. Другими словами, каждый результат игры в последовательности игр характеризуется своей вероятностью появления. Эти вероятности могут быть теоретически вычислены исходя из правил игры.

Вкачестве примера рассмотрим оценку вероятностей некоторых выигрышных комбинаций в ИАДВ покерного типа, где с помощью игровой программы при первой раздаче происходит случайный выброс 5 карт из колоды в 52 карты.

Вбольшинстве автоматов порядок выброса карт не важен. Поэтому имеется 5! = 120 возможных различных комбинаций выброшенных для игры карт. Если имеется колода из 52 карт, то при случайных выбросах из этой колоды 5 карт число возможных различных комбинаций карт равно числу сочетаний из 52

элементов по 5, т.е. С525 = 2 598 960.

Если интересна вероятность выпадения какой-то выигрышной комбинации, то эта вероятность равна числу возможных способов реализации такой комбинации, деленному на полное число возможных различных комбинаций, т.е. на 2 598 960. Теперь вычислим вероятности некоторых выигрышных покерных комбинаций.

51

Королевский флеш (правильная последовательность карт от девятки до короля одной масти). Число таких последовательностей равно 4 (1 для каждой масти).

Флеш (правильная последовательность карт одной масти, в которой старшими картами могут быть пятерка, шестерка, семерка, восьмерка, девятка, десятка, валет, дама, король). Таким образом, имеется 9 возможных старших карт для каждой из 4 мастей, т.е. имеется 9 4 36 возможных способов образования рассматриваемой комбинации.

36

Соответствующая вероятность 0,00013852 . 2598 960

Четыре одинаковые картинки. Имеется 13 возможностей

(по числу разных рангов) выбросить 4 карты с одинаковыми рангами. 5-я карта может быть любой из оставшихся 48, т.е. имеется возможность 13 48 624 способами образовать рассматриваемую комбинацию.

Фул (3 одинаковые картинки плюс 2 другие одинаковые картинки). Имеется 13 возможностей (по числу разных рангов) выбросить 3 одинаковые картинки и 12 возможностей выбросить 2 другие одинаковые картинки. Поскольку имеется только 4 кар-

Аналогично можно рассчитать вероятность pj любой выигрышной комбинации, предусмотренной таблицей выигрышей конкретных ИАДВ, в том числе и slot-автоматов. Вычислив вероятности выигрышных комбинаций, из предположения, что все события, реализующиеся в данном автомате, образуют полную группу событий, можно также вычислить вероятность появления

52

комбинаций, не приводящих к выигрышу. Так, вероятность появления невыигрышных комбинаций для одного из вариантов ИАДВ покерного типа равна 0,54679803.

Таким образом, в дальнейшем будет предполагаться, что тео-

ретические вероятности pj реализации любых комбинаций, предусмотренных игровой программой ИАДВ, известны.

Имея под рукой последовательность результатов игр (30), можно подсчитать количество ki появлений той или иной комбинации, т.е. ki 0, 1, 2, , n, где индексом i нумеруются комбина-

ции, предусмотренные игровой программой, число которых равно ν, при этом в число комбинаций входят как выигрышные, так и проигрышные, а n — полное число игр. Нетрудно видеть, что

i 1

Если предположить, что результаты игр действительно являются случайными, и рассматривать только сам факт выигрыша или проигрыша, тогда вероятности этих результатов должны подчиняться биномиальному закону распределения. Однако если интересоваться значениями выигрышных результатов, определяющимися видом той или иной конкретной комбинации карт или картинок, в этом случае вероятности результатов игр при их случайном характере должны описываться полиномиальным законом распределения

т.е. появления комбинаций карт или картинок должны образовывать полную группу событий.

Отметим, что биномиальный закон распределения вероятностей является частным случаем полиномиального закона.

Известно, что при использовании критерия χ2 Пирсона за меру расхождения экспериментальных данных (30) с теоретическим законом распределения вероятностей (67) принимается сумма квадратов отклонений частот появления комбинаций от теорети-

53

ческих вероятностей pi этих комбинаций, при этом каждое слага-

емое суммы берется с весом n , т.е. pi

где ki — частота появления i-й комбинации. n

При большом объеме, характерном для выборки, используемой при испытаниях ИАДВ, выражение (69) можно сравнить с

аргументом хорошо известной функции распределения χ2 Fν – 1(x) с (ν – 1) степенями свободы, определяемой выражением

Распределение плотности вероятности для этой функции обсуждалось в разделе 1.4 (формула 26).

