Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие
.pdfɩɨɥɭɱɢɦ
w c |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Z a · |
|
|
|
|
||||
|
|
|
§ |
M |
|
M |
|
§ |
· |
|
||||
|
w w |
H[S¨ |
|
|
|
|
|
¸ |
H[S¨ |
|
¸ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
¨ |
|
|
RT |
¸ |
© |
¹ |
|
|||||
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɨɥɢ ɚɬɨɦɨɜw ¶ w ¶ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.4. Перрен использовал распределение гуммигутовых зерен в воде для измерения постоянной Авогадро. Плотность частиц гуммигута составляла U = 1,21 103 кг/м3, их объем W = 1,03 10-19 м3. Температура, при которой проводился эксперимент, была равна 4 °С. Найти высоту h, на которой плотность распределения гуммигутовых зерен уменьшилась в два раза.
ɉɪɢɧɢɦɚɹ ɜɨ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɱɬɨ ɩɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɡɚɞɚɱɢW U±U ɤɝ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɮɨɪɦɭɥɵh kTOQ >W U±U g@ ɦ
Задача 2.5. В воздухе при температуре 27 °С и давлении 1,013·105 Па взвешены шарообразные частицы радиусом 10-7 м. Найти массу взвешенной частицы.
|
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɧɚɯɨɞɢɦW U±U |
kTOQgh ɤɝ |
|
ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɱɬɨ W ɦ |
ɧɚɯɨɞɢɦ U ± U ɤɝ ɦ |
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭU ɤɝ ɦ ɩɨɥɭɱɚɟɦU ɤɝ ɦ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɦɚɫɫɚ ɱɚɫɬɢɰɵm ɤɝ ɤɝ
Задача 2.6. Газ молярной массой M вращается в центрифуге с угловой скоростью ȍ при температуре T. Найти среднеквадратическое расстояние газа от центра центрифуги. Радиус центрифуги R, высота велика. Исследовать полученное решение при больших скоростях вращения.
ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ
f r |
C Sr H[S¨§ |
M : r |
¸· |
|
|
© |
RT |
¹ |
|
Ɇɧɨɠɢɬɟɥɶ ʌr ɩɨɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɟ ɜ
ɰɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɇɚɣɞɟɦ ɧɨɪɦɢɪɨɜɨɱɧɭɸ ɤɨɧɫɬɚɧɬɭ
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
§ |
M : r · |
|
|
RT § |
|
|
§ |
M : R · |
· |
||||||
³ |
|
|
|
|
³ |
|
¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
¨ |
|
|
¨ |
|
¸ |
¸ |
||||
|
f |
|
r |
|
dr |
C |
|
Sr H[S |
© RT |
|
dr |
CS |
|
|
|
¨H[S |
|
|
|
¸ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
M : |
|
© |
|
|
© RT ¹ |
¹ |
||||||
Ɉɬɫɸɞɚ ɩɨɥɭɱɢɦ ɤɨɧɫɬɚɧɬɭ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
M : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
§ |
M : R · |
|
|
· |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SRT ¨H[S¨ |
|
¸ |
¸ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
© |
RT ¹ |
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|||||
ɢ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
|
|
M : |
|
|
§ |
|
r |
· |
|
f r |
|
|
|
r H[S¨ M : |
¸ |
||||
|
|
M : R · |
|
|
|||||
|
§ |
§ |
· |
© |
RT |
¹ |
|||
|
RT ¨H[S¨ |
|
¸ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
¨ |
© |
RT ¹ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
© |
¹ |
|
|
|
|
|||
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ
ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɩɨɥɭɱɢɦ
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
M : |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
§ |
|
r |
· |
|
||
r |
³ |
r f r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
r H[S¨ M |
: |
¸dr |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M : R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
§ |
· |
· |
|
|
|
© RT |
¹ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
RT ¨H[S |
¨ |
|
|
|
|
|
¸ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
© |
RT |
|
¹ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ɉɪɟɨɛɪɚɡɭɟɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M : |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
§ M : r · |
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
³ r H[S¨© RT |
¸¹dr |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
§ |
§ |
M : R · |
|
· |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
RT ¨H[S¨ |
|
|
¸ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
¨ |
© |
RT |
|
¹ |
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
© |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M : |
|
|
|
R |
|
|
§ M : r · |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
³r H[S¨© RT |
¸¹dr |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
§ |
§ |
M : R |
· |
|
· |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
RT ¨H[S¨ |
|
|
|
¸ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
¨ |
© |
|
RT |
¹ |
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
