Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Начала математического анализа. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

847 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Значения f n n N функции f	называют членами (элемен-
ты) последовательности и обозначают	xn : f n ; xn называют n-м

(общим) членом последовательности. Итак, имеют место соответствия

1 x1, 2 x2 , , n xn , ,

где x1 f 1 , x2 f 2 , , xn f n , ..., т. е. каждому натуральному числу n по некоторому правилу поставлено в соответствие число

xn R : n f xn.

Последовательность обозначают xn , xn , xn n 1 , а также записывают в виде x1, x2 , ... , xn , ..., считая букву n переменным числом множества N .

Пример 5.10. Пусть формула n -го члена последовательности

. Здесь

1 1 2,

2 2 3,...,

n n n 1 , ...,

т. е.

n 1

x 1 , x

2 , , x

, .

n 1

Последовательность

можно

записать

также в

виде

1 2, 2 3, , n n 1 , .

n 1

Пример 5.11. Последовательность 1, 1,1, 1,1, 1, можно

задать, указав формулу ее общего члена: x

1 n 1

. Говорят также:

«Задана последовательность 1 n 1».

Множество всех членов последовательности обозначают xn

или xn :

n N .

Важно не путать последовательность и множество ее значений.

Например, в последовательности x

1 n 1 бесконечно много чле-

нов: 1, 1,1, 1,1, 1, . Однако она имеет только два значения: 1,1. Можно рассмотреть постоянную последовательность, имеющую

только одно значение: xn c , т. е. xn c n N .

5.3. Ограниченные последовательности

Определение. Последовательность xn называется ограниченной сверху, если множество ее значений xn : n N ограничено

сверху, т. е. если M R n N : xn M .

Определение. Последовательность xn называется ограниченной снизу, если множество ее значений xn : n N ограничено снизу,

т. е. если m R n N : xn m .

Определение. Последовательность xn называется ограниченной, если множество ее значений ограничено, т. е. если m, M R ,n N : m xn M . Это определение равносильно следующему: последовательность xn называется ограниченной, если существует

число M > 0 такое, что для всех n N верно неравенство					xn	M ,	или

M 0	n N :	xn	M .	(5.7)

Для обозначения ограниченности		последовательности xn					ис-
пользуется символьная запись

xn O 1 , n N .

Символ O 1 читается: «О-большое от единицы».

Пример 5.12. Последовательность

xn 1

1 n

ограничена:

3 .

при любом n имеем

0 x

n 1 2

Пример 5.13. Пусть x

. Докажем, что эта последова-

тельность ограничена.

Очевидно, что данная последовательность ограничена снизу ну-

лем n N xn 0 .

Найдем

несколько первых членов последова-

тельности: x 2,

9 ,

16 2,

, .

Начиная со

второго члены последовательности убывают. Но это нужно строго

доказать. Найдем отношение

xn 1

n 2 2 2n

n 2 2

. Сравним

2n 1 n 1 2

2 n 1 2

его

с единицей:

xn 1

если

n 2 2 2 n 1 2

2 0. По-

следнее

неравенство

выполняется

при

всех

n 1.

Неравенство

xn 1

равносильно

n 1

n 1,

т. е.

заданная

последова-

тельность строго убывает начиная со второго номера. Значит, x2 94

– самый большой член последовательности и n N 0 xn 94 .

Неограниченность последовательности xn означает, что для


любого числа M 0 найдется n N такое, что			xn		M , иначе
любого числа M 0 найдется n N такое, что			xn		M , иначе
M 0 n N :	xn	M .		(5.8)
M 0 n N :	xn	M .		(5.8)

Сравнивая формулы (5.7) и (5.8), мы видим, что для построения отрицания предложения (5.7) нужно квантор заменить на , а квантор – на и стоящее после двоеточия неравенство заменить ему противоположным.

Напомним, что правила построения отрицания для высказывания, содержащего кванторы, даются при помощи формул:


a A	x a A		x

a A	x a A	x ;

Пример 5.14. Последовательность xn n 1 n n не ограничена (рис. 5.1). Для любого положительного числа M все члены

с четными номерами x2n 2n M , если n M2 M2 .

Рис. 5.1. Неограниченная последовательность

5.4. Предел последовательности

Определение. Число a называется пределом последователь-

ности xn , если 0 существует натуральное число N = N (ɛ) такое, что для всех n N выполняется неравенство xn a (элемент последовательности xn отличается от числа a менее, чем на ).

