Обработка статистической информации при испытаниях игровых автоматов с денежным выигрышем с целью утверждения их типа. Учебное пособие

рышную ситуацию. Если реализуется так называемая «предвыигрышная» ситуация (см. ниже), игрок может заменить часть карт набора на другие оставшиеся в «колоде» карты или заменить их все. Эти действия игрока отражают выбранную им стратегию игры, успех которой определяется такими факторами, как его опыт, интуиция, память, быстрота соображения и т.п. Понятно, что в этой ситуации результаты игры ни в коем случае не могут быть случайными.

Точно так же и в slot-автоматах, где, казалось бы, комбинации картинок появляются чисто случайно, на основании некоторой статистики и опыта «общения» с этими автоматами можно выбрать такую стратегию игры, включая дополнительную игру, которая с большей вероятностью будет приводить к выигрышному либо к проигрышному результату.

Таким образом, можно уверенно говорить, что реальные результаты игры никак нельзя рассматривать как случайные.

В таком случае возникает естественный вопрос об объективности результатов испытаний ИАДВ и о смысле этой деятельности вообще.

Оказывается, что при выполнении определенных условий все-таки можно получить информацию о характерных, присущих только ей, свойствах игровой программы, в частности, о качестве ГСЧ, о присутствии или отсутствии тенденций или закономерностей в результатах игр. Эти условия следуют из рассмотрения схемы на рисунке 5. В самом деле, если убрать из этой схемы двустороннюю стрелку, отображающую взаимодействие между игроком и игровой программой, а оставить за игроком только техническую функцию запуска игровой программы посредством ставки, то ясно, что при этом результаты игры будут определяться только свойствами игровой программы, в частности, свойствами ГСЧ. В данном случае речь идет о так называемой «слепой» игре, когда игрок сознательно отказывается от какой-либо другой стратегии.

Поскольку, как уже неоднократно отмечалось, при испытаниях ИАДВ устанавливается соответствие игровых программ требованию получения выигрыша только в зависимости от случая, то при формировании числового массива результатов игр, подлежащих статистическому анализу, необходимо добиваться того, чтобы эти результаты были максимально независимы от действий игрока и определялись главным образом соответ-

21

ствующей игровой программой. Из приведенного описания автоматов следует, что для slot-автоматов необходимыми свойствами обладает массив результатов основной игры, в автоматах покерного типа соответствующий числовой массив может быть получен по меньшей мере двумя способами. Это может быть либо массив результатов игр, полученный при выбрасывании автоматом первой комбинации карт без их дальнейшей замены («слепая» игра, о которой уже говорилось), либо массив, полученный при игре с использованием так называемой типовой стратегии, при которой индивидуальные особенности оператора (игрока) нивелируются, и в этом смысле реальные результаты игры можно считать в значительной степени определяющимися только игровой программой.

При определении типовой стратегии используется следующая терминология:

выигрышная комбинация карт — комбинация карт, возника-

ющая после любой раздачи, которая совпадает с одной из комбинаций в таблице выигрышей игрового автомата;

предвыигрышная комбинация карт — комбинация, когда по-

сле первой раздачи возникает одна из следующих ситуаций:

–две одинаковые карты (либо один джокер); такой комбинации присваивается приоритет, равный 1;

–стрит без одной карты (стрит — комбинация, в которой карты различных мастей можно расположить по порядку возрастания их игровых значений без пропуска, например — 10, D, 9, J, 8); приоритет — 2;

–четыре карты одной масти; приоритет — 3.

Типовая стратегия игры включает следующую последовательность действий:

1.После первой раздачи программным образом производится идентификация (распознавание) карт.

2.Если выпадает любая выигрышная комбинация, то она удерживается, остальные карты меняются.

3.Если выпадает хотя бы одна предвыигрышная комбинация, то она удерживается, остальные карты меняются.

4.Если одновременно выпадают несколько предвыигрышных комбинаций, то удерживается та, приоритет которой выше.

5.Если отсутствуют выигрышные и предвыигрышные комбинации, то меняются все карты.

22

Большинство современных ИАДВ покерного типа с целью привлечения игроков оснащены режимом так называемого автохолда, реализующего, по сути, типовую стратегию игры. При испытаниях таких автоматов числовой массив результатов игр, подлежащих статистическому анализу, может быть сформирован с использованием этого режима.

