Обработка статистической информации при испытаниях игровых автоматов с денежным выигрышем с целью утверждения их типа. Учебное пособие

Случайные величины могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Дискретная случайная величина принимает конечное или бесконечное счетное множество значений xi (их можно пронуме-

ровать). Возможные значения непрерывной случайной величины заполняют некоторый промежуток на числовой оси или даже всю ось. В рассматриваемом случае, когда мы говорим о значениях случайной величины, применительно к ИАДВ имеются в виду прежде всего значения результатов игры.

Строго говоря, результаты игр на ИАДВ образуют дискретный набор значений, однако из-за того, что число результатов при испытаниях ИАДВ, как правило, велико, то с большой степенью точности при их статистическом анализе в ряде случаев можно пользоваться характеристиками непрерывных величин.

Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для дискретных, так и для непрерывных одномерных случай-

ных величин, является функция распределения вероятностей

F(x), определяющая вероятность Р того, что значения xi случай-

ной величины будут принимать значения меньше некоторого числа x, т.е.

Функции распределения вероятности для дискретной и непрерывной случайных величин показаны на рисунке 1.

Функция распределения вероятностей обладает рядом свойств, которые изложены в любом учебнике по математической статистике. При необходимости можно воспользоваться этими свойствами.

Обычно предполагается, что функция F(x) дифференцируема во всей области определения случайной величины. При таком предположении непрерывная случайная величина чаще всего описывается плотностью распределения вероятности р(х), кото-

рая определяется как производная функции распределения вероятности, т.е.

11

Рис. 1. Функции распределения для дискретной (a) и непрерывной (б) случайных величин

Отметим два свойства плотности вероятности:

1. Вероятность попадания значения случайной величины

винтервал (х1, х2) равна интегралу от плотности вероятности

вэтих пределах:

Из (18) и из сказанного выше следует, что площадь под графиком плотности вероятности, ограниченная справа каким-то фиксированным значением случайной величины, дает вероятность того, что реализуемые значения будут меньше этого значения.

1.4. Нормальное и связанные с ним распределения. Медианы и квантили

Важное практическое значение имеет нормальная (гауссова) плотность вероятности, определяемая выражением

12

где m — математическое ожидание (среднее значение) случайной

величины;

2 = D — дисперсия.

Напомним, что для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется формулой

Если число случайных событий n и все они реализуются с одинаковыми вероятностями p (равномерное распределение),

График нормальной плотности вероятности изображен на рисунке 2.

Известно, что нормальное распределение плотности вероятности применимо в условиях, которые, в самых общих словах, сводятся к следующему. Случайный характер величины обусловлен влиянием большого числа неконтролируемых факторов. Если при этом влияние одного фактора мало по сравнению с влиянием всех остальных, плотность вероятности рассматриваемой случайной величины будет описываться нормальным распределением.

13

Эта ситуация является типичной, нормальной. Отсюда понятен и смысл указанного названия.

При операциях с нормальными случайными величинами, проводимых при анализе данных, используются несколько новых видов распределений и соответствующих им случайных величин. В частности, это распределения Стьюдента и χ2, которые рассматриваются далее.

p (x)

0,4

из них имеет стандартное нормальное распределение N (0,1). Это обозначение относится к нормальному распределению со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Введем случайную величину

Распределение этой величины называют распределением Стьюдента с n степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента в точке х

14

где (z) — гамма-функция, определяемая соотношением

Г( z) e t t z 1dt. (25')

0

График функции плотности вероятности распределения Стьюдента с различными степенями свободы представлен на рисунке 3.

tn(x)

0,4

n = 100 n = 4

n = 2 n = 1

0,2

0,1

Рис. 3. Плотность вероятности для распределения Стьюдента

При большом числе событий распределение Стьюдента совпадает с нормальным.

Пусть случайные величины 1, 2 , , n независимы. Счи-

имеет распределение χ2 с n степенями свободы. Функция плотности вероятности для этого распределения имеет вид:

Вид функции плотности (26) для различных степеней свободы n приведен на рисунке 4.