В этом случае пишут	a lim x ,	или	x	n	a,	n , (изменяясь
	n n			n

с увеличением n , величина xn стремится к a ).

Если число a R является пределом последовательности xn ,

то говорят, что последовательность xn сходится к a . Итак,

								x a	.

lim x	a : 0 N N N n N n N
n n								n
n n								n
Пример 5.15. Пусть		xn 1 . Покажем, что					lim 1 0.
		n				n n
По принципу Архимеда 0			N N :			1	, тогда
По принципу Архимеда 0			N N :			N	, тогда
			1	1		N
		n N :		1	,
		n N :			,
а это и означает, что lim 1			n	N
а это и означает, что lim 1		0.
	n n
		54

Пример 5.16. Доказать, что

lim

2n 1

n 1

Пусть – произвольное положительное число. Найдем нату-

ральное число N , начиная с которого будет выполняться неравенство

2n 1 2

. Приводим

к общему знаменателю и

решаем

нера-

n 1

венство

3 1.

n 1

Положим N N 3 1 1. Пусть n N ,

т. е. n

3 1 1 3 1,

2n 1

, что и означает, что

lim

2n 1 2.

следовательно,

n 1

(Здесь мы воспользовались тем,

что x R

x 1 x x, где

–

целая часть

x .

Напомним,

что

x : max n : n x,

n Z .)

Например, если

0,4,

то

1 7.

При

n 7 получим

0,4

2n 1

0,4 .

Так,

2n 1

0,3 0,4

при

n 9,

n 1

2n 1 2

197

0,03 0,4

при

n 99 . Чем

больше

n , тем

n 1

100

ближе значения

2n 1

к числу 2.

n 1

Пример 5.17. Доказать, что

lim

Поскольку

n! n ,

постольку

n .

Следовательно,

. Отсюда

. Положим N

1. Если

n N ,

то

, т.

е. n

следовательно,

1 1

, что и означает, что

lim

0 .

Для описания поведения неограниченных последовательностей служит понятие бесконечности. Так,

		: E R	N N E N : n N	x		E ,
lim x	n				n
n

это означает, что для любого (даже очень большого) числа E найдется номер, начиная с которого xn E . Аналогично определяется

		: E R	N N E N : n N	x		E .
lim x	n				n
n

Можно дать понятие о пределе для всех случаев сразу. Заметим, что неравенство xn a равносильно a xn a . Интервал

a , a называют -окрестностью точки a и обозначают O a . Таким образом,

	O a : a , a x R : a x a .
Окрестности бесконечно удаленных точек и							опреде-
ляются так: O			1		R : x	1
ляются так: O		: ,	x		R : x	,

1				1
O :	,	x R : x		.

Используя понятие -окрестности точки a , определение преде-

ла можно формулировать следующим образом:			O a .
lim x	a : O a N N	n N x	O a .

n n			n

Иначе говоря, начиная с некоторого номера все xn O a , т. е. за пределами O a остается конечное число членов последовательности.

(Здесь a можетбытькакконечнымчислом, таки или .) Напомним, что последовательность, имеющая конечный предел,

называется сходящейся. Последовательность, предел которой равен, , или вообще не существует, называется расходящейся.

Отрицание определения сходимости последовательности выглядит так: последовательность xn расходится, если любое число a

не является пределом xn, иначе

a R, a nlim xn :

0 0 N N n N (n N) ( xn a 0 ) .

Здесь для построения определения расходящейся последовательности мы воспользовались одной из формул алгебры высказываний: .

Пример 5.18. Доказать, что последовательность xn n расходится.

Берем a R

пусть

2 .

Воспользуемся

тем, что

a R

a a a 1,

где

–

целая

часть a .

Отсюда

a 1 a 2 n

n .

Для любого

n n N :

n a

1 ,

т. е. последовательность xn n расходится.

Пример

5.19.

Доказать,

что

последовательность

1 n

расходится.

