Обработка результатов многократных измерений. Критерии исключения грубых погрешностей. Методические рекомендации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Шклярова Е. И.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. КРИТЕРИИ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Альтаир-МГАВТ

Москва

2011

Шклярова Елена Исааковна

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. КРИТЕРИИ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Компьютерная верстка: Нистратов И.Н.

Подписано в печать _____. ______.2010 Формат 60x90/16. Объем 1 п. л.

Заказ № ______ Тираж________экз.

Альтаир - МГА ВТ

117105 г. Москва, Новоданиловская набережная, д. 2, корп. 1

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Шклярова Е. И.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. КРИТЕРИИ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Альтаир-МГАВТ

Москва

2011

УДК 389.15 Ш–66

Шклярова Е.И. Обработка результатов многократных измерений. Критерии исключения грубых погрешностей. Методические рекомендации. –

М.: Альтаир-МГАВТ, 2011.– 16 с.

Лабораторная работа посвящена обработке результатов многократных равноточных измерений. На примере многократных измерений твердости динамическим методом проводится экспериментальное применение критериев исключения грубых погрешностей (промахов). В работе используются критерий «трех сигм» и критерий Романовского. Студенты осваивают современный метод измерений, учатся рассчитывать моменты распределения для нормального (гауссова) закона распределения с использованием методик прикладной статистики. Содержание лабораторной работы соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта.

Методические рекомендации предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Метрология, стандартизация и сертификация» по специальностям 180101, 180103, 180403, 190602, 190701, 270104.

Рецензент: кандидат технических наук, профессор В.И. Волхонов.

Рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе на заседании кафедры судостроения и судоремонта (протокол № 1 от 28.04.2011).

Рекомендовано к изданию Учебно–методическим советом МГАВТ.

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебно– методические материалы.

© МГАВТ 2011 © Шклярова Е.И.

СОДЕРЖАНИЕ

Обработка результатов многократных равноточных измерений. Критерии исключения грубых погрешностей (промахов)

1.Цель работы.

Практическое применение критериев исключения грубых погрешностей (промахов) для результатов многократных равноточных измерений. Исходными экспериментальными данными для последующего расчета являются результаты по многократному измерению твёрдости в динамическом режиме (так называемой «твёрдости по отскоку») на приборе ТЭМП–3 «твёрдомер электронный малогабаритный переносной программируемый»). Анализируемый образец — сталь 20ХНГ, алюминиевый сплав или стекло.

2.Основные сведения

Обработка результатов прямых многократных равноточных измерений должна проводиться в соответствии с ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

Дискретной величиной называют такую величину, возможные значения которой представляют собой последовательность действительных чисел. Результаты наблюдений называются равноточными (равнорассеянными), если они являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами.

Для обработки используется конечный ряд из n (n 4) результатов измерений (наблюдений) x1, x2 ,…, xn , так называемая выборка. Число n зависит от реальной возможности проведения некоторого количества замеров и требований к точности конечного результата. Обработка результатов производится в следующей последовательности. Из результатов наблюдений исключают известные систематические погрешности путем введения поправок и работают с исправленным рядом результатов наблюдений.

1. Определяются точечные оценки закона распределения результатов наблюдений

а) Определяется точечная оценка математического ожидания (МО) – среднего

арифметическогоx исправленных результатов:

б) Определяется точечная оценка среднеквадратичного отклонения (СКО):

n

где D(x) — точечная оценка дисперсии, которая рассчитывается:

n

(xi x)2

При n>20 деление производят на n.

в) Из рассмотрения исключаются грубые погрешности (промахи). Сомнительными могут быть максимальные или минимальные результаты наблюдений.

г) После исключения промахов производится повторный расчет среднего арифметическогозначенияx иточечнойоценки среднеквадратичногоотклоненияСКО(Sx).

2. Определяют закон распределения результатов измерений либо случайных погрешностей измерений. Наиболее универсальный способ описания случайной величины, в том числе случайной погрешности — нахождение ее интегральной или дифференциальной функции распределения. Интегральная функция распределения результатов наблюдений — это зависимость от величины х вероятности того, что результат наблюдения Х i будет не более х. Это записывается

случайных погрешностей совпадают, но начало координат для случайной погрешности находится в нулевой точке. Интегральная функция распределения

функции плотности распределения вероятности. Интегральная функция распределения является безразмерной. Размерность плотности распределения вероятности p(x) обратно пропорциональна размерности измеряемой величины.