15

Рис. 4. Плотность вероятности распределения χ2

Необходимо также знать определения медианы и квантиля. Медианой (или срединным значением) называется такое зна-

чение М случайной величины, при котором

Для дискретных случайных величин медиана определяется неоднозначно. Следуя общепринятым рекомендациям, последовательность случайных событий необходимо ранжировать по принципу возрастания какого-нибудь признака (применительно к ИАДВ результаты игр необходимо расположить, например, в порядке возрастания их значений), и в том случае, если число членов последовательности m является нечетным, медиана а1/ 2 по-

лагается равной среднему (по нумерации) значению в ранжированной последовательности. Если же число членов последовательности четное, то медиана вычисляется по формуле

называется такое значение случайной величины x = xp, при котором функция распределения F(x) принимает значение, равное р:

16

Медиана и квантили для некоторых значений вероятности р при нормальной плотности вероятности изображены на рисунке 2.

Отметим, что медиана может рассматриваться как квантиль, отвечающий вероятности р = 0,5.

1.5.Критерии значимости при анализе статистической информации. Ошибки первого и второго рода

В процессе испытаний ИАДВ на основании статистического анализа информации о результатах игр необходимо решить, например, справедливо ли заключение об отсутствии тенденций в хронологической последовательности этих результатов, действительно ли чередование выигрышей и проигрышей носит случайный характер и т.п. При этом необходимо осознавать, что всякое заключение по сформулированным выше проблемам будет верным лишь с некоторой вероятностью и с некоторой вероятностью оно может оказаться неверным. В такой ситуации важно уметь количественно оценивать степень достоверности высказанных заключений и добиваться того, чтобы эти заключения обладали высокой степенью достоверности.

Решение этой задачи в строгой математической постановке приводит к понятию статистической гипотезы. Статистическая гипотеза — это предположение о распределении вероятности, которое может быть проверено по имеющимся данным. В такой постановке статистические гипотезы в пособии рассматриваться не будут, хотя неявно это будет делаться.

Выше уже была высказана одна из гипотез, а именно: на основании числового массива результатов игр (в математической статистике такой массив называется выборкой) было сделано предположение (статистическая гипотеза) о том, что в хронологической последовательности этих результатов отсутствуют ка- кие-либо тенденции, другими словами, распределение этих результатов во времени является случайным и описывается некоторым распределением вероятности (например, нормальным). Высказанная гипотеза обозначается через Н0 (нулевая гипотеза). Для проверки такой гипотезы необходима контрольная величина Т, каковой является соответствующим образом выбранная и приспособленная к задаче функция выборки (такими функциями выборки могут быть эмпирические, т.е. найденные с помощью вы-

17

борки, среднее значение, дисперсия, коэффициент корреляции и т.п.).

Выберем уровень вероятности р > 0. Когда речь идет о проверке гипотез, число р называют уровнем значимости, при этом значение р стараются выбирать достаточно малым.

Метод проверки гипотезы состоит в следующем. С помощью выборки определяется частное (выборочное) значение t контрольного параметра, например, частное значение коэффициента корреляции. Если при этом вероятность реализации такого значения контрольного параметра P(t H0) будет меньше р, т.е. P(t H0) < р, то от гипотезы Н0 следует отказаться.

Таким образом, правило проверки гипотезы (критерий) можно сформулировать следующим образом: на основании экспери-

мента мы отвергаем гипотезу Н0 на уровне значимости р, если в этом эксперименте реализовалось такое значение контрольного параметра, вероятность которого меньше выбранного уровня значимости.

Если же вероятность реализации конкретного значения контрольного параметра будет больше выбранного уровня значимости, то можно заключить, что данные наблюдения не противоречат принятой гипотезе.

Ошибочное решение, когда гипотеза Н0 отвергается, хотя она

иверна, называют ошибкой первого рода. Из этого определения

ииз определения уровня значимости следует, что уровень значимости р фактически определяет вероятность ошибки первого рода. Чем меньше уровень значимости р, тем меньше вероятность совершения такой ошибки.