© |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ɉɨɫɥɟɞɧɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɦɨɠɧɨ ɜɡɹɬɶ ɦɟɬɨɞɨɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ
x |
xH[S Dx dx |
|
d |
|
x H[S Dx dx |
|
|
|
d |
§ |
|
|
H[S Dx |
· |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
≥ |
|
|
dD |
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
dD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© D |
|
|
|
|
¹ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
H[S Dx |
|
|
H[S Dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɥɭɱɢɦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ª |
|
|
|
|
|
§ |
|
M : R |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
º |
|
|
|
|||||||
|
|
« |
|
|
|
|
|
H[S¨ |
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
||||
|
r |
|
«R |
|
|
© |
|
RT |
|
|
|
¹ |
|
|
|
RT |
|
» |
|
|||||||||||
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M : |
» |
|
|
|
|||||||||||
|
|
« |
|
|
|
|
H[S¨ M : |
|
R |
¸ |
|
|
|
|
» |
|
|
|
||||||||||||
|
|
« |
|
|
|
|
|
© |
|
RT |
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
||||||
|
|
¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
||||||
ɂɡ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜ ɩɪɟɞɟɥɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M : R |
!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ɩɨɥɭɱɢɦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♣ |
|
RT |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r R |
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M : R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ɍɨɝɞɚ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
RT |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
R |
¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M : R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ɉɬɥɢɱɢɟ ɷɬɨɝɨ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ ɨɬ R ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɬɨɥɳɢɧɭ ɫɥɨɹ ɜɛɥɢɡɢ
ɫɬɟɧɤɢ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɝɚɡ
h R r |
| |
RT |
|
|
M : R |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
3. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɢɞɟɚɥɶɧɨɝɨ ɝɚɡɚ ɂȽ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɟɟ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɂȽ ± ɞɚɜɥɟɧɢɟрɨɛɴɟɦVɢ
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭТɗɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ Ɇɟɧɞɟɥɟɟɜɚ ± Ʉɥɚɩɟɣɪɨɧɚ
|
|
pV ΘRT |
|
ɝɞɟ Θ |
m |
± ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɟɳɟɫɬɜɚ ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɦɨɥɟɣ ɝɚɡɚm ± ɦɚɫɫɚ |
|
M |
|||
|
|
ɝɚɡɚМ± ɟɝɨ ɦɨɥɹɪɧɚɹ ɦɚɫɫɚɈɱɟɧɶ ɜɚɠɧɵɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɣ ɡɚɤɨɧ ± ɡɚɤɨɧ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ
ɩɪɢɦɟɧɢɬɟɥɶɧɨ ɤ ɬɟɩɥɨɜɵɦ ɩɪɨɰɟɫɫɚɦ ± ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɟɪɜɵɦ ɧɚɱɚɥɨɦ ɬɟɪɦɨɞɢɧɚɦɢɤɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɨɬɵ Q ɩɨɞɜɟɞɟɧɧɨɟ ɤ ɫɢɫɬɟɦɟ ɢɞɟɬ ɧɚ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɟɟ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɷɧɟɪɝɢɢ Uɢ ɧɚ ɫɨɜɟɪɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɪɚɛɨɬɵА ɧɚɞ ɜɧɟɲɧɢɦɢ ɬɟɥɚɦɢ
Q U A Ⱦɥɹ ɪɚɛɨɬɵ ɝɚɡɚ ɟɫɬɶ ɨɛɳɚɹ ɮɨɪɦɭɥɚ
|
|
V |
|
|
A |
|
³ pdV |
||
|
|
V |
|
|
ɚ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɬɚɤ |
||||
U |
i |
ΘR T |
ΘR T |
|
|
|
|||
|
|
ϑ |
||
ɝɞɟ ǻТ± ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɜ ɯɨɞɟ ɩɪɨɰɟɫɫɚi± ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ
ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ Ȗ ± ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɚɞɢɚɛɚɬɵ ɝɚɡɚ ɗɬɢ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɜɹɡɚɧɵ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ
ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ |
|
|
|
ϑ |
i |
|
|
i |
|||
|
|
Ɏɨɪɦɭɥɭ ɱɚɫɬɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ± ɨɧɚ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɩɪɨɰɟɫɫ ɜ
ɰɟɥɨɦ Ⱦɥɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɮɨɪɦɭ ɡɚɩɢɫɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɧɚɱɚɥɚ
ΓQ dU ΓA |
ΘRdT pdV |
|
ϑ |
ȼ ɷɬɨɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɡɧɚɱɤɢdɢδ± ɷɬɨ ɨɛɵɱɧɨ ɞɟɥɚɟɬɫɹ ɞɥɹ
ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɶ ɜɧɭɬɪɟɧɧɹɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ± ɷɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɚ ɪɚɛɨɬɚ ɢ ɬɟɩɥɨɬɚ ± ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɨɰɟɫɫɚ
Задача 3.1. Газ с молярной массой М находится под давлением р между двумя одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура газа растет линейно от Т1 у нижней пластины до Т2 у верхней. Объем газа между пластинами равен V. Найти его массу.
