Обработка статистической информации при испытаниях игровых автоматов с денежным выигрышем с целью утверждения их типа. Учебное пособие

Выражение (45) позволяет вводить критерии достоверности тех или иных утверждений относительно частоты итераций и анализировать данные на предмет их соответствия введенным критериям. Эти общие соображения проиллюстрируем применением метода итераций для анализа статистических данных при испытаниях ИАДВ.

Целью испытаний является установление отсутствия тенденций в частоте появления результатов игр с низкими и высокими выплачиваемыми суммами. Другими словами, последовательности выигрышных игр с низкими или высокими выплачиваемыми суммами не должны реализовываться в течение длительных промежутков времени, они должны быть случайным образом перемешаны.

Как и в испытании по определению коэффициента корреляций, все результаты игр, расположенные хронологически, разбивают на блоки и формируют последовательность суммарных результатов игр. Хотя выше говорилось, что разбиение на блоки зачастую усредняет результаты игр и не позволяет выявить достаточно тонкие детали последовательностей результатов игр, тем не менее в данном испытании разбиение на блоки не влияет на результаты анализа. Члены последовательности образуют выборку суммарных результатов игр

После этого выборка (46) для Аi преобразуется в двоичную по-

В новой последовательности Аi , состоящей из нулей и единиц, подсчитывают количество итераций (последовательностей) r0 членов с одинаковыми нулевыми значениями и количество итераций r1 членов с одинаковыми единичными значениями. Полное число итераций r = r0 + r1.

Как уже указывалось, асимптотическая частота итераций U подчиняется нормальному закону распределения и вычисляется

41

по формулам (43)–(45), где теперь вместо n1 надо использовать

n0, а вместо n2 — n1.

Результат испытаний считается положительным, если для асимптотической частоты итераций выполняется условие (38). Это означает, что с вероятностью 0,9987 частоты выпадения больших и малых сумм денежных выигрышей не проявляют нежелательных тенденций.

4. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИГР

4.1. Определение критериев согласия

Во многих статистических задачах предполагается, что случайные величины, с которыми приходится иметь дело, характеризуются заданным распределением с известными или неизвестными параметрами, и далее, исходя из этого предположения, делаются те или иные выводы. Чем лучше известно распределение вероятностей, тем точнее и надежней статистические выводы. Однако при этом, естественно, возникает вопрос о степени соответствия предполагаемого распределения случайной величины реальному распределению, определяемому экспериментально. Другими словами, не вступает ли предполагаемая статистическая модель в противоречие с имеющимися данными? Для решения этой задачи используются статистические критерии согласия.

Критериями согласия называют статистические критерии, предназначенные для обнаружения расхождений между предполагаемой (гипотетической) статистической моделью и реальными данными, которые эта модель призвана описать.

Лучше всего критерии согласия работают в ситуации, когда наблюдения представляют собой случайную выборку. Теоретическая модель в этом случае описывает функцию распределения. В дальнейшем, когда речь пойдет о теоретической модели (теоретическом распределении), всегда будет подразумеваться распределение, обусловленное случайным выбором. Представление о теоретических распределениях может дать не только теория. Источниками знаний о них могут быть и традиция, и прошлый опыт, и предыдущие наблюдения.

42

При использовании критериев согласия имеют дело со следующими функциями распределения:

G(x) — истинная функция распределения, которой подчиняются наблюдения (присущая наблюдениям их объективная характеристика);

Fn(x) — эмпирическая (выборочная) функция распределения (эмпирическое, наблюдаемое проявление истинной функции распределения);

F(x) — предполагаемая (гипотетическая, теоретическая) функция распределения.

Гипотеза Н о том, что предполагаемая (теоретическая) функция распределения F(x) является истинной функцией G(x), записывается в виде:

где G(·) — множество всех возможных истинных функций распределения;

F(·) — множество всех возможных теоретических функций.

