Обработка статистической информации при испытаниях игровых автоматов с денежным выигрышем с целью утверждения их типа. Учебное пособие

31

Эта последовательность может быть либо последовательностью результатов игр, полученной на другом автомате, либо последовательностью, полученной на том же самом автомате, но в другой интервал времени. Индексы этих результатов можно рассматривать как их ранги. Теперь обратим внимание на значения результатов и разместим члены последовательности (34) под членами последовательности (30) так, чтобы их значения совпадали. В результате члены последовательности (34) перемешаются, и мы получим возможность сравнить их прежние ранги с соответствующими рангами последовательности (30). При этом может получиться так (что маловероятно при больших объемах выборок), что либо в последовательности (30), либо в последовательности (34) отсутствуют результаты, которые есть в другой последовательности. Может быть и так, что длины соответствующих связей не совпадают. В последнем случае, так как члены последовательности с одним усредненным рангом могут рассматриваться как один объект, в сумме квадратов разностей рангов должен быть поставлен множитель, равный длине более длинной связи. Если же в одной из последовательностей имеются лишние значения результатов, то при вычислении коэффициента корреляции эти лишние члены не учитываются.

После этого по формуле (32) может быть вычислен коэффициент ранговой корреляции Спирмена и по его значению сделаны заключения о независимости двух рассматриваемых последовательностей.

Метод ранговых корреляций в сочетании с другими методами статистического анализа, например, таким, как метод 3σ, можно использовать для выявления более скрытых тенденций в результатах игры.

При испытаниях ИАДВ важной является проблема определения необходимого количества анализируемых результатов игр. Общепринятого метода определения этого количества, обеспечивающего высокую степень достоверности статистического анализа, не существует. Понятно, что чем больше выборка, тем достовернее заключения, сделанные на основе ее анализа. Но при больших объемах выборки начинают играть роль соображения, связанные с целесообразностью получения такой выборки, с временными, финансовыми и интеллектуальными затратами. В методике МИ 2562–2001 решение этого вопроса основывается на результатах статистических экспериментов, проведенных в Гер-

32

мании на slot-автоматах. Выявлено, что зависимость относительной частоты появления результатов игр от значений соответствующей квоты выплаты становится устойчивой (т.е. не меняется при увеличении количества игр) при числе игр не менее 35 000

(см. рис. 8).

Строго говоря, оценку необходимого объема выборки следует проводить для каждого вида статистической обработки результатов игр. В нашем случае результаты численных экспериментов (некоторые из которых будут приведены ниже) показывают, что взятое с трехкратным запасом указанное выше число можно считать числом игр М, обеспечивающим достоверные заключения статистического анализа результатов игр на автоматах обоих типов, т.е. рекомендуемое значение объема выборки M = 100 000.

Необходимо заметить, что при испытании на определение квоты выплаты (процента выплаты) вопрос об определении необходимого объема выборки может решаться на основании экспериментально найденной зависимости этой квоты от числа игр. Для этого с помощью выражения (58) (см. ниже) была исследована зависимость квоты выплаты от числа проведенных игр, полученная на автомате фирмы «Bally Gaming». Соответствующие результаты представлены на рисунке 9. Видно, что при малом числе игр квота выплаты испытывает нерегулярные колебания, однако с увеличением числа игр эти колебания сглаживаются и уже при числе игр порядка 3–4 тыс. квота стабилизируется. Аналогичные

33

результаты получены и для автомата фирмы «Recreativos Franco S.A.».

На этом автомате стабилизация квоты выплаты в указанном выше смысле наступает уже при 300 играх. Таким образом, для испытания ИАДВ с определением квоты выплаты по формуле (58) объем выборки может быть на порядок меньше, чем при статистических испытаниях, и это обстоятельство должно учитываться при составлении программы испытаний.

2.2. Оценка и критерий достоверности анализа результатов игр по методу ранговых корреляций

Вернемся к проблеме критерия достоверности выводов статистического анализа результатов игр. Эта проблема имеет две стороны, которые взаимосвязаны. Первая сторона рассматривалась в разделе 1.5 и относилась к оценке значимости статистических гипотез, связанных с теми или иными утверждениями о характере последовательности результатов игр. Вторая проблема заключается в том, что любая оценка контрольного параметра (например, коэффициента корреляции) делается на основе частной выборки, являющейся в свою очередь выборкой из более общей совокупности. В связи с этим возникает вопрос о степени надежности заключения, например, о существовании корреляций в этой частной выборке. В литературе по этому поводу обстоятельно и с подробностями обсуждаются многочисленные аспекты

34

этой проблемы. Здесь ограничимся только тем, что изложено в МИ 2562–2001.