ɉɪɟɠɞɟ ɜɫɟɝɨ ɜɜɟɞɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɉɭɫɬɶ
ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɥɚɫɬɢɧ ɪɚɜɧɚSɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ ɪɚɜɧɨdɪɢɫ əɫɧɨ ɱɬɨ
V = Sd Ɍɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɦɟɧɹɟɬɫɹ
ɥɢɧɟɣɧɨ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ х ɢ ɷɬɭ |
x |
||||||||
|
|
|
|
||||||
ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ |
h |
|
|
||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
T T |
T T |
x |
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|||||||
|
|
h |
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ |
ɫɥɨɣ |
ɝɚɡɚ |
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
ɬɨɥɳɢɧɨɣ dx ɧɚɯɨɞɹɳɢɣɫɹ ɧɚ |
|
|
|
|
|||||
ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ х ɨɬ ɧɢɠɧɟɣ ɩɥɚɫɬɢɧɵ |
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
Ɋɢɫ |
|||||||||
Ɉɧ ɢɦɟɟɬ ɨɛɴɟɦ dV = Sdx ɚ ɟɝɨ |
|
|
|||||||
ɦɚɫɫɭdmɦɨɠɧɨ ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
dm |
MpdV |
MpS |
dx |
MpS |
|
dx |
|
||
RT |
RT |
R |
T |
T |
T |
||||
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ɇɚɦ ɨɫɬɚɥɨɫɶ ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɢ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɨɬɜɟɬ
|
MpS h |
dx |
|
|
MpSh |
|
|
|
§ |
T |
T T |
· |
|
h |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m |
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OQ |
¨ |
x |
¸ |
|
|
|
|
|
T T |
|
|
R T T |
|
|
|||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
© |
|
¹ |
|
|
||||||||
|
|
T |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
MpV |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
OQ |
T |
||||||||||||||
R T T |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 3.2. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону Т = Т0 + ĮV2, где Т0 и Į – положительные постоянные; V – объем моля газа.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɜɧɨɜɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ Ɇɟɧɞɟɥɟɟɜɚ ± Ʉɥɚɩɟɣɪɨɧɚ ɢ ɜɵɪɚɡɢɦ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɝɚɡɚ
p |
RT |
♣T |
∙ |
|
V |
R¨ |
DV ¸ |
||
|
© |
V |
¹ |
|
ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɧɚ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɧɚɣɞɟɦ ɨɛɴɟɦ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ
ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɦ
|
dp |
♣ |
|
T |
|
∙ |
|
|
|
T |
|
|
|
R¨ |
|
|
D¸ |
V |
|
||||
|
dV |
V |
|||||||||
|
© |
|
|
¹ |
|
|
|
D |
|||
ɢ ɩɨɞɫɬɚɜɢɦ ɟɝɨ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pPLQ |
R |
|
|
||||||||
DT |
|||||||||||
Задача 3.3. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем находится один моль идеального газа при температуре Т. Пространство над поршнем сообщается с атмосферой. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увеличить объем газа в п раз? Трения нет.
Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɬɨ ɩɨɪɲɟɧɶ ɢɦɟɟɬ ɩɥɨɳɚɞɶSɢ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢх ɨɬ ɞɧɚ ɰɢɥɢɧɞɪɚ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɨɛɴɟɦ ɝɚɡɚ
V |
= Sx ɇɚɱɚɥɶɧɨɟ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɝɚɡɚ ɪɚɜɧɨ ɚɬɦɨɫɮɟɪɧɨɦɭ р ɢ ɫɨɝɥɚɫɧɨ |
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ |
|
|
p V RT |
|
ȼ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɪɚɫɲɢɪɟɧɢɹ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɝɚɡɚ ɜ ɰɢɥɢɧɞɪɟ ɛɭɞɟɬ ɭɦɟɧɶɲɚɬɶɫɹ |
ɇɚɣɞɟɦ ɟɝɨ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɤɨɝɞɚ ɩɨɪɲɟɧɶ ɛɭɞɟɬ ɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢхɨɬ ɞɧɚ
ɰɢɥɢɧɞɪɚ ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɨɰɟɫɫ ɢɡɨɬɟɪɦɢɱɟɫɤɢɣ ɬɨ |
|
|
|
|
pV p V pSx |
p Sx |
p |
p x |
|
|
||||
|
|
x |
||
|
|
|
||
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɞɚɜɥɟɧɢɣ ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɩɨɪɲɟɧɶ
ɫɜɟɪɯɭр ɢ ɫɧɢɡɭрɬɨ ɟɫɬɶ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɫɢɥɚFɞɟɣɫɬɜɭɸɳɚɹ ɧɚ ɩɨɪɲɟɧɶ ɢ
ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɚɹ ɜɧɢɡ
|
|
|
¨ |
¸ |
|
|
F p |
p S |
p S |
♣ |
x |
∙ |
|
|
||||||
|
|
|
© |
x ¹ |
|
|
Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɦɟɞɥɟɧɧɨ ɩɨɞɧɢɦɚɬɶ ɩɨɪɲɟɧɶ ɧɭɠɧɨ ɩɪɢɥɨɠɢɬɶ ɬɚɤɭɸ ɠɟ ɩɨ
ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɫɢɥɭ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɭɸ ɜɜɟɪɯ ɢ ɟɟ ɪɚɛɨɬɭ ɦɨɠɧɨ ɥɟɝɤɨ ɩɨɫɱɢɬɚɬɶ
|
nx |
nx ♣ |
|
x ∙ |
||
A |
³ Fdx |
p S ³ |
♦ |
|
÷dx p S n x x OQn |
|
|
||||||
|
x |
x |
♥ |
|
x ≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p Sx n OQn |
p V n OQn RT n OQn |
||||
Задача 3.4. Три моля идеального газа, находившегося при температуре Т = 273 К, изотермически расширили в п = 5 раз и затем изохорически нагрели так, что его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла Q = 80 кДж. Найти γ для этого газа.
Ⱦɚɧɧɵɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɞɜɭɯ ɫɬɚɞɢɣ ± ɢɡɨɬɟɪɦɢɱɟɫɤɨɣ ɢ ɢɡɨɯɨɪɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɷɬɨɦɭ ɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɨɬɵ ɫɨɨɛɳɟɧɧɨɟ ɝɚɡɭ ɧɭɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɞɜɭɯ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ
Q Q Q
ɉɪɢ ɢɡɨɬɟɪɦɢɱɟɫɤɨɦ ɩɪɨɰɟɫɫɟT = FRQVW ɬɨ ɟɫɬɶ ǻU ɩɨɷɬɨɦɭ
V |
|
Q A ³ |
pdV |
V |
|
Ɂɞɟɫɶ ɦɵ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥɢɫɶ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ±
Ⱦɥɹ ɪɚɫɱɟɬɚ ɪɚɛɨɬɵ ɜɫɩɨɦɧɢɦ ɮɨɪɦɭɥɭ
p QRTV
ɢ ɬɨɝɞɚ
V |
dV |
V |
|
|
Q QRT ³ |
|
|
|
|
V |
QRT OQ |
|
QRT OQn |
|
V |
||||
V |
|
|
|
|