Если гипотеза Н верна, то, согласно теореме Бернулли (7), при увеличении объема выборки (т.е. при n → ∞) различие

между эмпирическим проявлением Fn(x) истинной функции и теоретической функцией F(x) должно убывать, уменьшаться,

т.е. Fn(x) → F(x) при n → ∞. Для количественного выражения различия между рассматриваемыми функциями применяются разные способы, часть из которых (используемая при испытаниях ИАДВ) будет рассмотрена далее.

Когда говорят о теоретическом законе распределения, который описывает элементы данной выборки, различают простые

исложные гипотезы об этом законе:

простая гипотеза прямо указывает некое распределение вероятностей, описывающее выборочные значения;

сложная гипотеза указывает не единственное распределение, а какое-то их множество.

Понятно, что методы проверки согласия с простыми и сложными гипотезами должны быть различны. В дальнейшем будут анализироваться лишь простые гипотезы. Использование простых гипотез обусловлено тем, что данные о результатах игр, полученные при испытаниях ИАДВ, являются числами, распределение которых может быть полностью описано указанием их функции распределения.

43

4.2. Применение критерия согласия Колмогорова – Смирнова при испытаниях ИАДВ

Прежде несколько слов о самом критерии. Критерий Колмогорова – Смирнова основан на так называемой статистике

Колмогорова Dn, в которой рассматривается «расстояние» между функциями Fn(x) и F(x) и которая вводится соотношением

Из этого определения следует, что Dn — случайная величина, поскольку ее значения зависят от случайного объекта Fn(x).

Эта последняя величина положительна, так как G не совпадает с F. Такое различие в поведении Dn в зависимости от того, верна

гипотеза Н или нет, позволяет использовать Dn как статистику для проверки Н.

При больших значениях n для распределения Dn (при справедливости гипотезы Н) верна предельная теорема Колмогорова. Она сформулирована для статистики nDn (поскольку сама ве-

личина Dn → 0, если гипотеза Н справедлива, то приходится умножать ее на неограниченно возрастающую величину, чтобы распределение стабилизировалось). Теорема утверждает, что

где z — фиксированное значение аргумента функции распределения. В сборниках таблиц можно найти значения этой функции.

Строго говоря, критерий Колмогорова – Смирнова справедлив только для непрерывных функций распределения F(x), в то время как наша исходная выборка результатов игр является дискретной и для нее необходимо использовать критерий χ2 Пирсона, специально сформулированный для дискретных случайных величин. Однако при больших объемах выборок, с которыми приходится иметь дело при испытаниях ИАДВ, использование непрерывных функций распределения вполне оправдано. Кроме того, критерий Колмогорова более полно использует ин-

44

формацию, содержащуюся в выборке, по сравнению с критерием χ2, и соответствующее распределение быстрее сходится к предельным значениям.

Обсуждаемый критерий был впервые применен в 1940 году А.Н. Колмогоровым для анализа данных о распределении гибридов различных сортов гороха, воспроизводящих опыты Менделя, на основе которых сформулированы соответствующие законы наследственности.

Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом критерий Колмогорова может быть применен для обработки статистических данных при испытаниях ИАДВ.

В немецкой методике испытаний ИАДВ критерий Колмогорова применяется для проверки того, что последовательности результатов игр с проигрышем не являются слишком большими и что длина таких последовательностей носит случайный характер. В МИ 2562–2001 этот критерий используется для той же цели.

При общем числе n игр выделяется число nА игр с выигрышем. Теперь имеется возможность рассчитать вероятность выиг-

В 1.3 было показано, что вероятность P(s) появления хотя бы одного выигрыша в серии результатов из s игр (s 1) описывается биномиальным законом распределения и вычисляется по фор-

муле (14), т.е.

где p — вероятность выигрыша, определяемая формулой (51). В частности, P(1) = p, P(2) = р(2 – р) и т. д.

По терминологии предыдущего раздела функция P(s), определяемая формулой (52), является теоретической функцией распределения.

