Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Начала математического анализа. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

847 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

			5.9. Задачи с решениями																										2n 1						2 .
			1. Показать по определению																							lim			2n 1						2 .
																										n			5n 1						5
			Решение. По определению число																												2		будет пределом последова-
													2n 1																		5
тельности								xn					2n 1			,		если для					0								найдется натуральное число
тельности								xn					5n 1			,		если для					0								найдется натуральное число
	N N							такое,						что				для всех									n N						выполняется неравенство
	2n 1					2	.
	2n 1					2	.
	5n 1					5
			Решим последнее неравенство относительно n :
	2n 1					2				10n 5 10n 2																			7					n								5 7
	2n 1					2				10n 5 10n 2																			7													5 7
	5n 1					5																																					25 .	В	каче-
	5n 1					5							5 5n 1														5 5n 1																25 .	В	каче-
стве N N												можно взять некоторое натуральное число,																																большее
числа					5 7 ,							например число 5 7																	1. В таком случае для каж-
						25																			25
дого натурального n , большего этого числа																																				N , выполняется нера-
венство
	2n 1					2						7							7														7									.	Так		как
	2n 1					2						7							7														7
	5n 1					5				5 5n 1								5 5N 1											5 7
																									5			5							1 1


																															25
	5 7					1					5 7			1 1						5 7		,								то											5ε 7
																																					5	5						1 1
																																					5	5						1 1
		25										25								25																							25ε
		25																										7															25ε

				5ε 7												35			7														.				Таким						образом,		для
		5	5								1			5							и
		5	5		25ε						1			5	25ε					ε	и			5 5N							1
					25ε										25ε					ε				5 5N							1
любого						0						существует натуральное число																															5 7
любого						0						существует натуральное число																									N N							25	1
																																												25
такое, что все члены последовательности																																	x			2n 1				, номера которых
такое, что все члены последовательности																																	x							, номера которых
																																	n			5n 1
больше						N ,			удовлетворяют неравенству																							2n 1					2		. По определе-
																																2n 1
																																5n 1
																																5n 1					5
нию это означает, что																		lim		2n 1						2 .
																	n 5n 1									5
																										71

Отметим, что в задании 1 найдено наименьшее N N , удовлетворяющее определению предела. Это удается сделать не всегда (см. следующее задание).

2. Показать по определению lim				5n4	5	.
				n3 1	6
		n	6n4
Решение. Как и в предыдущем задании, решая неравенство
5n4
	5	, для данного	0	находим		такое N N ,
6n4 n3 1
	6

чтобы при всех n N неравенство было выполнено.

Если потребу-

ется,

увеличим

N .

Для

нас

главное

–

найти

какое-нибудь

указанными

условиями.

Имеем

5n4

6n4 n3 1

30n4

5 6n4 5n3

5 n3 1

ε.

Упростим

неравен-

6n4 n3

6n4 n3 1

ство,

увеличив

его

левую

часть:

n3 1

n3 n3

2n3

6n4

n3 1

6n4

Теперь если

то тем

более

n3 1

Так как

6n4

n3 1

равносильно неравенству n

, то в качестве N можно взять число

таком

случае

для

каждого

n N

имеем

5n4

ε.

6n4 n3

1 6

3(1 3ε)

1 3ε

Доказать,

что последовательность

n2 3 n

является

бесконечно малой.

Решение. По определению последовательность будет

бесконечно малой,

если

lim

n2 3 n 0 ,

т.

е.

если для

найдется натуральное число N N

такое, что для всех

n N

выполняется неравенство

n2 3 n

Решим

непосредственно

неравенство

3 n

или

n2 3 n n2

3 n2 2 n 2

3 2

качестве

ε 3;

N N можно взять числоN

2ε

Неравенство

n2 2 n можно решить с предварительной

оценкой (в этом случае найденное далее число

N N

не умень-

шается, а может только увеличиться):

3 n

n2 3 n

n2 3 n2

n2 3 n

n2 3

n2 3 n

Потребуем, чтобы

, и выберем N

		3			2			3

Итак, 0	N		1: n N	n		3	n		, т. е.
								2n
		2

lim n2 3 n 0.

Заметим, что оба решения корректны и для вывода можно использовать любое из найденных значений N .

4. Показать, что число a 1 не является пределом последова-

тельности xn 2n 3. n 2

	a R,	a lim	x		:
Решение. Вспомним, что	a R,	a lim	x		:
		n		n

ε0 0 N N n N (n N) ( xn a ε0 ) .