Теперь, задавшись уровнем вероятности Р, равным, например, 0,9973, можно определить критическое значение квантиля распределения χ2 из уравнения

Испытание игровой программы можно считать успешным, если значение величины (69) удовлетворяет условию

зультатов игр в последовательности (30) действительно являются случайными, а соответствующее распределение вероятностей

например, для Р = 0,9973 и числа степеней свободы ν – 1 = 25

иной. Эта оценка может быть найдена путем численного решения уравнения (71).

Критерий χ2 Пирсона может быть использован как метод прямого тестирования качества игровой программы, что в свою очередь является еще одним способом совершенствования рассматриваемой методики.

54

Уже говорилось, что для обнаружения скрытых тенденций или детерминированных закономерностей в результатах игр, полученных на ИАДВ, применяется метод ранговых корреляций, который был рассмотрен в предыдущих разделах. При всех достоинствах этого метода он обладает одним существенным недостатком, а именно: он не является методом прямого тестирования качества входящей в состав игровой программы подпрограммы (генератора случайных чисел), обеспечивающей случайность первого выброса карт в ИАДВ покерного типа или набора картинок в slot-автоматах. При применении метода ранговых корреляций в результаты игр искусственно вводится предполагаемая тенденция или закономерность, а для этого необходимо провести серьезный предварительный анализ этих результатов с целью обнаружения хотя бы косвенных указаний на присутствие указанных особенностей, что при больших объемах выборки, используемой при испытаниях ИАДВ, сделать практически невозможно. Это обстоятельство в значительной степени сужает возможности метода при испытаниях ИАДВ, поскольку при его использовании существует большая вероятность не угадать или не увидеть отклонения от случайного характера работы игровой программы, если такие отклонения присутствуют. Поэтому хотелось бы иметь в распоряжении испытателей ИАДВ такой метод обработки статистической информации, который позволил бы проводить непосредственное исследование игровой программы без предварительного анализа информации, относящейся к результатам игр, в том смысле, о котором говорилось выше. В качестве такого метода тестирования игровой программы может быть использован хорошо известный метрологам критерий 3σ.

Предполагается, что статистическая информация, которую необходимо обрабатывать при рассматриваемых исследованиях, представляет собой численный массив данных, определяемый только свойствами игровой программы.

Применение критерия 3σ для указанной цели, как и использование критерия χ2 Пирсона, предполагает знание значений вероятностей выпадения тех или иных выигрышных комбинаций в ИАДВ разных типов, т.е. предполагается, что эти вероятности известны.

Целью испытания является проверка равенства экспериментально найденной вероятности появления той или иной теоретически вычисленной комбинации.

55

Для этого снова рассмотрим последовательность результатов игр (30), полученную при отмеченных выше условиях. Далее

подсчитывается kj — число появлений j-й комбинации. Если последовательность результатов игр (30) действительно случайна,

то число появлений kj должно подчиняться биномиальному закону распределения вероятностей, который, как известно, при большом числе испытаний N описывается формулой Муавра – Лапласа (13) (см. раздел 1.3):

этом среднее число появлений ‹ kj › рассматриваемой комбинации

и соответствующее среднеквадратическое отклонение σj вычисляются по формулам

Таким образом, интервальная оценка неопределенности появления kj раз j-й комбинации имеет вид:

где t — параметр, определяющий ширину доверительного интервала.

При использовании критерия 3σ доверительная вероятность Р принимается равной 0,9973 и критерий (75) принимает вид:

Если число появлений kj j-й комбинации оказывается внутри интервала (76), то с вероятностью 0,9973 можно утверждать, что результаты игры являются случайными событиями, подчиняющимися нормальному закону распределения вероятностей (13). Критерий (76) следует далее применить для всех выигрышных комбинаций, число которых равно ν. Если же число появлений какой-то комбинации оказывается вне интервала (76), то необходимо понять причину этого и перед владельцами игрового автомата поставить задачу устранения этой причины.

