Начала математического анализа. Учебное пособие

c R такое,

что am c bn

m, n N . В частности,

an c bn

n N . Следовательно, точка c принадлежит всем отрезкам In .

Докажем

единственность

точки

c . Предположим противное:

c

c

,

c

c : 0 .

Пусть

I

n

c

c

,

тогда

1

2

2

1

n N

1

2

an c1

c2

bn bn an c2 c1 0,

т. е. длина

любого

отрезка

Замечание. В

условиях

леммы

нельзя заменить

отрезки

an ,

bn интервалами an ,

bn .

Пример 3.5. Доказать, что

0,

1

.

n N

n

Предположим

противное:

пусть

существует

0,

ε

1

0,

1

. Однако по принципу Архимеда

0,

n N

ε

n

n N

n

0

n N :

1

0,

1

n

, т. е.

.

n

элементу x X ставится в

соответствие

ровно один элемент

y f (x) Y .

Формальная запись отображения: x X !y f (x) Y . Для

записи отображения используют обозначения:

f

f : X Y , или X Y .

Множество X называется областью определения отображения

f и обозначается D f , Df

(Dom f , Domain f ). Множество Y –

значение f (x)

этой функции в каждой точке x X .

Пусть f : X Y – произвольное отображение (функция).

Элемент

f (x)( y)

называется

образом

элемента x

при

отображении

f , или значением функции f

в точке x

( x f (x) : f

переводит x в f (х)).

Образ

множества

S X

–

это

множество

f (S) : f (x) Y : x S .

Множество f X Y

называют множеством значений отобра-

жения f и обозначают E f ,

E f .

Пример 4.2.

Пусть

y f (x) x2,

X R, Y R,

S 1,2 .

Образ множества S – отрезок f (S) : 0, 4 ,

f (S) Y .

Пример

4.3.

y f (x) x2, X R, Y 0; ),

S X .

Образ

множества S :

f (S) f (X ) 0; Y .

f (X ) 0; ) R .

Пример 4.4. y f (x) x2, X R, Y R,

Прообразом точки

y Y

при

отображении

f

называется

множество элементов x X : y

f (x) : f 1( y) .

честве y число 4, тогда f 1(y) состоит из двух чисел: 2

и 2. Дей-

33

x2 0 x 0. Поэтому множество

f 1(y) содержит ровно один эле-

мент: f 1(0)

0 .

Замечание. Обозначение

f 1(y)

не связано с понятием отри-

цательной степени, т. е.

f 1( y)

1

.

f y

Прообразом множества T Y при отображении f

называется

множество f 1(T) : x X : f (x) T .

Множество Γf

или Γ( f ) : x, y X Y :

y f (x) называется

графиком отображения (функции)

f .

Пусть

f : X Y ,

S X .

Отображение

f : S Y называется

сужением функции f

на множество S (см. пример 4.1).

4.2. Простейшая классификация отображений

Определение.

Отображение f : X Y называют:

1)

постоянным, если f ( p) f (q)

p, q X ;

2)

инъективным

(инъекцией,

вложением), если

p, q X

p q) ( f ( p) f (q) ,

т. е. различные элементы множества

X

имеют

различные

образы

(это

эквивалентно

тому,

что

( f ( p) f (q)) ( p q) );

3)

сюръективным (сюръекцией), или отображением «на», если

f (X ) Y , т.

е. любой элемент

y Y

является образом некоторого

x X ;

4)

биективным (биекцией), или взаимно однозначным

отображением X на Y, если оно инъективно и сюръективно, т. е.

y Y

уравнение f (x) y имеет единственное решение x X ;

5)

тождественным, если Y X и f (x) x x X .

Пример 4.7. Отображение

,

R ,

f (x) cos x, f :

2

2

Поскольку, например,

2

,

постольку

cos

cos

4

2

4

отображение неинъективно, и поскольку

;

R , постольку

f

2

оно несюръективно.

2

Пример 4.8. Отображение f (x) cos x,

f

,

:

2

R 0, 1

2

Пример 4.9.

f x cos x, f : 0, R

инъективно,

несюръективно.

Пример 4.10. f x cos x, f : 0, 1, 1 биективно.

4.3. Композиция функций

Пусть заданы функции (отображения) f : X Y

и g :Y Z

Пусть

f X – множество значений функции f и

f X Y . В таком

случае

f

x y g z g y g f x Z

(отображение g любому

элементу

y Y

ставит в

соответствие

определенный

элемент

z g y Z ). Новое соответствие

x z :

f

g

x y z ,

которое

x X

посредством правила

h g f

ставит в

соответ-

Пример 4.11. X Y R ,

f x x2 , g y sin y .

