Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Начала математического анализа. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

847 Кб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

О. Я. Шевалдина, Е. В. Стрелкова

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

по направлениям подготовки 080100.62 – Экономика, 080200.62 – Менеджмент, 080500.62 – Бизнес-информатика, 010300.62 – Фундаментальная информатика

и информационные технологии

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2014

УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 Ш37

Рецензенты:

кафедра «Высшая и прикладная математика» Уральского государственного университета путей сообщения (протокол № 9 от 24.04.2013 г.) (завкафедрой, проф., д-р физ.-мат. наук Г. А. Тимофеева); завотделом аппроксимации и приложений ИММ УрО РАН д-р

физ.-мат. наук А. Г. Бабенко

Научный редактор – ведущий научный сотрудник ИММ УрО РАН д-р физ.-мат. наук В. Т. Шевалдин

Шевалдина, О. Я.

Ш37 Начала математического анализа : учеб. пособие / О. Я. Шевалдина, Е. В. Стрелкова. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 99, [1] с.

ISBN 978-5-7996-1191-0

Пособие содержит теоретические сведения по разделам «Действительные (вещественные) числа» и «Числовые последовательности». Приводятся фундаментальные понятия и доказательство ряда классических теорем. Пособие содержит большой набор иллюстративных примеров и задач разного уровня сложности с подробными решениями.

Учебное пособие предназначено для студентов. Библиогр.: 10 назв. Рис. 10.

УДК 517(075.8) ББК 22.161я73

ISBN 978-5-7996-1191-0	© Уральский федеральный
	университет, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ.....	5
1.1. Высказывания, аксиомы, теоремы..................................................	5
1.2. Логические операции.........................................................................	5
1.3. Основные формулы алгебры высказываний...................................	7
1.4. Множества и операции над множествами. Теоретико-множе-
ственные кванторы...........................................................................	8
1.5. Принцип включения множеств (аксиома) ....................................	11
1.6. Принцип совпадения множеств (аксиома) ...................................	11
ГЛАВА 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА .........	12
2.1. Аксиоматика и некоторые свойства множества действитель-
ных (вещественных) чисел............................................................	12
2.2. Расширенная числовая прямая. Арифметические операции.......	14
2.3. Модуль и знак числа. Выпуклое множество.................................	15
2.4. Верхние и нижние грани числовых множеств..............................	16
2.5. Теорема о существовании и единственности верхней (нижней)
грани ограниченного числового множества................................	20
ГЛАВА 3. КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ..........................	22
3.1. Индуктивное свойство натурального ряда....................................	22
3.2. Принцип математической индукции..............................................	22
3.3. Целые и рациональные числа.........................................................	28
3.4. Иррациональные числа....................................................................	29
3.5. Принцип Архимеда..........................................................................	29
3.6. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши–Кантора)............	30
ГЛАВА 4. ОТОБРАЖЕНИЯ.............................................................	32
4.1. Основные определения....................................................................	32
4.2. Простейшая классификация отображений....................................	34
4.3. Композиция функций......................................................................	35
4.4. Обратимые отображения.................................................................	38
4.5. Алгоритм нахождения обратной функции....................................	41
ГЛАВА 5. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.........................	45
5.1. Конечные суммы..............................................................................	45
5.2. Последовательности вещественных чисел....................................	50
5.3. Ограниченные последовательности...............................................	52
3

5.4. Предел последовательности............................................................	54
5.5. Свойства сходящихся последовательностей.................................	58
5.6. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности.......................................................................	62
5.7. Сравнение последовательностей....................................................	67
5.8. Арифметические операции над пределами последователь-
ностей..............................................................................................	68
5.9. Задачи с решениями.........................................................................	71
6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.............	80
6.1. Предел монотонной последовательности......................................	80
6.2. Число e ..............................................................................................	83
6.3. Применение последовательностей в экономике...........................	85
6.4. Подпоследовательности..................................................................	86
6.5. Теорема Больцано–Вейерштрасса..................................................	88
6.6. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши
сходимости последовательности..................................................	91
6.7. Задачи с решениями.........................................................................	92
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................	97

ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Высказывания, аксиомы, теоремы. Стандартные обозначения.

Логические операции.

Основные формулы алгебры высказываний.

Множества и операции над множествами. Теоретико-множественные кванторы.

Принцип включения множеств.

Принцип совпадения множеств.

1.1. Высказывания, аксиомы, теоремы Стандартные обозначения

В математике особое место занимают повествовательные предложения, имеющие форму суждения о рассматриваемых предметах.

Такие предложения называют высказываниями, утверждениями,

формулами, соотношениями и т. д. К высказываниям приме-нимы вопросы: верно ли (истинно или ложно) данное высказывание или при каких условиях оно верно?

Высказывания, которые объявляются истинами теории, называются аксиомами или постулатами. Логические следствия аксиом называются теоремами или леммами.

Примеры математических высказываний

a b : a равно b. Здесь и далее знак «: =» употребляется

вместо фразы «есть (равно) по определению» (двоеточие ставится со стороны определяемого объекта).

a b : a строго меньше b. a b : a не превосходит b.

1.2. Логические операции

Если α, β – некоторые высказывания, то с помощью логических операций , , , , можно строить новые высказывания.

Приведем определения этих операций.

Отрицанием высказывания называется такое высказывание, обозначаемое ( ) (читается: «не »), которое является истинным, если ложно, и ложным, если истинно.

Конъюнкцией высказываний и называется высказывание, обозначаемое (читается: « и »), которое истинно, если истинны оба высказывания и , и ложно в остальных случаях.