ɉɪɢ ɢɡɨɯɨɪɢɱɟɫɤɨɦ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɨɛɴɟɦ ɝɚɡɚ ɧɟ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɢ ɡɧɚɱɢɬ ɟɝɨ ɪɚɛɨɬɚ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ ɫɦ ɉɨɷɬɨɦɭ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
Q 'U |
|
QR'T |
|
QR n T |
|
J |
|
||||
|
|
J |
|||
ɉɨɹɫɧɢɦ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɇɚ ɩɟɪɜɨɣ ɫɬɚɞɢɢ ɩɪɢ ɢɡɨɬɟɪɦɢɱɟɫɤɨɦ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɨɛɴɟɦ ɭɜɟɥɢɱɢɥɫɹ ɜпɪɚɡ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɝɚɡɚ ɭɦɟɧɶɲɢɥɨɫɶ ɜп ɪɚɡ ɇɚ ɜɬɨɪɨɣ ɫɬɚɞɢɢ ɩɪɢ ɢɡɨɯɨɪɢɱɟɫɤɨɦ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɜɟɪɧɭɥɨɫɶ ɤ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɬɨ ɟɫɬɶ ɜɨɡɪɨɫɥɨ ɜ п ɪɚɡ ɚ ɷɬɨ ɡɧɚɱɢɬ ɱɬɨ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɝɚɡɚ ɭɜɟɥɢɱɢɥɚɫɶ ɬɨɠɟ ɜ пɪɚɡ
Ⱦɚɥɶɲɟ ɜɫɟ ɩɨɧɹɬɧɨ
'T nT T n T
Ɍɟɩɟɪɶ ɩɨɞɫɬɚɜɢɦ ɮɨɪɦɭɥɵ ɢ ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɢ
ɧɚɣɞɟɦȖ
QQRT §¨OQn n ·¸
©J ¹
n |
Q |
OQn |
|
ϑ |
ΘRT |
||
|
|||
|
|
|
|
ϑ |
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
Q |
|
OQn |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ΘRT |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ϑ |
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
Q |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
OQn |
||||
|
|
|
|
|
|
ΘRT |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ɗɬɨɬ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɤɫɬɚɬɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɝɚɡɭ ɫɨɫɬɨɹɳɟɦɭ ɢɡ ɞɜɭɯɚɬɨɦɧɵɯ |
||||||||||
ɦɨɥɟɤɭɥ ɭ ɧɢɯ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɪɚɜɧɨ ɩɹɬɢ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Один моль кислорода, |
находившегося при температуре Т0 = 290 К, |
|||||||||
адиабатически сжали так, что его давление возросло в п = 10 раз. Найти: |
|||||||||||
а) температуру газа после сжатия; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) работу, которая была совершена над газом. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ⱦɥɹ ɧɚɱɚɥɚ ɧɚɞɨ ɤɨɟ-ɱɬɨ ɜɫɩɨɦɧɢɬɶ Ⱥɞɢɚɛɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɰɟɫɫ |
||||||||||
ɩɪɨɬɟɤɚɸɳɢɣ ɛɟɡ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧɚ ɫ ɨɤɪɭɠɚɸɳɟɣ ɫɪɟɞɨɣ ȿɫɥɢ ɝɚɡ ɪɚɫɲɢɪɹɟɬɫɹ ± ɨɧ ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ ɪɚɛɨɬɭ ɢ ɷɬɚ ɪɚɛɨɬɚ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɡɚ ɫɱɟɬ ɭɛɵɥɢ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɝɚɡɚ ± ɝɚɡ ɨɯɥɚɠɞɚɟɬɫɹ ɂ ɧɚɨɛɨɪɨɬ ± ɟɫɥɢ ɝɚɡ ɫɠɢɦɚɟɬɫɹ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟ ɟɝɨ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɢ ɟɝɨ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬɫɹ ɗɬɨ ɡɧɚɱɢɬ ɱɬɨ ɜ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɝɚɡ ɛɭɞɟɬ ɧɚɝɪɟɜɚɬɶɫɹ
