Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Начала математического анализа. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

847 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

т. е. если существует такое число c, что при всех натуральных n выполняется неравенство xn c .

Пусть X {x1, x2 , ..., x3, ...}.

Теорема 1 (теорема Вейерштрасса* о сходимости монотонной и ограниченной последовательности).

Монотонная ограниченная последовательность действительных чисел сходится, причем если последовательность xn возрастающая, то

		lim xn sup X ,
		n
если же последовательность xn убывающая, то
		lim x inf X .
		n	n
Доказательство. Пусть последовательность (xn) и ограни-
чена сверху (снизу		она	ограничена	числом			x1), т. е.
b R :	n Ν (xn b) (xn xn 1). Так как				x n	b	для всех n ,
то существует точная верхняя грань a : sup X					и	a b	(если a b,
например,	a b , 0,	то n0 0 xn0		b ,			xn0	b , что

противоречит тому, что n N xn b ). Покажем, что a nlim xn . Поскольку a – точная верхняя грань X , то

1)n N xn a;

2)0 N N( ) такое, что xN a .

Поскольку последовательность (xn ) возрастает, постольку для

каждого n N имеем

a xN xn a,


т. е. для всех n N	a xn a a . Таким образом,		xn a

при n N . Отсюда ввиду произвольности числа имеем		lim x		n	a.
		n

Теорема доказана.

* Вейерштрасс Карл (1815–1897) – немецкий математик, уделявший большое внимание логическому обоснованию математического анализа.

Замечание 1. Если последовательность (xn) не является ограниченной сверху, то nlim xn , т. е. последовательность явля-

ется бесконечно большой. В самом деле, если последовательность (xn ) не является ограниченной сверху, то E R существует такое

число xm , что xm E . Так как ( xn ) , то для всех n m	xn xm ,
а это и означает, что lim xn .
n

Аналогично доказывается теорема о пределе убывающей последовательности.

Замечание

Сходящаяся

последовательность

может

и не быть монотонной.

1 1 n ,

Пример 7.1.

Рассмотрим

последовательность

5 1, x

lim x

1. Находим x

0, x

1, ,

т. е. все

члены

последовательности

с четными

номерами

x2k 1

4k 2

а все

члены с нечетными

номерами

x2k 1 1

Как

2k 1 2

видно, последовательность xn 1 n12 n не является монотонной.

Пример 7.2. Докажем, что

lim qn 0 , если

Пусть

сначала

0 q 1.

Находим

xn 1

qn 1

q 1 x

n 1

n , т. е. (x ) – убывающая ограни-

ченная снизу (нулем) последовательность. Значит, она имеет предел. Пусть a : nlim xn . Последовательность ( xn 1) имеет тот же предел:

a : nlim xn 1 . Но по теореме о произведении пределов последова-

тельностей

(параграф

5.8)

lim qn 1 lim qnq (lim qn )q a q .

Таким образом, a a q a 0.

Если 1 q 0 , то будем пользоваться тем, что

n , и тем,

что

lim xn

0 lim

6.2. Число e

Теорема 2. Последовательность (xn),

где

x :

1 n ,

n 1, 2, ...,

сходится. Заметим, что

x1 2, x2 2,25, x3 2,370 37, , x100 2,704 81, x1000 2,716 923, x9998 2,718 145 791,

Доказательство. Докажем, что последовательность (xn ) стро-

го возрастает и ограничена. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

(a b)n an Cn1an 1b Cn2an 2b2 ... Cnn 1abn 1 bn ,

(6.1)

где

n(n 1)...(n k 1) .

k!(n k)!

Подставляя в формулу (6.1) a 1,

1 , получаем

1 n 1

n(n 1)

... n(n 1)...( n n 1)

n 2

n n

n 1

...

... 1

(6.2)

Так как 1

(i 1, 2, ,n 1) ,

то

из

выражения

(6.2)

вытекает

xn 2

n Ν.