Выше были сформулированы цели обработки статистической информации при испытаниях ИАДВ. Понятно, что для достижения этих целей должны быть использованы адекватные методы. Опыт зарубежных организаций, уже давно занимающихся испытаниями ИАДВ с целью утверждения их типа (имеется в виду прежде всего опыт метрологических учреждений таких стран, как Германия, Венгрия, Голландия и т.п.), показывает, что для обнаружения тенденций и закономерностей в результатах игр эффективным является использование корреляционных методов.

Речь идет главным образом о такой разновидности этих методов, как метод ранговых корреляций, в частности, метод ранговых корреляций Спирмена. Метод ранговых корреляций имеет то преимущество по сравнению с другими корреляционными методами, что он позволяет вводить по нашему желанию в результаты игр любые закономерности и сравнивать такие «исправленные» результаты с реальными. Если при этом наблюдается заметная корреляция, то это явный сигнал о неблагополучии и о необходимости более детального анализа игрового процесса.

Немецкие испытатели предлагают для этих целей использовать коэффициенты ранговых корреляций Спирмена, а не Кендэла или другие, поскольку алгоритм вычисления коэффициентов Спирмена существенно проще по сравнению с алгоритмами для других коэффициентов. Немецкая методика позволяет проследить за такими тонкими деталями результатов игр, как случайный или неслучайный характер последовательностей больших и малых значений выигрышей. Анализ такого рода предлагается проводить с помощью комбинаторного метода (в немецкой методике этот метод назван методом итераций).

Оказывается также, что наличие неправомерно длинных серий проигрышных игр можно установить, например, с помощью критерия соответствия Колмогорова — Смирнова. Немецкие специалисты по испытаниям ИАДВ предлагают использовать

23

еще ряд методов, которые скорее актуальны для их специфических условий эксплуатации и типов ИАДВ.

В венгерской методике испытаний рулеток и лототронов используются, в частности, такие хорошо известные классические метрологические методы, как критерии 3σ и χ2. Оказывается, что имеется возможность распространить эти методы испытаний и на ИАДВ.

Необходимо отметить, что как немецкая, так и венгерская методики, в отличие от остальных методик и стандартов (например, от стандарта GLI), опубликованы в максимально открытом виде с формулами и обсуждением, где раскрывается смысл применяемых методов. Хотя в ряде случаев требуются значительные усилия для того, чтобы понять этот смысл, тем не менее в этих методиках имеется предмет для обсуждения и есть то, над чем можно работать.

Предлагаемые далее методы обработки статистической информации основаны на адаптации немецкой и венгерской методик испытаний ИАДВ к нашим российским условиям.

После этих замечаний перейдем к непосредственному рассмотрению методики обработки статистической информации о результатах игр, изложенной в МИ 2562–2001.

2. МЕТОД ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ, ОСНОВАННЫЙ

НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ РАНГОВЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ

2.1. Понятие о методе ранговых корреляций

Соответствие автомата требованиям, сформулированным выше, проверяют путем обработки статистической информации

орезультатах игр. Для этого необходимо иметь исходный массив статистических данных, полученных при помощи того или иного интерфейсного устройства, позволяющего фиксировать данные

орезультатах необходимого количества игр, которые в виде соответствующего числового массива записываются в запоминающее устройство персонального компьютера, а затем проводится обработка этого массива по алгоритмам, которые будут рассмотрены ниже.

Для проведения такой обработки в методике МИ 2562–2001

используется, в частности, метод ранговых корреляций Спирме-

24

на, позволяющий с заданной вероятностью установить отсутствие каких-либо тенденций или детерминированных закономерностей в хронологической последовательности результатов игр. Метод ранговых корреляций подробно изложен в книге Мориса Кендэла «Ранговые корреляции» (М.: Статистика, 1975). Здесь будут освещены основные положения метода, который используется при статистической обработке данных о результатах игр на игровых автоматах.

Сначала об основной идее метода ранговых корреляций. Пусть имеется набор данных о результатах игр, которые

на конкретном ИАДВ были получены последовательно во времени:

Пронумеруем эти результаты натуральным рядом чисел. Ясно, что теперь каждому члену натурального ряда соответствует как момент времени, когда был получен этот результат, так и определенное значение результата игры. Нумерацией результатов игр, в принципе, осуществлено их упорядочивание (ранжирование), в частности, упорядочивание во времени.