56

В заключение этого раздела необходимо сделать следующее замечание: на самом деле критерий (76) является необходимым, но недостаточным условием установления случайного характера последовательности игр (30). В принципе можно расположить выигрышные комбинации таким образом, чтобы критерий (76) удовлетворялся, но появление результатов было бы вполне предсказуемым. Например, можно располагать выигрышные комбинации последовательно друг за другом, подбирая частоту их появления так, чтобы критерий (76) удовлетворялся. Поэтому критерий 3σ следует применять одновременно с другими критериями, устанавливающими необходимое «перемешивание» результатов игр, такими, как, например, метод итераций или критерий χ2, которые были описаны выше.

7. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

ПРИ ИСПЫТАНИЯХ ИГРОВЫХ АВТОМАТОВ

Можно рассматривать два пути совершенствования методики обработки статистической информации при испытаниях игровых автоматов:

1. Расширение класса статистических критериев, используемых для оценки статистических гипотез, относящихся

крезультатам игр.

2.Частичный выход за пределы метода «черного ящика», который используется в методике МИ 2562–2001, и дополнение его испытаниями исходного кода игровой про-граммы, в частности, кода, относящегося к генератору случайных чисел.

Прежде всего, поскольку в правилах ПР 50.2.023–2000 в явном виде сформулировано требование о независимости результата игры от результатов предшествующих игр и от игры других игроков, методику МИ 2562–2001 необходимо дополнить методами испытаний на соответствие игровых автоматов и этим требованиям. В принципе, для этих целей при некоторой модификации может быть использован метод ранговых корреляций, принятый в методике (соответствующий пример приведен в разделе 2.1). Однако его использование сопряжено с необходимостью выполнения целого ряда дополнительных условий, что затрудняет его применение. В этой ситуации более простым и эф-

57

фективным представляется обычный корреляционный метод. Для этого необходимо провести дополнительные исследования на возможность использования этого метода при испытаниях ИАДВ.

Что касается первого пути совершенствования методики испытаний ИАДВ, сформулированного выше, то примером такого развития могут служить критерий χ2 Пирсона и 3σ, рассмотренные в предыдущем разделе.

Обсуждение этих критериев приводит к выводу, что наиболее радикальным решением отмеченных выше проблем является исследование исходного кода игровой программы, в частности, исследование ГСЧ.

Предварительный анализ показывает, что использование в игровых устройствах ГСЧ гауссовского типа недопустимо и что для игровых устройств должны использоваться только ГСЧ, характеризующиеся равномерным распределением вероятностей во всем диапазоне изменения значащих величин, как этого требует сам характер честной игры. Только при выполнении этого требования можно быть уверенными в том, что пользователи услуг, предоставляемых игровым бизнесом, действительно имеют дело с его величеством Случаем, а не являются объектами сомнительных и недопустимых манипуляций. Вместе с тем разработка критериев испытаний ГСЧ применительно к ИАДВ находится в начальной стадии, и требуется определенное время для решения этой задачи.

58

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.ПР 50.2.009–94. ГСИ. Порядок проведения испытаний и утверждения типа средств измерений.

2.ПР 50.2.023–2000. ГСИ. Правила проведения испытаний игровых автоматов с денежным выигрышем с целью утверждения типа и контроля за их соответствием утвержденному типу.

3.Р 50.2.007–2001. ГСИ. Порядок аккредитации центров испытаний игровых автоматов.

4.МИ 2562–2001. ГСИ. Игровые автоматы с денежным выигрышем. Методика обработки статистической информации при испытаниях с целью утверждения типа.

5.Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. – М.: ИНФРА-М, 2003.

6.Elster C., Bronder Th., Richter D. Automatische Prűfung von Geldspielgeräten mit statistischen Metoden // PTB-Mittellungen, 107, 2/97.

7.Кендэл М. Ранговые корреляции. – М.: Статистика, 1975.

8.Gáti E. Mathematical control of randomness of gambling devices // OIML bulletin, v. XL, 1999, N 4.

9.Акимов А.А., Кудеяров Ю.А., Кузнецов В.П. Статистическая обработка результатов испытаний игровых автоматов с денежным выигрышем // Законодательная и прикладная метроло-

гия. — 2001. — № 5.

10.Кудеяров Ю.А., Спроге А.Г. Критерии согласия, используемые при статистической обработке результатов испытаний игровых автоматов с денежным выигрышем // Законодательная и прикладная метрология. — 2001. — № 6.

11.Кудеяров Ю.А. Использование критерия «3-сигма» при испытаниях игровых автоматов с денежным выигрышем с целью утверждения их типа // Законодательная и прикладная метроло-

гия. — 2002. — № 1.

59