А так как 1 ni 0 (i 1, 2, , n 1) , то

x		2				1				1		...								1						n!			1 2 3... n 2n 1



n						2!				3!									n!
						2!				3!									n!
2					1				1			...									1						2 1					1			3. Следовательно,															2 x			3.
2					2			22				...								2n 1							2 1					2n 1			3. Следовательно,															2 x			3.
					2			22												2n 1												2n 1																n 1				n
															x					x																x									1			n 1
			Докажем, что														n 1								n	. Находим											n 1				1
			Докажем, что																							. Находим															1
																																												n 1
			1					1							1								1								2
2					1													1									1							...
2					1			n 1						3!				1			n			1			1			n 1				...
				2!				n 1						3!							n			1						n 1
	1					1												n	1										1									1									n
		1								...			1																				1									... 1								.			(6.3)
		1					n 1			...			1					n	1														1						n 1			... 1				n 1				.			(6.3)
	n!						n 1											n	1									(n 1)!											n 1							n 1
Поскольку								1					i			1						i			(i 1, 2, ..., n 1)															и,		кроме					того, последнее
Поскольку								1			n		1			1						n			(i 1, 2, ..., n 1)															и,		кроме					того, последнее
											n		1									n
																																						1							1							n
слагаемое									в				выражении																(6.3)												1						... 1							0	,
слагаемое									в				выражении																(6.3)							(n 1)!					1		n 1				... 1							0	,
																																				(n 1)!							n 1								n 1
постольку из соотношений (6.2) и (6.3) следует, что xn 1																																																	xn .
			Итак,					2 xn 3 и xn 1																		xn					n Ν.
			В соответствии с теоремой 1 о пределе монотонной ограничен-
ной			последовательности																										1 n				имеет							предел,					который, следуя
ной			последовательности																					1									имеет							предел,					который, следуя
Эйлеру*, обозначают e:																													n
Эйлеру*, обозначают e:
																								e :					lim						1			n
																								e :					lim			1				n		.
																												n								n

Наряду с число e является одной из наиболее важных констант в математике. Подсчитано, что начальный отрезок десятичного разложения для е имеет вид e 2,718 281 828 459 045 235 3

* Леонард Эйлер (1707–1783) – швейцарский математик, механик, ученик И. Бернулли, большую часть жизни работал в Петербургской и Берлинской АН; только при жизни Эйлером было опубликовано около 550 своих книг и статей.

В 1873 г. Шарль Эрмит* установил, что число е трансцендентно. В математике число е известно также как неперово** число. Число е используется в качестве основания натурального логарифма ln x : loge x .

Показательная функция с основанием е называется экспонентой expx : ex .

6.3. Применение последовательностей в экономике

Пример 6.3. Пусть Q0 – первоначальная сумма вклада в банк,

р – процент начисления за определенный период времени (месяц, год), N – количество периодов времени хранения вклада, тогда сумма вклада по истечении N периодов равна

Q Q	1		p	N .	(6.4)
Q Q	1			N .	(6.4)
N		100
0		100

Формула (6.4) называется формулой сложных процентов.

Если период времени разбит на n частей, то через t периодов

n t

времени сумма вклада (депозита) составит Qnt

Q0 1

100n

Пусть

r , тогда

100

r t

n t

r r

Qnt Q0 1

		1	pn
Так как	lim 1			e, где	lim p	n	, то
Так как	lim 1			e, где	lim p		, то
					n
	n	pn			n

*Шарль Эрмит (1822–1901) – французский математик, член Парламента Англии.

**Джон Непер (1550–1617) – шотландский математик, составил таблицу

логарифмов в 1614 г.

					n r t
			r	r			r t
lim Qnt lim Q0			r			Q0 e		.

		1
n	n		n

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют начисле-

ниями по непрерывным процентам.

Пример 6.4. Пусть темп инфляции составляет 1 % в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

			183				100	183
		1				1		100
Q Q	1			Q	1			Q e 1,83	0,16Q .

0		100		0		100		0	0

Потери за полгода составят

Q Q		Q	e 1,83 Q
0	100 %	0	0	100 % 83,9 %.
Q	100 %		Q	100 % 83,9 %.
Q			Q
0			0

Инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

6.4. Подпоследовательности

Пусть задана последовательность xn . Выберем некоторую строго возрастающую последовательность натуральных чисел

	1 n1 n2					... nk ....
Последовательность			,	xn		, ... , xn					называется
Последовательность	xn		,	xn		, ... , xn		,	xn		называется
		1			2		k			k

подпоследовательностью последовательности (xn ) (частичной после-

довательностью последовательности (xn ) ).

Итак,	k Ν nk Ν,		nk xn		k	xn R ,	т.	е.

подпоследовательность		xnk		–		функция	натурального
		Ν R

аргумента со значениями во множестве действительных чисел R. Заметим, что k Ν nk k .

	Пример			6.5.		Пусть	nk 5k 1,	nk 6,11,16, ... ,
		x	x		, x , x	, ... – подпоследовательность последова-
x		x	x	6	, x , x	, ... – подпоследовательность последова-
	nk	5k 1		6	11 16

тельности xn .

Замечание. В частичной последовательности xnk сохраняется

тот же порядок следования элементов, какой они имели в исходной последовательности xn . Например, последовательность

x11, x16 , x6 , ... не является подпоследовательностью последователь-

ности xn .

Определение. Пределом подпоследовательности является

a lim x	: 0	N N( ) Ν k Ν k N	x	a	.

k	nk			nk

Теорема 3. Если последовательность (xn ) сходится, то и любая ее подпоследовательность xnk также сходится, причем к тому же са-

мому пределу.