Предположим, что в исходной последовательности результатов игр (30) связи отсутствуют. Если мы теперь будем располагать результаты игр в соответствии с каким-либо качественным признаком, то это расположение с математической точки зрения будет некоторой перестановкой членов исходной последовательности из n членов. В общем случае число таких перестановок равно n!, при этом среди вновь полученных последовательностей будут также последовательности с явными закономерностями в расположении результатов игр. Каждой такой перестановке отвечает некоторое значение коэффициента ранговой корреляции , находящееся в интервале [–1, 1]. Теперь можно подсчитать число появлений конкретного значения (частоту появлений) и построить график (гистограмму) зависимости этих частот от значений коэффициентов (гистограмму потому, что в данном случае речь идет о дискретной случайной величине). Чтобы выйти за пределы интервала определения коэффициентов и перейти к обычным интервалам определения случайных величин, в дальнейшем будем иметь дело с асимптотическим коэффициентом ранговой корреляции U, который определяется соотношением

Можно показать, что при больших n график (гистограмма)

сбольшой точностью описывается нормальным распределением

сдисперсией D = 1, при этом выбор множителя перед ρ в (35) как раз и обеспечивает нужное значение дисперсии. Переход к асимптотическому коэффициенту корреляции позволяет теперь использовать для оценок достоверности наших заключений параметры и характеристики нормального распределения, для которого существуют хорошо известные таблицы. В частности, в МИ для оценки достоверности заключения о значении коэффициента корреляции предлагается использовать соответствующие квантили. Это означает, что подход к оценке статистических гипотез, рассмотренный в п. 1.5, основанный на вычислении вероятностей появления измеренного значения контрольного параметра, можно сформулировать на языке, использующем понятие квантиля распределения плотности вероятности, т.е. на сопоставлении измеренного значения контрольного параметра с критическим значе-

35

нием соответствующего квантиля. Оба подхода к оценке статистических гипотез взаимосвязаны.

Для каждого вида испытаний устанавливается свой статистический критерий значимости, характеризуемый некоторым критическим значением. Так, применительно к коэффициентам ранговой корреляции устанавливается критическое значение кванти-

ятности р.

Используемое обозначение для квантиля следует из уравнения (29) для его нахождения, которое для нормального распределения может быть записано в виде:

1

p

erf 2 1 p, (36)

2

где интеграл ошибок erf(x) определяется формулой

0

Формула (36) удобна тем, что в правой ее части стоит мощность критерия, о которой говорилось выше. Напомним, что, чем ближе к единице значение мощности критерия, тем выше достоверность высказанной статистической гипотезы.

Для установления значения уровня вероятности (значимости) р предлагается использовать следующее условие: вероятность ошибки первого рода при применении всех методов испытаний не должна превышать 0,01, т.е. 1 % (эта идея взята из немецкой методики испытаний). Далее предполагается, что эта вероятность равномерно распределяется по всем испытаниям. Поскольку методика содержит четыре испытания, то из этого предположения следует, что для испытания с определением коэффициента ранговой корреляции и для всех остальных испытаний вероятность такой ошибки не должна превышать 0,0025. Увеличение числа испытаний способствует уменьшению вероятности совершения ошибки при оценке статистических гипотез.

В результате критерий значимости для асимптотического коэффициента ранговой корреляции принимает вид:

36

При указанном выше значении параметра р это условие выполняется с вероятностью 0,9987. Это означает, что с такой же вероятностью результаты игр можно считать случайными событиями, не проявляющими каких-либо закономерностей.

В заключение этого раздела приведем результаты реальных испытаний ИАДВ на предмет обнаружения возрастания выигрышей в хронологической последовательности игр. Для этих целей был использован покерный игровой автомат фирмы «Bally Gaming» (США). На этом автомате было проведено 11 540 игр, в результате которых получены два массива данных, относящихся как к основным, так и к дополнительным играм, при этом значения коэффициента Спирмена составили соответственно 0,24 и 0,27. Для количественных оценок в этом эксперименте был выбран уровень значимости р = 0,001. Соответствующее значение квантиля составляет 3,29. Это означает, что полученные значения коэффициента ранговой корреляции удовлетворяют неравенству (38). В результате был сделан вывод об отсутствии в игровой программе тенденции возрастания выигрышей.

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНАТОРНОГО МЕТОДА (МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ) ПРИ ИСПЫТАНИЯХ ИАДВ

Обратим внимание на то, что результаты игры на автомате носят бинарный характер, поскольку в любой игре имеются только два исхода: либо выигрыш, либо проигрыш. Таким образом, последовательность результатов игр (30) состоит из бинарных событий. Не интересуясь пока значениями выигрышей, будем обозначать в последовательности (30) буквой А выигрыши, буквой В — проигрыши. В результате исходная последовательность

Если появление бинарных событий действительно случайно и в нем отсутствуют какие-либо тенденции, то в последовательности (39) события А и В должны быть хорошо «перемешаны», другими словами, распределение рассматриваемых событий в этой последовательности должно быть хаотическим, случайным. Например, последовательность А В А В А В А В А В … или В В В В В А А А А А … ни в коем случае нельзя назвать случайной.