Найдем g f x sin x2 или h x sin x2 , h : R 1,1 ,

f g x sin x 2

или

h x sin x 2 ,

h : R 0,1 .

Здесь

g f f g .

Пример 4.12. Найти

f f

f x , если

f x

1

.

1 x

Найдем

f f x f

f x

1

1 x

x 1

,

x 0,

x 1.

1

1/ (1 x)

x

x

Тогда f

f f x

1

x

x,

x 0,

x 1.

1

(x

1) / x

x x 1

Пример

4.13.

Найти

f

g x ,

если

1 x,

x 1;

f x

x 1,

2 x,

g x

x,

x 1;

x 1.

x x2 ,

x ,

x : g x 1;

1 g

Имеем f g x

g

x ,

x : g x 1.

2

x

1;

x

1;

Найдем x : g x 1:

x x

2

1;

x

1.

Первая

система

несовместна,

из

второй

вытекает, что

x 1

5

2 .

x 1;

x

1;

Найдем x : g x 1.

x x

2

1;

x

1.

Из первой системы вытекает x 1, из второй следует

1 x 1

5

2. Учитывая, что g x x,

x 1,

g x x x2 ,

x 1,

2

x,

x 1;

получим f g x

x

x2 ,

1 x 1

5 2;

2

x

x2 ,

5

2.

1

x 1

Пример 4.14. Пусть f x 1 x2 , x R . Найти

f x 1 .

Обозначим

x 1 t x t 1,

тогда

f x x 1 2 ,

f x , если

x

Пример 4.15. Найти

f x x f

2,

x 1 2 .

2x 1

Обозначим x / 2x 1 t,

x t / 2t 1 , тогда

x

xf x 2, x 1 2 .

f

2x 1

37

x

f x x f

2, x 1 2 ,

2x 1

из системы

двух уравнений

с двумя неизвестными

находим

f x 2 2x 1

,

x 1 2,

x 1.

Если x 1,

то из

равенства

x 1

1

f 1 1.

f 1 f

2

находим

Таким

образом,

2 1 1

2 2x 1

,

x 1 2,

x 1;

x 1

f x

1,

x 1.

Ясно, что D f E f 1 ,

E f D f 1 .

Очевидно, что отображение f является обратным отображению

f 1.

Поэтому отображения f и f 1 называют взаимно обратными.

Для них справедливы соотношения:

f f 1 y y y Y

( f f 1 )(y) y ;

f 1 f (x) x x X ( f 1 f )(x) x ;

1

f .

f 1

x

a

b

а

b

x

y

Условие строгой монотоннос-

4

ти функции является, достаточным,

но не необходимым условием су-

3

ществования

обратной

функции.

2

Так, на рис. 4.3 изображен график

1

x,

1 x 2;

функции

f x

2x 3

,

x 2,

0

2 3

x

x

2

f

,

которая не яв-

Рис. 4.3. График

: 1,

1,

ляется монотонной

функцией во

немонотонной, но обратимой

функции

всей

области

своего определения,

если оно биективно.

Доказательство.

Необходимость:

пусть

функция

его образ во множестве

X :

x f 1 y . По определению обратной

функции

f x f f 1 y y, поэтому отображение f

– сюръекция.

Докажем,

что f

– инъекция. Предположим противное, т. е. что есть

два

различных

элемента

x1 x2

во

множестве X ,

для

которых

f x

f x

2

y.

В

таком

случае

f 1 ( y) f 1

f (x ) x

1

1

1

f 1 ( y) f 1 f (x

) x

2

, поэтому x

x

2

.

Полученное

противоречие

2

1

f .

и доказывает биективность отображения

Достаточность: пусть функция f

– биекция. Возьмем любую

точку y Y . Поскольку

f

– сюръекция,

найдется

такой

элемент

x X , что

f x y, а т. к.

f – инъекция, то такой элемент единствен.

в соответствие каждому элементу y Y

его прообраз во множестве

X . При этом очевидно, что f g( y) y,

и также ясно, что g f (x) x

для любой точки x X , т. е. g f 1. Теорема доказана.

Примеры обратимых функций:

f x sin x,

f

: 2, 2 1, 1 ;

f x cos x,

f

: 0, 1, 1 ;