Дизъюнкцией высказываний и называется высказывание, обозначаемое (читается: « или »), которое ложно, если ложны оба эти высказывания и , и истинно в остальных случаях.

Импликацией высказываний и называется высказывание, обозначаемое (читается: «из следует », или «если , то

», или « влечет », или « имплицирует »), которое ложно, если

истинно, а ложно, и истинно в остальных случаях.

Если отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные – символом 0, то каждому из высказываний , , ,

можно поставить в соответствие так называемую таблицу истинности, которая указывает его истинность в зависимости от истинности высказываний , . Эти таблицы являются формальным

определением логических операций , , , .

Приведем	таблицы
, , , :

	0	1
	0	1

	1	0

истинности высказываний

	0
		1
		1


0	0	0

1	0	1


	0	1		0	1
	0	1		0	1


0	0	1	0	1	1

1	1	1	1	0	1

Любую теорему в математике можно рассматривать как импликацию двух высказываний . Высказывание называется условием теоремы, а высказывание – заключением теоремы, или –

достаточное условие для , а – необходимое условие для .

Соотношение (теорема) равносильно тому, что высказывание необходимо и достаточно для выполнения , a необходимо и достаточно для выполнения ( влечет и одновременно влечет ). Таким образом, соотношение можно прочитать одним из следующих способов:

необходимо и достаточно для ;

тогда и только тогда, когда ;

α, если и только если ;равносильно .

Эквиваленцией высказываний и называется высказывание, обозначаемое (читается: « эквивалентно »), которое истинно, когда высказывания и истинны или ложны одновременно.

Множество высказываний, построенное с помощью логических операций , , , , , называют алгеброй высказываний.

1.3. Основные формулы алгебры высказываний

Основными формулами являются следующие:

1);

2);

3);

4);

5).

Из основных формул алгебры высказываний следует, что

;

1.4. Множества и операции над множествами Теоретико-множественные кванторы

Термин множество объясняется как совокупность, коллекция, набор некоторых объектов (элементов множества), объединенных по каким-то общим для них признакам. Это объяснение, разумеется, нельзя назвать определением, т. к. понятия «множество», «элемент множества» относят к первичным, неопределяемым понятиям. Множества обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, С, а их элементы – строчными буквами: a, b, с.

Множества натуральных N, целых Z, рациональных Q, вещес-

твенных R, комплексных C чисел являются примерами числовых множеств.

Запись x X означает, что элемент x принадлежит множеству

X , в противном случае пишут x X		x	X .
X , в противном случае пишут x X		x	X .
Множество можно задать, перечислив его элементы:
X x1, x2 , , xk , .
Если множество X	состоит	из элементов x ,		обладающих
свойством x , то пишут	X x : x , например,			полуинтервал
0,1 x : 0 x 1 .
Если x : x x , то получим множество x X :				x x : –
пустое множество множества X ,		т. е. множество, не содержащее
ни одного элемента.

В записи высказываний о множествах часто используют теоре-

тико-множественные кванторы:

– любой, всякий, каждый (all (англ.), any (лат.) – общность);

– существует, найдется (exist (англ.), exsistentia (лат.) –

существование).

Запись a A означает, что для каждого (любого) элемента a множества A справедливо высказывание . Запись b B означает, что существует (найдется) элемент b множества B, для которого высказывание истинно. Запись !b B означает, что

существует (найдется) только один (единственный) элемент b из множества B, для которого высказывание истинно.

Правила построения отрицания для высказывания, содержащего кванторы существования и единственности, даются при помощи

формул:	x a A	x ;
a A	x a A	x ;
a A	x a A	x .

Покажем применение этих правил на примере отрицания определения функции, ограниченной на множестве X .

Пример 1.1. Функция

f x называется ограниченной на

множестве X R , если

f x

C R x X :

C .

(1.1)

Неограниченность функции

f x

на множестве

X означает:

не существует числа такого C ,

что для любого x X

выполняется

неравенство

f x

C . Это значит, что для любого числа C сущес-

твует число

x X , для которого

f x

C . Поэтому определение

неограниченной на множестве X функции f x с помощью кванторов можно записать так: функция f x не ограничена на множестве X ,

если	f x C .
C R x X :	f x C .	(1.2)

Сравнивая выражения (1.1) и (1.2), мы видим, что для построения отрицания предложения (1.1) нужно квантор заменить на , а квантор – на и стоящее после двоеточия неравенство заменить ему противоположным.

Операции над множествами

Пусть универсальному множеству E: = принадлежат все рассматриваемые в данной задаче множества.

Пусть A E, B E , тогда

1)A B : x E : x A x B – объединение множеств A и B ;

2)A B x E : x A x B – пересечение множеств A и B ;

3)A \ B x E : x A x B – разность множеств A и B ;

4) A B A \ B B \ A	– симметрическая	разность	множеств
A и B .
Далее x, y – упорядоченная пара элементов x и y , в которой x
предполагается первым	элементом и y –	вторым,	при этом

x, y t, z x t y z .

Определим X Y : x, y :

1 2

Рис. 1.1. Декартово произведение множеств X и Y

x X y Y – декартово* произведение множеств X и Y .

Пример 1.2. Пусть, X = {1, 2}, Y = {3, 4}. Каждое из множеств

X	и Y содержит по два элемента.
Декартово		произведение множеств
X	и Y	–	четырехэлементное

множество:

{1, 2}×{3, 4}={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} (рис. 1.1).

* Декарт Рене (1596–1650) – выдающийся французский философ, физик, математик, внесший фундаментальный вклад в теорию научного мышления и познания.

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]