Для произвольного числа a возьмем окрестность a 1,

a 1 ,

т. е. 1. Заметим, что расстояние между любыми двумя соседними

членами последовательности x				n	1 n равно 2.
				n
	N N n1 2N : x2 N 1,				n2 2N 1: x2N 1 1, n1, n2 N .
	Если x2N O1 a		(т. е.		x2N a		1),	то x2N 1 O1 a (т. е.
	Если x2N O1 a		(т. е.		x2N a		1),	то x2N 1 O1 a (т. е.
	x2N 1 a	1 ). Это и означает,				что данная последовательность
	x2N 1 a	1 ). Это и означает,				что данная последовательность
расходится.
	Пример 5.20. Доказать,				что последовательность xn				n рас-
ходится.
	Покажем, что lim		n . Действительно, для любого числа Е
		n
	n принимает значения больше					E (		n E ), если	n E2 .
					57

И	поэтому	N N E E		+ 1. Например,		если	E 25 2,	то
				2
N 625 4 1 157.			В таком случае для		n 157		n 25 2 .	Так,
при	n 225	n	225 15 25 2 .
	Пример 5.21. Доказать, что последовательность xn sin n рас-
ходится.
	Предположим		противное. Пусть		lim sin n A,		A R , тогда
					n
lim sin(n 2)		A
n			lim sin(n 2) sin n 0.
и			lim sin(n 2) sin n 0.				(5.9)
			n
Так	как sin (n 2) sin n 2 sin1 cos n 1 , то					с учетом выраже-
ния (5.9) получим			lim cos n 1 0.
			lim cos n 1 0.				(5.10)
			n
Из	равенства		cos n 1 cos n cos1 sin n sin1				находим


sin n	1	cos n cos1 cos(n 1) . Отсюда с учетом формулы (5.10)

	sin1
получим lim sin n 0. Таким образом,			lim sin n lim cos n 0, что
	n		n	n
противоречит равенству cos2 n sin 2			n 1.	Следовательно, после-
довательность sin n расходится.

5.5. Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1 (о единственности предела). Предел сходя-

щейся последовательности определен однозначно. Доказательство. Проведем доказательство от противного:

пусть числа

a и b являются пределами

последовательности xn

и a b. Возьмем :

b a

0. Имеем

n N

;

lim x

a : 0

n N

lim x

b : 0 N

Пусть N : max N1, N2 , тогда n N

a b

a xn xn b

xn a

xn b

b a

, т. е.

a b

доказывает, что a b.

Абсурдность

полученного

неравенства

Впрочем, теорему о единственности предела можно доказать, ис-

пользуя понятие -окрестности точки:	n max N1, N2
xn O a xn O b , но O a O b .

Теорема 2 (Об ограниченности сходящейся последовательности)

Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть

lim xn a.

Взяв 1,

найдем

натуральное число N

такое, что

n N выполняется неравенство

xn a

1, тогда для этих номеров n

xn a a

xn a

Если

положить

M : max

, ... ,

то

получим

n N

M , т. е. последовательность xn

ограничена.

Замечание. Ограниченность – необходимое условие сходи-

мости последовательности, но недостаточное.

Пример 5.22.

Последовательность

1 n

ограничена

( 1 xn 1), но не является сходящейся.

Теорема 3 (О сохранении знака сходящейся последовательности)

Если

lim xn a,

a 0 , то существует такое натуральное число

N , что n N

. При этом если a 0, то

, если a 0,

то xn a2 .

Доказательство. Возьмем :

и найдем число N , такое

что

n N

выполняется

неравенство

xn a

тогда

a. Если a 0, то a

a xn

3 a , если же

a 0, то

3 a

xn a , следовательно,

Предельный переход в неравенствах

Пусть n N задано некоторое высказывание n (например,

n N xn C ). Будем говорить, что

истинно для

всех n

начиная с некоторого номера (или n верно для всех достаточно больших n ), и писать n n или α(n) n , если существует такое натуральное число N , что для любого n , следующего за N , справедливо высказывание n , т. е.

α(n) n : N N n N : α(n) .

Высказывание n n будем называть асимптотическим.

Теорема 4 (о неравенстве пределов)

Пусть nlim xn a, nlim yn b , тогда:

1)если a b, то xn yn n ;

2)если xn yn n , то a b.

Доказательство 1. Пусть a b, c :

a b

. Возьмем :

b a

lim x

N N

Так как

то

n N

, т. е.

1 1

xn a a b a a b

c .

N2 N2

Поскольку

lim yn b ,

постольку

n N2

yn b

, т. е. yn b b b a a b

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]