37

Обозначенную проблему предлагается решать методом подсчета частоты итераций.

Под итерацией понимается последовательность идентичных (одинаковых) событий. Например, в последовательности (39) имеется r1 = 3 A-итерации и r2 = 2 B-итерации. Общее число итераций r = r1 + r2. В данном случае r = 5. Длина одной итерации охватывает по меньшей мере одно событие, т.е. r1min = r2min = 1.

Ясно, что минимальное значение общего числа итераций rmin = 2. При выяснении вопроса о максимальном числе итераций

необходимо рассмотреть два случая.

Первый случай, когда n1 = n2, где n1 — число А-событий,

n2 — число В-событий. В этом случае rmax = n, где n = n1 + n2 — полное число событий. Пусть, например, n1 = n2 = 3. Тогда

rmax = 6. В самом деле, в этом случае последовательности с максимальным числом итераций будут выглядеть так: А В А В А В или В А В А В А.

Второй случай, когда n1 n2. Тогда rmax = 2 [min(n1, n2)] + 1. Доказательство последнего утверждения здесь рассматриваться

не будет.

Можно показать, что при заданном общем числе итераций r могут реализоваться только три случая: r1 = r2; r1 = r2 + 1; r1 = r2 –

1.

Рассмотрим теперь вопрос о том, каким может быть возможное число итераций при заданном числе событий n?

Решать этот вопрос будем с помощью следующих рассуждений. Пусть r1 = r2 + 1. Последовательность из n1 А-событий имеет (n1 – 1) промежутков, куда могут быть вставлены В-итерации. Если промежутки, куда могут быть вставлены В-итерации, назвать границами, то в последовательности А-событий необходимо разместить (r1 – 1) «границ» (вспомним, что по условию нашей задачи r2 = r1 – 1). Можно показать, что число возможных размещений (r1 – 1) «границ» среди (n1 – 1) промежутков последовательности А-событий равно числу сочетаний из (n1 – 1)

В качестве иллюстрации рассмотрим пример с n1 = 5 и r1 = 3, т.е. пусть имеется 5 А-событий с 3 А-итерациями. Расставим

38

в такой последовательности «границы». В результате получим следующую картину:

Нетрудно заметить, что действительно перебраны все возможности размещения «границ» с 3 А-итерациями. Таких воз-

Теперь необходимо по этим границам разместить n2 В- событий с r2 В-итерациями. В-события можно разбить на «границы» по аналогии с тем, как это было сделано для А-событий, при этом

число возможных распределений «границ» на В-событиях будет определяться выражением Сrn22 11 . Для примера пусть n2 = 4, r2 = 2. Тогда:

1.В В В В

2.В В В В

3.В В В В

Таким образом, число возможных распределений 3. С другой

Теперь для того, чтобы получить для n событий r итераций, нам необходимо перемножить получившиеся распределения, т.е.:

полное число итераций с заданными свойствами =

Для приведенных примеров получаем следующее число распределений: 6 × 3 = 18. Процедура перемножения распределений выглядит следующим образом: первая строка А-распределений перемножается на 3 строки В-распределений, затем вторая строка А-распределений перемножается на 3 строки В-распределений

ит.д. В результате получаем:

1.А В А В В В А А А

2.А В В А А В В А А

3.А В В В А В А А А

39

4. А В А А В В В А А

……………………….

18. А А А В В В А В А После проведенного анализа теперь имеется возможность

вычислить вероятность (частоту) получения r1 А-итераций и r2 В-итераций из n1 А-событий и n2 В-событий. Понятно, что эта вероятность должна определяться выражением

где в числителе стоит полное число итераций (40), а в знаменателе полное число распределений с n1 А-событиями, т.е. числитель интерпретируется как число благоприятных исходов, а знаменатель как общее число испытаний. Это на самом деле так, поскольку n1 — это число А-событий, размещенных среди n элементов, которое по условиям задачи является бóльшим по сравнению с числом В-событий.

Аналогичную формулу имеем для случая, когда r1 = r2 – 1.

В теории итераций показано, что для случая, когда r1 = r2, вероятность получения одинакового числа А- и В-итераций при n1 А-событий и n2 В-событий определяется формулой

Из формул (41) и (42) следует, что при фиксированном объеме выборки полное число итераций r является случайной величиной, различные значения которой реализуются с разными вероятностями. Можно показать, что при большом объеме выборки, т.е. когда n ∞, распределение вероятностей различных значений общего числа итераций (их частоты) является нормальным,

В этих условиях можно ввести в рассмотрение асимптотическую частоту U (общее число) итераций с помощью соотношения

40