При n 2N имеем	4N 3 1		2N 1		1			1	1	1	3 .
			2N 1					1		1
			2N 2					2N 2		4
	2N 2		2N 2					2N 2		4	4
Итак, N N n 2N N		2n 3 1		3 :		0	.	Таким образом,
Итак, N N n 2N N		2n 3 1		3 :			.	Таким образом,
		n 2		4
		n 2		4

число a 1 не является пределом последовательности x	n	2n 3.
	n	n 2
		n 2

Вычисление пределов последовательностей

Вычисление предела последовательности опирается на теоремы параграфа 5.8 об арифметических операциях над пределами последовательностей и зависит от вида неопределенностей, которые полезно находить в каждом примере.

	Неопределенность вида

5. Вычислить	lim	5n3	7	.
5. Вычислить	lim			.
	n 6n3 n2 1
Решение. При n числитель и знаменатель дроби неогра-
ниченно возрастают, поэтому имеет место неопределенность					.

Для раскрытия этой неопределенности числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую степень n , встречающуюся в данной дроби

(в нашем случае n3 ):

lim

5n3 7

lim

5n3 7 n3

lim

5 7 n3

1 n

1 n 1 n

n 6n

n 6

Здесь 1 0,

n .

6. Вычислить

lim

5n2

3 n3 1

n n4 2 5

n2 1

Решение.

При n числитель и знаменатель дроби неогра-

ниченно возрастают,

поэтому имеет место неопределенность

5n 1 4n 2

Для раскрытия этой неопределенности числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую степень n , встречающуюся в данной дроби,

(в нашем случае n2 ):					5n2 3 n3 1 n2
lim	5n2 3	n3 1		lim

	n4 2	5	n2 1		n4 2 5 n2 1
n				n		n2

n3 1

n4 2

lim

n10

			1	1			2			1		1	5 0
lim	5	3				1			5						5.
			n3	n6				n4		n8		n10	1 0
n
7. Вычислить lim								n 1 !			3n!			.
							1 n 1 ! n 2 !
					n 6 n

Решение. Чтобы раскрыть неопределенность

в случае

факториалов, надо выразить все факториалы, входящие в данное выражение, через факториал меньшего из чисел и сократить на него.

Имеем

n! n n

1 n 2 !,

lim

n 1 ! 3n!

n 1 ! n 1 n 2 !

n 6 n 1 n 1 ! n 2 !

lim

n 2 ! n 1 3n(n 1)

lim

n 1 3n(n 1)

n n 2 ! 6(n 1)(n 1) 1

n 6(n 1)(n 1) 1

lim

3n2 2n 1

lim

3 2 n 1 n2

3 0 0

6n2 7

6 7 n2

6 0

8. Вычислить nlim 5n 3 3n 1 .

Решение. Каждая из последовательностей (5n 1), (4n 2 ), (3n 1) при n является бесконечно большой. Скорость стремления к тем быстрее, чем больше основание степени. Таким образом, среди последовательностей (5n 1), (4n 2 ), (3n 1) с «наибольшей ско-

ростью» стремится к последовательность (5n 1) . Разделим числи-

тель и знаменатель на 5n 1, получим

lim

5n 1 4n 2

lim

5n 1

4n 2

3n 1

lim

1 4 4 5 n 1

5n 1

n 5n 3 3n 1

5n 1

n 1

3 3 5

n 1

4 n 1

n ,

1 4 0

n 1

1 5

3 0

9. Вычислить lim

2n 1 2

14 5n 1

n 4 9

Решение. В знаменателе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии

Sn n

a a

2a1 d n 1

4 5n 1

5n 3

В нашем случае a 4,

5n 1, тогда Sn

Следовательно,

lim

2n 1 2

lim

2n 1 2

lim

2n 1 2

9 14 5n 1

5n 3 2 n

n 4

n 5n 3 2 n

lim

2 1 n 2

2 0 2

5 2 3 2n

5 2 0 5

10. Вычислить lim

...

