Начала математического анализа. Учебное пособие

Пусть

N : max N1, N2 , тогда для n N

xn c yn c ,

т. е. xn yn

n .

a b,

Доказательство 2 проведем от противного. Пусть

тогда согласно п. 1

xn yn

n , т. е. N1 N n N1 xn yn . По

условию xn yn начиная с некоторого

N2 N. Таким образом, для

числа

N : max N1, N2

n N

выполняются неравенства

xn yn

и xn yn . Это абсурдно!

Значит, a b.

Замечание.

Из

неравенства

xn yn

n

не

следует

a b .

1 ,

1 ,

неравенство

В

самом

деле,

пусть

x

n

y

n

n

n

lim xn lim yn 0, т. е. a b.

n

n

Пусть xn yn zn

n и lim xn lim zn a , тогда

lim yn a.

Доказательство.

n

n

n

N1

Действительно,

0

N1

n N1

xn a

,

N2

N2

n N2

zn a

.

Пусть

т. е. n N yn a , a и, следовательно,

lim yn a.

n

Следствие. Если

lim xn a, то lim

xn

a

.

n

n

Доказательство

следствия

вытекает

из

того, что 0

N N n N

xn a

, и из оценки

xn

a

xn a

.

61

Замечание. Обратное утверждение неверно. Рассмотрим по-

следовательность

x

n

1 n . Ясно, что lim

x

n

1, но

lim x

n

не су-

n

n

ществует.

Пример

5.23.

Изучим

поведение

последовательности

xn

1

.

Здесь

1

1

1

.

Так

как

n 1 n 1

n 1

n 1 n 1

n

1

1

0,

n ,

1

0,

n ,

то по теореме «о двух мили-

n 1

n

1

ционерах»

lim

1

0.

n n 1 n 1

Заметим,

что

xn 0

n ,

последовательности

x2k

1

и

x2k 1

1

монотонно убывают

(о

чем

далее,

пара-

2k 1

2k

1

граф 6.1),

однако

последовательность

xn

не является

n

1 n 1

монотонной: 1

1

1

1

1

1

1 .

2

1

4

3

6

5

8

5.6. Бесконечно малые и бесконечно большие

последовательности

Определение.

Последовательность xn называется

беско-

нечно малой (б. м.), если

lim xn 0 . В этом случае будем писать

n

xn o 1 , n .

Символ o 1 читается: «о-малое от единицы».

Пример 5.24. Доказать, что последовательность xn

2n 5

n2 3

Требуется

доказать,

что

lim 2n 5 0, т.

е.

для

0

2n 5

n n2 3

2n 5

3n

3 , если

N N N n N

.

Так как

n2 3

n2 3

n2

n

n 5, то для

3

требуемое

неравенство

будет

n max

, 5

3

выполнено. В качестве N можно взять целое число: N

5 .

Определение. Последовательность xn

называется бесконечно

большой (б. б.),

если

E R

N N E N : n N

xn

E .

В этом случае пишут

lim xn .

n

вательность не сходится ни

к ,

ни к . В этом случае

lim

x

lim n , поэтому

lim x

, т. е. последовательность

n

n

n

n n

так и расходящейся. Например, последовательность

xn

1 n

n

1 n

сходится к нулю, а последовательность x

n

не имеет предела.

тельно, все члены с четными номерами равны

нулю:

x2k 0.

Поэтому в окрестности бесконечности (например

(1,

) ) лежат

не все члены последовательности.

Покажем, что заданная последовательность неограниченная.

Пусть C –

любое положительное число. Найдем n :

n sin

n

C .

2

Рассмотрим x4k 1

4k 1

4k 1. Тогда

n 4k 1 4k 1 sin

2

x4k 1

C ,

если

k

C 1

, т. е. начиная с номера

k0

C 1

1

4

4

неравенство

x4k 1

C выполняется для всех C 0 .

В таком случае

n0 4k0 1

C 1

4

1

1

4

x

n

sin

n

1

4

C

1

1

1

4

C 1

1 1

1

n0

0 4k

0

0

4

2

4

C 1 1 C . Здесь

x R x 1 x x,

где x –

целая часть x .

Итак,

x

n0

C

C ,

т.

е.

последовательность n sin

n

не огра-

2

ничена.

Рассмотрим еще один пример.

Пример

5.27.

Покажем,

что

последовательность

x 2n 1 n

n

является

бесконечно большой и,

следовательно,

Пусть

n 2k :

x2k

2 2k 2k 2k,

последовательность

x2k 2k бесконечно большая, так как 2k C , если k

C

C

.

2

2

Пусть

n 2k 1:

x

2k 1

2 2k 1 1

2k 1

2

2k 1.

2k 1

2

2

x2k 1

2k 1

2k 1

2k 1 1 2k 2,

Оценим

2k 1

2k 1

C 2

C 2

если k 2

x2k 1

2k 2 C , если

k

. Итак,

.

2

2

Поэтому

последовательность

x2k 1

также

бесконечно

большая.

В таком

случае

для значений

C 2

последовательность

k

2

xn 2n 1 n

n

является бесконечно

большой

и,

следовательно,

неограниченной.

Отметим основные свойства бесконечно малой последова-

тельности.

Теорема

6.

Пусть

xn

–

бесконечно

малая

последователь-

ность,

yn –

ограниченная

последовательность,

тогда

после-

довательность

xn yn

бесконечно

малая,

т.

е.

xn o 1 , yn O 1 xn y n o 1 .

yn O 1 ,

Доказательство.

Поскольку

то

M

n N

y

n

M .

Положим

:

, где

–

произвольное положительное

1

M

число.

Так

как

xn

–

бесконечно малая последовательность, то

1

0

N N 1

n N

xn

1 .

В

таком

случае

x y

n

Mε

M

ε

ε, т. е. lim x y

0.

n

1

M

n n

n

Теорема 7.

lim xn a тогда и только тогда, когда xn a n ,

lim n 0.

n

где

n

Необходимость.

Пусть

lim xn a,

тогда

0

N N

n

n N

xn a

.

Обозначим

xn a : n , тогда

n

n N

и xn a n .

x

a

, где

lim

0,

тогда

Достаточность.

Пусть

n

n

n

lim xn a 0,

n

, а это

т.

е.

0

N N

n N

xn a

n

lim xn a .

значит, что

n

Следствие.

xn a R

xn a

0 n . В частности,

lim xn 0 lim

xn

0.

n

n

Теорема 8. Пусть xn – бесконечно малая последовательность

и

xn 0

n , тогда

1 xn

–

бесконечно большая последова-тель-

ность.

Действительно,

x

N N

lim

0 : 0

n

n

1

1

n N1

xn

,

т.

к.

xn 0

n : N2 n N2 xn

0.

Пусть

N : max N , N

2

.

Возьмем

E 0

и

положим

1

,

тогда для

1

E

n N :

xn

и

1

1

1

,

т.

е.

1

E

и, следовательно,

xn

lim

1

.

xn

xn