Принятие гипотезы Н0, когда она неверна, называется ошиб-

кой второго рода.

Обозначим через вероятность ошибки (как первого, так и второго рода) при использовании статистического критерия. Величину (1 – ) обычно называют мощностью критерия. Мощность критерия может принимать любые значения от нуля до единицы. Чем ближе мощность критерия к единице, тем он более эффективен (более «мощен»).

Когда говорилось о вероятностях реализации того или иного значения контрольного параметра, тем самым неявно подразумевалось, что функция распределения плотности вероятности этого параметра известна. Везде в дальнейшем будет предполагаться,

18

что случайные величины описываются или нормальным распре-

делением, или связанными с ним распределениями Стьюдента и

χ2.

Количественные значения уровня значимости, критерии значимости и вероятности тех или иных заключений, относящихся к характеристикам результатов игр, будут приведены при изложении методики обработки информации при испытаниях ИАДВ.

1.6. Краткая характеристика основных методов, используемых при обработке статистической информации при испытаниях ИАДВ

При всем многообразии ИАДВ с программным обеспечением подавляющее большинство их можно отнести всего к двум типам, а именно: к так называемым slot-автоматам и к автоматам покерного типа. Методика МИ 2562–2001 предназначена для использования при испытаниях автоматов именно этих типов.

Вslot-автоматах выигрышными являются комбинации совпадающих картинок или символов. В большинстве этих автоматов предусмотрен режим дополнительных игр, в которых в качестве ставки используется выигрыш в основной игре в виде права на проведение игры, предоставляющей игроку возможность либо увеличить выигрыш (как правило, удвоить), либо его потерять.

Вавтоматах этого типа возможности влияния игрока на результат игры сведены к минимуму. Результаты игры на таких автоматах определяются в основном свойствами игровой программы, в частности, той ее части, которая реализует случайный характер выигрышных комбинаций.

Вавтоматах покерного типа выигрышными являются комбинации карт, предусмотренные правилами игры в покер — такие, как флеш, стрит, четыре, три, две карты одного ранга и т.п. Эти выигрышные комбинации должны быть показаны на таблице выигрышей, которой снабжен каждый автомат. В корректно действующем автомате при первой раздаче карт происходит случайный выброс («раздача»), как правило, пяти карт из колоды в 52 карты. Далее, в зависимости от «качества» выброшенной комбинации карт игрок может либо ее оставить без изменения, если она представляет собой удовлетворяющую его выигрышную комбинацию, либо заменить часть карт в надежде получить выигрыш-

19

ную комбинацию, либо заменить их все. После этого устанавливается окончательный результат игры.

Прежде чем переходить к рассмотрению методов обработки результатов игр при испытаниях ИАДВ, необходимо ответить на вопрос: действительно ли результаты реальных игр на ИАДВ определяются случаем и к их анализу можно применять методы теории вероятностей и математической статистики? Для этих целей проанализируем схему взаимодействия игрока и ИАДВ, изображенную на рисунке 5.

Генератор случайных чисел

Рис. 5. Схема взаимодействия игрока с ИАДВ

Игрок с помощью ставки чисто технически запускает игровую программу, составной частью которой является генератор случайных чисел (ГСЧ). В процессе игры в рамках ее правил происходит взаимодействие игровой программы и игрока, которое на схеме обозначено обоюдной стрелкой. При этом взаимодействии игрок принимает какие-то решения, обусловленные правилами игры. Понятно, что в такой ситуации результат игры не может быть случайным, если учесть также и то, что игрок может корректировать свою реакцию на действия игровой программы по результатам игры. Особенно наглядно это видно на ИАДВ покерного типа. В корректно действующем автомате первый выброс карт должен осуществляться ГСЧ. А далее игрок, анализируя этот случайный набор карт, принимает решение оставить этот набор для дальнейшей игры, если этот набор реализует выиг-

20