Для нахождения эмпирической функции распределения хронологическая последовательность результатов игр (30) разбивается на серии таким образом, чтобы каждая серия обязательно включала в себя последовательность игр с проигрышем до появления первого выигрыша. В случае, когда последовательность результатов игр (30) начинается с проигрыша, первая серия включает в себя все игры до первой выигрышной игры, результат ко-

45

торой включается в эту серию. Нетрудно видеть, что минимальный размер серии в этом случае s = 2. Следующая серия начинается с первого результата последующей игры. Если этот результат является выигрышным, то серия включает в себя все выигрышные и проигрышные результаты вплоть до появления первого выигрышного результата после серии проигрышей. В этом случае минимальная серия состоит из трех игр. Если же первый результат является проигрышным, то серия образуется по такому правилу, как и первая. Если последовательность (30) начинается с выигрышной игры, то первая серия состоит из всех выигрышных и проигрышных результатов вплоть до появления первого выигрыша после последовательности проигрышей, а далее разбиение ведется так, как описано выше. Нетрудно видеть, что при таком способе разбиения исходной последовательности результатов отсутствуют серии с s = 1. Однако из-за того, что при применении критерия Колмогорова – Смирнова существенны в основном серии с s, много бóльшими единицы, то при больших размерах серий эмпирическая функция реально не отличается от функции, где имеются серии с s = 1. Рассматриваемая проблема возникла из-за того, что выделение серий с s = 1 не является однозначным.

Если теперь зафиксировать длину s полученных серий, то число выигрышей nr в каждой r-й серии будет разным. Веро-

где Rs — число серий, содержащих последовательности игр дли-

ной s; ns — общее число игр, отвечающих сериям длиной s

( ns sRs ).

По аналогии с формулой (52) эмпирическая функция распределения последовательностей игр с проигрышами PRs (s) должна

вычисляться по формуле

где вероятность pRs определяется формулой (53). По формуле

46

вычисляется контрольный параметр DR асимптотической формы критерия согласия Колмогорова – Смирнова. Здесь индексом R обозначено число серий длины s, соответствующей максимальному различию между теоретической и эмпирической функцией.

Результат испытаний считается положительным, если контрольный параметр DR, вычисленный по формуле (55), удовлетворяет условию

где 1–р — квантиль асимптотического распределения Колмогорова – Смирнова (50).

Если, например, р = 0,0025, это означает, что условие (56) выполняется с вероятностью 0,9975, т.е. можно утверждать, что с этой же вероятностью последовательности результатов игр с про-игрышем в исходной хронологической последовательности результатов (30) не превышают значений, разрешенных условием

(56).

Для апробации критерия Колмогорова – Смирнова был использован покерный игровой автомат фирмы «Recreativos Franco S.A.» (Испания). На этом автомате было проведено 46 000 игр, в результате которых был получен соответствующий массив данных. На основе этого массива были проведены вычисления вероятностей выигрышей в последовательностях игр с различными длинами проигрышных серий и проверено соответствие этих длин критерию согласия Колмогорова – Смирнова. Было получено, что наибольшее различие DR между эмпирической и теоретической функциями наблюдалось для серий длиной s = 11 и составило 0,13. При этом число таких серий R оказалось равным 83. Поскольку соответствующее значение квантиля асимптотического распределения Колмогорова – Смирнова для уровня значимости р = 0,0025 составляет 1,8, то полученное значение DR удовлетворяет неравенству (56). По результатам апробации был сделан вывод о том, что данный ИАДВ удовлетворяет требованию отсутствия тенденций в выпадении проигрышей в хронологической последовательности результатов игр.

Отметим, что предельная теорема (50) была предложена Н.В. Смирновым и, кроме того, например, в ГОСТ 11.002–73 «Прикладная статистика. Правила оценки аномальности резуль-

47

татов наблюдений», приводится разработанный им же критерий согласия, который по своему смыслу и форме аналогичен критерию Колмогорова. Поэтому в литературе иногда критерий, рассмотренный в этом разделе, называют критерием Колмогорова – Смирнова.