Итак, ряд объектов (данных), расположенных в соответствии с некоторым признаком, называют упорядоченным рядом. Каждому члену такого ряда можно присвоить ранг, т.е. число, показывающее его место в упорядоченной последовательности. Как правило, ранги обозначаются порядковыми числительными 1 (первый), 2 (второй), …, n (энный).

Количественную характеристику, которая может менять свое значение при переходе от одного члена набора к другому, называют случайной величиной (еще одно определение случайной величины). Если вернуться к набору данных о результатах игр, то такая характеристика результата, как его значение, должна меняться случайным образом при переходе от одного члена нашей хронологической последовательности результатов к другому, а каждому члену последовательности присвоен ранг, соответствующий его номеру. В выражении (30) ранги показаны в нижней строке.

Основная идея метода ранговых корреляций заключается

втом, что теперь можно искусственным образом, сознательно

висходную последовательность результатов игры ввести некоторую закономерность или тенденцию, т.е. ранжировать члены ис-

25

ходной последовательности в соответствии с этой новой введенной закономерностью (признаком) и сравнить их прежние ранги с последовательностью натуральных чисел.

Чтобы эти отвлеченные рассуждения были более понятны, рассмотрим некую условную последовательность результатов десяти игр:

4 7 2 0 9 5 8 1 6 3 — результаты игр во времени (условные единицы)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 — присвоенные результатам ранги Вводим закономерность, например, возрастание результатов

во времени. Тогда:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 — результаты, расположенные по возрастанию 4 8 3 10 1 6 9 2 7 5 — прежние, но перемешанные ранги

Сравним присвоенные и перемешанные ранги по следующему правилу:

Составим сумму квадратов разностей:

9 + 36 + 0 + 36 + 16 + 0 + 4 + 36 + 4 + 25 = 166.

где S (d 2 ) — сумма квадратов разностей рангов, n — число рангов.

Для данного примера = 0,006.

Тем самым вычислен коэффициент корреляции, так называе-

мый ранговый коэффициент корреляции Спирмена, который ха-

рактеризует взаимосвязь или взаимозависимость между двумя последовательностями результатов игр — реальной и с внесенной закономерностью.

Рассмотрим более сложную закономерность, а именно: пусть три самых крупных выигрыша в 7, 8 и 9 условных единиц расположены в конце последовательности результатов игр. Таким образом, последовательность с такой закономерностью будет иметь следующий вид:

4 3 2 0 6 5 1 8 9 7 — результаты с закономерностью 1 10 3 4 9 6 8 7 5 2 — прежние, но перемешанные ранги

26

Теперь S (d 2 ) = (1 – 1)2 + (10 – 2)2 + (3 – 3)2 + (4 – 4)2 + (9 – 5)2 +

+(6 – 6)2 + (8 – 7)2 + (7 – 8)2 + (5 – 9)2 + (2 – 10)2 = 162.

Всвою очередь = 0,018, т.е. он в 3 раза превышает прежний коэффициент корреляции, при этом в обоих рассмотренных слу-

чаях коэффициент близок к нулю.

В общей теории ранговых корреляций показано, что коэффициент ранговой корреляции принимает значения, заключенные в интервале [–1, 1], причем значению = 1 отвечает полная корреляция последовательностей (положительная зависимость, когда последовательности одинаковы), а значению = –1 — полная антикорреляция (отрицательная зависимость, когда вторая последовательность получена обращением первой). Если коэффициент корреляции близок к нулю, это означает, что корреляция между двумя последовательностями рангов очень мала. Нулевое значение коэффициента корреляции может интерпретироваться как свидетельство независимости, которая лежит, так сказать, на полпути между полной положительной и полной отрицательной зависимостью. На самом деле к этому утверждению следует относиться с осмотрительностью. Дело в том, что коэффициент корреляции может обращаться в нуль тогда, когда изучаемые последовательности на самом деле связаны сложной зависимостью. Тем не менее с большой долей вероятности можно утверждать, что в рассмотренных примерах в исходной последовательности отсутствуют закономерности, введенные нами искусственно. Этот факт из-за ничтожного объема выборки мог бы быть установлен и без вычисления коэффициентов корреляции. Однако если объем выборки велик, то вычисление коэффициентов корреляции является зачастую единственным способом исследования результатов игр.