Вероятность попадания результата наблюдения Х (или случайной погрешности сл) в заданный интервал численно равна площади под соответствующим участком кривой плотности распределения вероятности.

Для расчета погрешностей от выборки результатов измерений x1, x2 ,…, xn

переходят к выборке отклонений от среднего арифметического: x1, x2 , …, xn , где

xi xi x.

По исправленным результатам измерений xi

выборку (так называемый вариационный ряд yi , где

вариационном ряду результаты измерений либо отклонения результатов измерений от среднего арифметического xi располагают в порядке возрастания.

Полученный ряд разбивают на оптимальное число «m» (как правило, одинаковых) интервалов длиной «l», так называемых интервалов группирования.

l y1 yn . m

Оптимальным считают такое число «m», при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуаций сопровождается минимальным искажением от сглаживания самой кривой распределения. Для практического применения «m» можно определять по формулам:

mmin 0,550,4 и mmax 1,250,4 .

Значение m mmax mmin должно быть нечетным (либо середина кривой распределения искусственно уплощается). Полученное значение длины интервала «l», округляется в большую сторону, чтобы последняя точка не оказалась за пределами крайнего интервала.

Знания реального закона распределения измеряемых величин необходимы, поскольку числовые значения вероятностных характеристик могут существенно различаться при различных законах распределения.

Для прямых многократных равноточных измерений при большом числе наблюдений ( ≥ 50) может быть проведена оценка близости распределения экспериментальных результатов измерений (либо случайных погрешностей измерений) к нормальному (гауссову) закону распределения (проверка соответствия закона распределения гауссову распределению выходит за рамки настоящей лабораторной работы). В настоящей работе предполагается нормальное (гауссово) распределение результатов наблюдений.

Для нормального закона распределения (закона Гаусса) функция плотности распределения вероятности имеет вид:

где — отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины (вместо истинного используют близкое к истинному действительное значение измеряемой величины),

— среднеквадратическое отклонение (СКО); = .

Кривые плотности распределения вероятности погрешностей для нормального (гауссова) распределения приведены на Рис. 1.

Рис. 1. Кривые плотности распределения вероятности для нормального распределения случайных погрешностей (распределения Гаусса)

Закон распределения Гаусса однозначно характеризуется указанием двух параметров — математического ожидания и среднеквадратического отклонения (либо дисперсия = ). На практике имеют дело с ограниченным числом наблюдений, т.е. имеют дело с выборкой из генеральной совокупности. Оценку точности измерений проводят по ограниченному (иногда довольно большому) числу наблюдений и в результате получают одно число. Это называется точечной оценкой.

Выборка — ряд значений, принимаемых случайной величиной в ограниченном числе n независимых опытов. Оцениваются математическое ожидание и СКО функции распределения (функции для оценок имеют различный вид в зависимости от закона распределения плотности вероятности).

Оценка математического ожидания результатов наблюдений:

Математическое ожидание — это координата по оси х центра равновесия фигуры, ограниченной осью х и графиком p(x).

Оценка СКО случайной погрешности единичного измерения (наблюдения):

Предварительно определяют закон распределения результатов измерений либо случайных погрешностей измерений. В большинстве случаев при обработке прямых равноточных измерений исходят из предположения нормального (гауссова) закона распределения результатов и погрешностей измерений. В настоящей работе также исходят из предположения о нормальном (гауссовом) законе распределения результатов и погрешностей измерений. Закон Гаусса однозначно характеризуется указанием двух параметров — математического ожидания и дисперсии (либо корня квадратного из дисперсии — среднеквадратического отклонения СКО). При обработке результатов многократных равноточных измерений находят точечные оценки этих параметров: mx и Sx (математическое ожидание и СКО, соответственно). Для исключения из рассмотрения грубых погрешностей (промахов) на практике используются различные критерии, два из которых использованы в настоящей работе.

Критерий «трех сигм»