5.КВОТА ВЫПЛАТЫ

В1.1 отмечалось, что квота выплаты не должна быть меньше определенного значения. Это значение во избежание произвола должно устанавливаться законодательным путем. Задача испытателей ИАДВ должна заключаться в том, чтобы контролировать значение квоты выплаты. Здесь необходимо отметить, что для проведения такого контроля должен использоваться числовой массив результатов игр, полученный при реальной, а не при «слепой» игре. Для slot-машин это может быть массив, полученный с учетом результатов не только основной игры, но и дополнительных игр, при этом число дополнительных игр должно быть ограничено, скажем, одной игрой. Для автоматов покерного типа,

как уже говорилось, имитацией реальной игры является игра с использованием автохолда, а при отсутствии такового — с использованием типовой стратегии.

Задача контроля квоты выплаты может решаться двумя способами.

Первый способ основан на использовании показаний счетчиков ставок и выплат, которыми снабжены ИАДВ. Если говорить о выплате игрокам, то за достаточно длительный период времени (порядка полугода) она складывается из наличных денег С, выплаченных им по результатам игр с выигрышем, и из кредита С, который использовался игроками в качестве ставок, уменьшенного на величину В ставок в виде денег. Таким образом, квота выплаты К определяется выражением

Метод контроля квоты выплаты, основанный на соотношении (57), лежит в основе соответствующего раздела венгерской

48

методики испытаний. Отметим также, что выражение (58) совпадает с определением квоты выплаты в немецкой методике. При этом, однако, нужно помнить, что ставки в таком случае должны делаться только в виде денег или средств, их заменяющих.

Второй метод контроля квоты выплаты, изложенный в МИ 2562–2001, основан на использовании статистических методов обработки информации о результатах игр.

После разбиения результатов игр на N блоков с одинаковым числом k игр в каждом блоке для каждого i-го блока (i — индекс блока разбиения) вычисляют сумму квот выплат

где l — индекс игры;

X il — процент выигрыша в l-й игре i-го блока.

где Cil — выплата;

Bil — денежная ставка в соответствующей игре.

При этом, естественно, предполагается, что ставки в играх были сделаны в денежной форме, либо в форме, ее заменяющей.

Оценка среднего значения квоты выплаты вычисляется по формуле

Далее вычисляется коэффициент Стьюдента ts

где X min — заданное минимальное значение квоты выплаты, а оценка дисперсии полученного t-распределения (т.е. распределения Стьюдента) находится стандартным образом:

49

где tN 1, p — квантиль порядка р t-распределения с (N – 1) степенями свободы.

Уже отмечалось, что р выбирается равным 0,0025, т.е. является малым. Таблицы коэффициентов Стьюдента, отвечающие таким малым значениям уровня значимости, отсутствуют. Поэтому условие (63) должно быть переписано с учетом свойства симметрии коэффициентов Стьюдента:

Таким образом, если это условие выполняется, то с вероятностью 0,9975 среднее значение процента выигрыша будет превы-

шать X min , т.е. X X min .

Заметим, что, поскольку в описанном случае используется статистический критерий (65), это испытание, несмотря на то, что оно основано на результатах «реальной» игры, можно также рассматривать как испытание, подтверждающее, что эти результаты действительно определяются случаем.

Испытания с использованием формулы (58) значительно проще, чем статистические испытания. Однако статистический метод обработки результатов игр позволяет, как уже отмечалось, установить не только выполнение условия на квоту выплаты, но и убедиться в том, что результаты игр определяются случаем.

С помощью числового массива результатов игр, который упоминался в 2.1, т.е. на покерном игровом автомате фирмы «Bally Gaming», была проведена оценка по формуле (58) средней квоты выплаты. Она оказалась равной 0,8 в режиме основных игр и 0,78 — в режиме дополнительных игр, что удовлетворяет требованиям ПР 50.2.023.

Таким образом, мы обсудили методы испытаний ИАДВ, изложенные в методике МИ 2562–2001. В последующих разделах рассмотрены дополнительные методы испытаний, которые пока не вошли в методику испытаний, и обсуждаются пути возможного развития и совершенствования методики МИ 2562–2001.

50