5 8

3n 1 3n 2

Решение. Представим выражение

в виде суммы

3n 1 3n 2

простейших дробей

3n 1 3n 2

3n 1

3n 2

Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой части,

приходим						к		тождеству									1 A 3n 2 B 3n 1 .											Сравнивая коэффи-
циенты при степенях n , находим
			n : 3A 3B 0 B A,
			n0 : 2A B 1 A 1 ,																B 1.
																	3	1		3				1		1					1
Таким						образом,												1						1		1					1				,		отсюда

																	3n 1 3n			2				3						3n 2
																	3n 1 3n			2				3	3n 1					3n 2
	1			1		...									1
	2 5			5 8		...					3n 1 3n 2
		1	1		1		1			1			1		1				1					1			1		1				1
																																				.
		3	2		5		5			8			8		11			3n 1				3n 2					3		2			3n		2		.
		3	2		5		5			8			8		11			3n 1				3n 2					3		2			3n		2
Окончательно получаем
	lim		1					1				...					1				lim					1	1				1					1	1	1	.

				2 5			5		8																		2			3n 2						3	2	6
n				2 5			5		8							3n 1 3n 2							n 3				2			3n 2						3	2	6
														Неопределенность вида
			11. Вычислить											lim			n n2		2 n				n2		3 .
														n
			Решение. Здесь при n получаем неопределенность ,
которую						можно							привести к						неопределенности															умножением

и делением на выражение, сопряженное к данному (используется

формула a2 b2

a b a b ). Таким образом,

lim n

n2 2 n

n2 3

n n n2 2 n n2 3 n n2 2 n n2 3

lim

n n2 2 n n2 3

n2 n2 2 n2 n2 3

5n2

lim

n n

2 n n

n n n

lim

5 .

1 2 n2 1 3 n2

1 1

12. Вычислить

lim

n2 n 3

3 n3 .

Решение. Здесь, как и в предыдущей задаче, имеем неопре-

деленность

Умножим

разделим

выражение

n 3 3 n3

на неполный квадрат

разности

(используется формула

a3 b3

(a b)(a2 ab b2 ) ), получим

n2 n

n 3

3 n3

n3 n2

3 n3

lim n2

lim

n2 n 3 3 n3 3 3 n3 2

lim

n2 n3 3 n3

lim

3n2

n n2 n 3 3 n3 3 3 n3 2

lim

3n2

3 3 n3 1 2

1 1

n n2 1 3 3 n3 1

Неопределенность вида 1

2n5

13. Вычислить

lim

n n

Решение. Здесь при

n выражение

под знаком предела

представляет степень, основание которой стремится

единице

lim n6 5n

1, а показатель – к бесконечности

lim 2n5 . Таким

n n6

образом, имеем неопределенность 1 . Для раскрытия этой неопределенности нужно воспользоваться замечательным пределом

lim 1 1 n e , (5.14)

n	n
n
	78

где n – бесконечно малая последовательность.

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы можно было использовать формулу (5.14).

	5n 2n5				2n5
n6	5n 2n5		n6 5n
lim		lim 1	n6 5n	1
n n6	5n	n	n6 5n

	n6 5n n6			5n	2n5
	n6 5n n6			5n
lim 1		6
	n	6	5n
n	n		5n

n6 5n

10n

2n5

10n

lim

10n

2n5

10n

20n

lim 20

lim e

lim

lim 6

e20 .

n6 5n en

n 5n en n 5n en

n6 5n

10n

10n 10n

e , т. к.

lim

0 ,

т. е.

lim 1

n6 5n

n n6

бесконечно малой последовательностью.)

(Здесь

является

6.ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.

Число e.

Применение последовательностей в экономике.

Подпоследовательности. Теорема о сходимости подпоследовательности сходящейся последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.

Теорема Больцано–Вейерштрасса (о выделении сходящейся подпоследовательности из любой ограниченной последовательности).

Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Задачи с решениями.

6.1. Предел монотонной последовательности

Определение. Последовательность xn называется:

строго убывающей, если xn xn 1 для всех n N ; убывающей (невозрастающей), если xn xn 1 для всех n N ; строго возрастающей, если xn xn 1 для всех n N ; возрастающей (неубывающей), если xn xn 1 для всех n N .

Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными. В дальнейшем, если последовательность xn возрас-

тающая (убывающая), то будем писать: (xn) (xn) .

Заметим, что неубывающая последовательность xn ограничена

снизу своим первым элементом. Она будет ограниченной, если она ограничена и сверху, т. е. если существует такое число C, что при всех натуральных n выполняется неравенство xn C . Невоз-

растающая последовательность xn ограничена сверху своим первым элементом. Она будет ограниченной, если она ограничена и снизу,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]