Здесь не будут выводиться формулы для вычисления коэффициентов ранговых корреляций. Это достаточно полно изложено в книге М. Кендэла. Относительно этих коэффициентов и методов их получения, изложенных в МИ 2562–2001, необходимо сделать следующие замечания.

1. В приведенных выше примерах результаты игр были специально выбраны различными. Однако в реальных выборках распространенным случаем является совпадение значений этих результатов. Например, все проигрыши являются играми с одинаковым результатом. Поэтому возникает проблема присвоения

27

рангов результатам игр с одинаковыми значениями. Эта проблема решается так, как описано в МИ, а именно: всем результатам игр с одинаковыми значениями присваивается один и тот же (усредненный) ранг. Другими словами, результаты игр с одинаковыми значениями (такие члены последовательности результатов игр называются связанными) рассматриваются как один объект с усредненным рангом. При этом сумма рангов всех объектов остается такой же, как и при ранжировании без связей.

Количество игр с одинаковыми значениями результатов, которым был присвоен связанный ранг по описанному правилу, называется длиной связи t. Каждой длине связи присваивается номер j по мере того, как они встречаются в ряду результатов игр.

С учетом связей формула (31) принимает вид

di Rang ( Ai ) i ;

2. В МИ 2562–2001 при обработке результатов игр на предмет выявления закономерностей в их хронологической последовательности предлагается дважды проводить разбиение результатов игр на блоки — по 100 и 1000 результатов в каждом блоке. Внутри каждого блока результаты игр суммируют, и в дальнейшем имеют дело с этими суммарными результатами, число которых на 2–3 порядка меньше исходного числа игр. Это сделано для того, чтобы при статистической обработке данных не было больших числовых массивов, и, кроме того, чтобы не оперировать с нулевыми результатами проигрышных игр в явном виде, поскольку оперирование с нулевыми результатами в силу их неразличимости друг от друга создает определенные неудобства. Для проверки влияния разбиения на блоки исходного числового массива на значения коэффициента корреляции и частоты итераций была исследована зависимость этих величин от числа блоков (рис. 6) и от их размера (рис. 7). В качестве исходного массива был взят массив результатов 46 530 игр на игровом автомате

28

фирмы «Recreativos Franco S.A.» (Испания). Анализ результатов показывает, что, несмотря на нерегулярный характер зависимостей, полученные значения коэффициентов и частот не выходят за пределы, определенные соответствующим критерием (см. ниже). Небольшие отступления наблюдаются для частоты итераций при размерах блоков от 1000 до 3000. Кроме того, имеются области независимости (стабильности) их значений от разбиения на блоки, при этом число таких «островков» стабильности растет с увеличением размера блоков. Это означает, что в рассмотренных случаях разбиение на блоки и оперирование с суммарными результатами игр вполне оправдано и не влияет на окончательные выводы по результатам испытаний.

3. В уже упомянутой книге М. Кендэла показано, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена является частным случаем обобщенного коэффициента корреляции Г, который определяется следующим образом:

где аij — значение так называемой x-оценки, а bij — значение y-оценки, т.е. предполагается, что, например, в исходной последовательности (30) объекты обладают двумя свойствами: x и y,

при этом признак x принимает значения x1, …, xn, а признак y —

значения y1, …, yn. Если теперь aij x j xi , а bij y j yi , то (33) переходит в частный случай (31). Таким образом, из соотношения (33), характеризующего обобщенный коэффициент корреляции, можно получить, как частный случай, коэффициент ранговой корреляции Спирмена , причем переход к коэффициенту Спирмена определяется выбором оценок, с помощью которых измеряются различия между рассматриваемыми объектами.

Методика МИ 2562–2001 ограничивается, в качестве примера, использованием ранговых корреляций только для выявления тенденции возрастания значений выигрышей в хронологической последовательности игр.

Проанализируем для полноты картины одну из процедур ранжирования при исследовании независимости результатов игр. Для этого, наряду с последовательностью результатов игр (30), рассмотрим другую последовательность результатов:

29