Доказательство. Имеем

		: 0	N N( ) Ν	n N	xn a	.

lim	xn a
n
n

Пусть xnk – любаяподпоследовательностьпоследовательности (xn ) :

k N nk k N nk N xnk a .

Предел подпоследовательности называют частичным пределом последовательности. Их может быть много. Наименьший и наибольший частичные пределы называют соответственно нижним и верхним пределом последовательности. Используют следующие обозначения:

	верхний предел,	lim xn нижний предел.
lim xn
n		n

Пусть последовательность xn расходится. Что можно сказать о сходимости ее частичных последовательностей?

6.5. Теорема Больцано*–Вейерштрасса

Теорема 4. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Поскольку последовательность (xn ) огра-

ничена, постольку a, b R n N : a xn b . Разделим отрезокa,b пополам, тогда, по крайней мере, один из полученных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности xn , обозначим его a1,b1 . Выберем произвольный элемент последовательностиxn , принадлежащий отрезку a1,b1 . Пусть это будет xn1 . Разделим теперь отрезок a1,b1 пополам и обозначим через a2 ,b2 один из отрезков, который также содержит бесконечно много членов после-

довательности

xn .

В силу

того что

на

отрезке

a2 ,b2

содер-

жится бесконечно много членов последовательности

xn ,

най-

дется такой элемент xn2 ,

что

xn2 a2, b2

n2 n1.

Так

выбран

элемент

xn , и т. д.

ak , bk

Получилась последовательность вложенных

отрезков

подпоследовательность

xnk

последовательности xn ,

причем

, b и

n n

... n

.... Очевидно, что b

b a

По

теореме

Коши–Кантора

существует

единственная

точка

c ak , bk k N .

Покажем,

что

lim x

Так как

a a

... a

... c,

k nk

последовательность

ограничена сверху

числом c ,

то по

теореме Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности существует

lim a	k	sup a	k	c.	(6.5)
k	k	k	k
		k

* Больцано Бернард (1781–1848) – чешский математик, философ, теолог.

Поскольку b1 b2 b3 ... bk ... c , т. е.					bk и ограничена
снизу числом c , постольку существует
lim	b	inf	b	c .	(6.6)
k	k	k	k

Поскольку ak xnk bk k N по теореме 5 о пределе промежуточ-

ной последовательности (см. параграф 5.5 на с. 60), постольку, учитывая выражения (6.5) и (6.6), получаем klim xnk klim ak klim bk c .

Теорема доказана.

Упражнения

Докажите.

1.Из любой монотонной неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

2.Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой.

3.У каждой ограниченной последовательности среди частичных пределов существуют нижний и верхний пределы последовательности.

4.Последовательность (xn ) сходится к числу a тогда и только

тогда, когда nlim xn nlim xn a .

Для изучения поведения последовательности используется информация о поведении множества ее подпоследовательностей. Полезны следующие утверждения (см. упражнения 5, 6).

	5. Достаточное условие сходимости последовательности. Пусть
lim x2k lim x2k 1 A,		A R , тогда	lim xn A.
k	k		n

6. Достаточное условие «расходимости» последовательности.

Если какая-либо подпоследовательность не является сходящейся либо существуют две ее подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам, то сама последовательность расходится.

Пример 6.6. Последовательность xn 1 1 n имеет два час-

тичных предела:		2	,		lim xn 0	. К числу 2 сходится под-
	lim xn
	n			n
					89

последовательность с четными номерами: nlim x2k 2 . К числу 0 сходится подпоследовательность с нечетными номерами: nlim x2k 1 0.

Ясно, что последовательность xn 1 1 n расходится.

Если рассматривать любые последовательности, а не только ограниченные, то частичными пределами могут быть и символы ,

или .

Пример

6.7. Расходящаяся

последовательность x

1 n n

имеет два частичных предела:

lim xn .

lim xn

Пример

6.8.

Найти

предел

последовательности

2n 1

sin

4 .

2n 1

Заметим, что

lim

2, lim sin

не существует. В самом

n n

деле,

рассмотрим

подпоследовательности

последовательности

y sin πn :

k Ζ,

y4k sin k 0

y4k 1

πk

2 2,

k 2m;

sin

2 2, k 2m 1, m Ζ,

y4k 2

πk

k 2m;

sin

1, k 2m 1, m Ζ,

4k 3

sin

4k 1


	Значит, имеется 5 частичных пределов: 0,						2, 2,	2, 2 . При
этом					2 1 2	(к этому пределу сходится, например, под-
этом			lim xn		2 1 2	(к этому пределу сходится, например, под-
		n
последовательность x8m 2 (m 0,1, 2, ));
	lim x	n		1 2 2		(к этому пределу	сходится,	например,
	n	n

подпоследовательность x8m 2 (m N) ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]