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɚɞɢɚɛɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɟɝɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ
ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɨɛɵɱɧɨ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɜ ɜɢɞɟ |
|
||
pV ϑ |
FRQVW |
||
ɢɥɢ |
|
||
TV ϑ |
FRQVW |
||
ɢɥɢ |
|
||
ϑ |
|
||
p |
ϑ |
T |
FRQVW |
Ƚɚɡ ± ɤɢɫɥɨɪɨɞ ɦɨɥɟɤɭɥɚ ɞɜɭɯɚɬɨɦɧɚɹ ɩɨɷɬɨɦɭi = Ȗ =ɫɦ
ɇɚɦ ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɪɢɝɨɞɢɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɤɨɬɨɪɭɸ ɦɵ ɡɚɩɢɲɟɦ ɬɚɤ
ϑ |
|
ϑ |
|
||
p |
ϑ |
T |
p |
ϑ |
T |
|
|
|
|
|
|
Ɉɬɫɸɞɚ ɫɪɚɡɭ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɨɬɜɟɬ ɧɚ ɩɟɪɜɵɣ ɜɨɩɪɨɫ
|
|
|
ϑ |
|
ϑ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
§ |
p |
· ϑ |
T n |
|
||||
T T |
ϑ |
|
. |
||||||
|
|
¸ |
|
||||||
¨ |
p |
|
|
|
|
|
|||
|
© |
¹ |
|
|
|
|
|
||
Ⱦɥɹ ɨɬɜɟɬɚ ɧɚ ɜɬɨɪɨɣ ɜɨɩɪɨɫ ɡɚɞɚɱɢ ɧɚɦ ɩɨɬɪɟɛɭɸɬɫɹ ɞɜɟ ɮɨɪɦɭɥɵ Ɉɞɧɚ
± ɞɥɹ ɪɚɛɨɬɵ ɝɚɡɚ ɚ ɜɬɨɪɚɹ ± ɤɨɬɨɪɭɸ ɦɵ ɡɚɩɢɲɟɦ ɜ ɜɢɞɟ
|
|
|
|
pV ϑ |
p V ϑ |
|
|
|
|
p V ϑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
V ϑ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ɍɨɝɞɚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
ϑ |
V dV |
|
|
p V ϑ ♣ |
|
|
|
|
|
|
∙ |
|||||||
|
A ³ |
|
|
|
³V ϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
pdV |
|
p V |
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
¸ |
||||||||||
|
|
|
J |
|
V ϑ |
V ϑ |
|||||||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|||
|
|
|
p V |
|
§V ϑ |
|
· |
|
|
p V |
§ |
|
§V |
·ϑ · |
|
||||||||
|
|
|
|
¨ |
|
¸ |
|
|
|
¨ |
¨ |
|
|
¸ |
¸ |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
J ©V ϑ |
|
¹ |
|
|
J |
©¨ |
|
© |
|
V |
¹ |
¹¸ |
|
|||||||
ɂɡ ɮɨɪɦɭɥɵ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ
§V ·ϑ |
p |
|
V |
|
|
§V ·ϑ |
|
ϑ |
|
|||
|
nϑ |
n ϑ |
||||||||||
¨ |
¸ |
|
n |
|
¨ |
¸ |
||||||
p |
||||||||||||
© |
V ¹ |
|
V |
|
|
© |
V ¹ |
|
|
|
||
ɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɞɚɟɬp V = RT ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɜɫɟ ɜ ɩɨɥɭɱɢɦ
|
RT |
§ |
ϑ |
· |
|
A |
|
|
|||
|
¨ n |
ϑ ¸ |
|||
|
J ¨ |
¸ |
|
||
|
|
© |
¹ |
|
|
Ɇɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɩɨɥɟɡɧɭɸ ɮɨɪɦɭɥɭ Ɉɧɚ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɪɚɛɨɬɭ ɝɚɡɚ ɩɪɢ ɚɞɢɚɛɚɬɢɱɟɫɤɨɦ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɇɨ ɧɚɫ ɫɟɣɱɚɫ ɢɧɬɟɪɟɫɭɟɬ ɪɚɛɨɬɚАɜɧɟɲɫɨɜɟɪɲɟɧɧɚɹ ɧɚɞ ɝɚɡɨɦ ɜɧɟɲɧɢɦɢ ɫɢɥɚɦɢ
|
A |
RT § |
ϑ |
|
А |
|
|||
¨n ϑ |
||||
ɜɧɟɲ |
|
J ¨ |
||
|
|
© |
|
|
·
¸ ɤȾɠ
¸¹