Начала математического анализа. Учебное пособие

Замечание. Вообще говоря, X Y Y X .

Упражнение. Пусть X 1; 2 , Y 3; 4 . Найд ите Y X . Если перемножаемые множества X и Y равны, то используют

степенную зап сь

X 2 : X X x, y : x, y X .

Пример 1.3. Пусть X 0, 1 , тогда 0, 1 2 0, 1 0, 1 (рис. 1.2).

y

1

1. 6. Принцип совпадения множ ств (аксиома)

X Y X Y Y X .

Если X Y и X Y , то говорят, что X – собственное подмножество множества Y ивключение строгое.

С учетом введенных выше обозначений ля множеств натураль-

ГЛАВА 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА

Аксиоматика и некоторые свойства множества действительных (вещественных) чисел.

Расширенная числовая прямая. Арифметические операции.

Модуль и знак числа. Выпуклое множество.

Верхние и нижние грани числовых множеств.

Теорема о существовании и единственности верхней (нижней) грани ограниченного числового множества.

2.1.Аксиоматика и некоторые свойства множества действительных (вещественных) чисел

Множество R называется множеством действительных (веще-

ственных) чисел, а его элементы действительными (вещественными)

числами, если во множестве R определены:

1) операции сложения «+», иначе говоря, каждой паре чисел x и y из R поставлено в соответствие число x y R , называемое суммой

чисел x и y;

2) операции умножения «·», иначе говоря, каждой паре чисел x и y из R поставлено в соответствие число xy R , называемое произве-

дениемчисел x и y;

3) отношение порядка « », иначе говоря, для каждой пары чисел x и y из R определено, истинно или нет неравенство x y .

Эти операции и отношение порядка подчинены системе аксиом. Аксиомы сложения:

Определение. Если на множестве элементов G определена операция, удовлетворяющая аксиомам 1–3, то говорят, что G есть группа. Если эта операция коммутативна, т. е. выполняется аксиома 4, то группу называют коммутативной, или абелевой*. Если эта операция сложения, то группу называют аддитивной.

Множество R является аддитивной абелевой группой.

ность умножения);

4) x, y R имеет место равенство xy yx (коммутативность умно-

жения).

Множество R является мультипликативной абелевой группой.

Аксиомы порядка:

1)x R x x (рефлексивность);

2)x y y x x y (антисимметричность);

3)x y y z x z (транзитивность);

4)x R, y R справедливы неравенства x y y x (линей-

ность).

* Абель Н. Х. (1802–1829) – замечательный норвежский математик, доказавший теорему о неразрешимости в радикалах решения алгебраических уравнений степени выше четвертой.

13

Упражнения. Докажите, что:

1)в R ! 0 и в R !1;

2)в R ! противоположный элемент;

3)в R ! обратный элемент;

4)уравнение a x b в R имеет единственное решение x b a ;

5) x R x 0 0;

6)xy 0 x 0 y 0 ;

7)x Rимеет место равенство x 1 x ;

8)x R 1 x x ;

9)x R x x xx ;

10)0 1.

Введем следующие понятия и обозначения.

Для каждого числа x введем понятие целой степени: x0 : 1, x1 : x, x2 : xx ... xn : xxn 1 .

Для каждого натурального числа n символом n! (читают: «n -факториал») обозначают произведение чисел 1, 2, , n, точнее,

1!: 1, n!: n 1 ! n 1 2 n. При этом 0!: 1.

2.2. Расширенная числовая прямая. Арифметические операции

Множество

R R ; ,

состоящее из элементов множества R - , и двух символов

« » и « », называется расширенной системой действительных чисел (расширенной числовой прямой), т. е. R x : x .

Для точек из R вводятся операции сложения и умножения:

1) если x, y R , то операции x y, xy, xy y 0 имеют в R тот же смысл, что и в R ;

14

2)x R считаем, что

x ; x ; x ; x ;

Геометрически x означает расстояние на числовой прямой от нуля до числа x . Следовательно, x y – расстояние между точками x и y R на числовой прямой.

15

4)x a a x a ;

5)x a x a x a ;

6)x : x x x .

выпуклым множеством, или промежутком, если вместе с любыми своими точками a и b оно содержит отрезок a, b , их соеди-

няющий. Так, отрезки, интервалы, полуинтервалы являются выпуклыми множествами (промежутками).

ограниченным сверху, если K R x X : x K . При этом число K

называют верхней гранью, или мажорантой множества X .

Определение. Непустое множество X R называется

ограниченным снизу, если k R x X : k x . При этом число k называют нижней гранью, или минорантой, множества X .

16

Аналогично формуле (2.1)

M max X : M X x X x M

( M – максимальный (наибольший) элемент множества X ).

Замечание. Не всякое (даже ограниченное) множество имеет минимальный (максимальный) элемент.

Например, множество X 0,1 x R : 0 x 1 имеет максимальный элемент M 1 и не имеет минимального элемента.

Лемма о единственности минимального (максималь-

ного) элемента. Если во множестве X R имеется минимальный (максималь-ный) элемент, то один.

Доказательство. Пусть

Поскольку М2 X , то из выражения (2.1) вытекает М2 M1. Так как М1 X , то из выражения (2.3) следует М1 M 2 . Согласно аксиоме

порядка (2) имеем M1 M 2 M 2 M1 M1 M 2 .

Определение. Число x R называется точной верхней гранью

(точной верхней границей) множества X R , если x – наименьшее среди всех чисел, ограничивающих X сверху.

Первая скобка справа в формуле (2.4) означает, что x ограничивает множество X сверху (справа). Вторая скобка означает, что x – минимальное среди чисел, ограничивающих X сверху, т. е. любое число, меньшее x , уже не является верхней гранью множества X .

Заметим, что высказывание x x x X : x x равносильно

0 x X x x . В самом деле, x x : x x .

Поэтому определение (2.4) можно записать в виде

x sup X : x X x x ε 0 x X x x ε .

При решении задач определение точной верхней грани чаще используется именно в этомвиде.

Аналогично вводится понятие точной нижней грани: число x R называется точной нижней гранью (точной нижней границей)

Заметим, что во всех разобранных примерах точная верхняя грань всегда существует, когда множество ограничено сверху.

Справедлива следующаятеорема.

Теорема. Если непустое множество X R ограничено сверху, то оно имеет единственную точную верхнюю грань. Точно так же

Поскольку c minY , постольку из леммы о единственности минимального элемента вытекает единственность точной верхней гра-

ни sup X .

20