Обработка результатов многократных измерений. Критерии исключения грубых погрешностей. Методические рекомендации

Для результатов измерений (наблюдений), распределенных по нормальному закону (закону Гаусса) считается, что результат, возникающий с вероятностью q< 0,003 (q — так называемый уровень значимости, q<0,3%) маловероятен, и его следует

Sx — оценка среднеквадратичного отклонения (СКО) результатов наблюдений; x—

среднеарифметическое значение результатов наблюдений. Величины x и Sx

вычисляются без учета экстремальных значений xi . Данный критерий используется предпочтительно при относительно большом числе наблюдений n 20…50.

Пример . Сопротивление катушки измеряют 31 раз. По результатам 30

доверительный интервал, меньше максимально допустимого, промахом не является и его следует включить в статистическую обработку.

Критерий Романовского

Если число измерений менее 20 (n<20), одним из рекомендованных критериев исключения грубых погрешностей является критерий Романовского. Для анализируемого значения xi вычисляют отношение

(x xi )

исравнивают полученное значение с табличным значением критерия Романовского

Т . Значения критерия Т , в зависимости от числа наблюдений n и уровня значимости

q ( так называемой вероятности невыполнения), вычисляют по таблицам (см. Таблица 1).

Таблица 1

Значения критерия Романовского Т

Если рассчитанное значение Т , результатxi считают правильным. Если

Т , результатxi считают промахом и отбрасывают.

Пример. Результаты 5 измерений расхода топлива автомобиля составили 22, 24, 26, 28 и 30 л на 100 км. Проверить, не является ли последний результат промахом.

Среднеарифметическое значениеx и его СКО (без учета последнего наблюдения, расчет по 4-м результатам):x=25 л; СКО =2,6 л. Из Таблицы 1 следует, что при уровне значимости q=0,01 и n =4 коэффициент Т =1,73. Для последнего

Согласно критерию Романовского, результат последнего наблюдения необходимо отбросить.

Существуют и другие статистические критерии для исключения промахов, например, вариационный критерий Диксона, критерий Шарлье, критерии Граббса и Шовенэ. Применение статистических критериев требует осмотрительности.

Отличающиеся от других результаты наблюдений не следует сразу отбрасывать. Лучше провести дополнительные измерения (не вместо сомнительных, а в дополнение к ним), а затем привлекать статистические критерии.

3.Порядок работы. Методики расчета

3.1.В качестве исходных данных в первой части настоящей практической работе приводится набор результатов экспериментальных наблюдений ( ≥ 50) значений твердости «по отскоку», полученных в динамическом режиме на приборе ТЭМП-3. Измерения следует производить на массивных отполированных образцах (анализируемый образец — сталь 20ХНГ, алюминиевый сплав либо стекло). Для предотвращения краевых эффектов измерения следует проводить не менее, чем в 1015 мм от края образца.

Первоначально задача состоит в расчёте по экспериментальным данным величин точечной оценки математического ожидания и точечной оценки СКО (s).

Первый вариант расчета.

Точечную оценку математического ожидания производят по формуле (1):

наблюдении, n – число наблюдений.

Выборочная дисперсия = (квадрат СКО) рассчитывается по формуле:

∑ ( − ̅)

== (11)

−1

Вприкладной статистике для упрощения расчёта выборочной дисперсии

используется формула:

Второй вариант расчета.

При многократных наблюдениях (n>50) оценку математического ожидания измеряемой величины и СКО (s) случайной погрешности наблюдения предпочтительно проводить по формулам, используемым в прикладной статистике. Первоначально полученные значения твердости хi следует распределить в порядке возрастания по так называемым интервалам группирования (m – число интервалов

в каждый интервал группирования. По этим данным оценивают математическое ожидание (так называемое выборочное среднее):

̅= , (13)

где — координата центра i-го интервала.

Выборочная дисперсия также рассчитывается с использованием числа «попаданий» в каждый интервал группирования.

Таким образом получают точечные оценки выборочного среднего ̅и выборочной дисперсии (квадрат СКО) без учета одного из крайних значений, которое может оказаться промахом.

По экспериментальным данным составляют Таблицу 2 по образцу,

критерию «трех сигм» и, в зависимости от его попадания (непопадания) в доверительный интервал, делают заключение о том, является ли рассматриваемое значение промахом.

Заключение. После сравнения экстремального значения xk с точечной оценкой математического ожидания ̅по критерию «трех сигм» делают вывод о том, является ли рассматриваемое значение промахом (грубой погрешностью).

3.2. В качестве исходных данных в первой части настоящей практической работы приводится набор результатов экспериментальных наблюдений значений твердости «по отскоку», распределённых в порядке возрастания при числе наблюдений N<20. Рассчитывают точечные оценки математического ожидания M и СКО по формулам (8) и (9), соответственно. Анализируемое (промах или нет) значение xi в данный расчет не включается.

Для экстремального значения хi вычисляют отношение:

(x xi )

и сравнивают с табличным значением критерия Романовского Т (Таблица1).

Значения критерия Т , в зависимости от числа наблюдений n и уровня

значимости q ( так называемой вероятности невыполнения), находят по Таблице 1. В настоящей работе используется уровень значимости q =0,01 (1%). Результаты расчетов представляются в следующем виде:

Точечная оценка математического ожидания ̅=

Точечная оценка среднеквадратического отклонения СКО Sx = Значение величины β =

Табличное значение βT = (уровень значимости q = 0,01)

Заключение: по критерию Романовского анализируемое значение твердости xi является (не является) промахом.

Таблица 2

Данные для расчёта параметров распределения для экспериментально определённых значений твёрдости в динамическом режиме измерения

=

Контрольные вопросы

1.Дать определение функции плотности распределения вероятности. Каково условие ее нормировки?

2.Привести функцию плотности распределения вероятности для нормального закона распределения (закона Гаусса).

3.Как рассчитываются точечные оценки математического ожидания и среднеквадратичного отклонения (СКО) результатов наблюдений?

4.Какой результат наблюдений считается промахом при использовании

«критерия трех сигм»?

5.Какое отношение необходимо вычислить при выявлении промахов с помощью критерия Романовского?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Сергеев А.Г., Крохин В.В Метрология, М, Лотос 2001,407с.

2.Шклярова Е.И. Погрешности измерений. Обработка результатов однократных и многократных измерений.— М.: Альтаир–МГАВТ , 2009, 27с.

3.Степанов М.М. Статистические методы обработки результатов механический испытаний, А. Машиностроение, 1985, 231с.

4.ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями».