Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие
.pdfɆɢɧɢɫɬɟɪɫɬɜɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɢ ɧɚɭɤɢ Ɋɨɫɫɢɣɫɤɨɣ Ɏɟɞɟɪɚɰɢɢ
ɍɪɚɥɶɫɤɢɣ ɮɟɞɟɪɚɥɶɧɵɣ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬ
ɢɦɟɧɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɉɪɟɡɢɞɟɧɬɚ Ɋɨɫɫɢɢ Ȼ ɇ ȿɥɶɰɢɧɚ
Молекулярная физика и термодинамика
Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
на физических и инженерно-физических направлениях подготовки
ȿɤɚɬɟɪɢɧɛɭɪɝ
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Молекулярная физика и термодинамика ɭɱɟɛɧɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ
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Ɋɟɚɥɶɧɵɟ ɝɚɡɵ
əɜɥɟɧɢɹ ɩɟɪɟɧɨɫɚ
Ȼɢɛɥɢɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɫɩɢɫɨɤ
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ ɦɨɥɟɤɭɥ ɢɞɟɚɥɶɧɨɝɨ ɝɚɡɚ ɢɦɟɟɬ
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Xx Xy Xz
ɚ ɬɚɤɠɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɣ ɨɛɴɟɦ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
ɦɨɞɭɥɟɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ Ɍɚɤɨɣ ɨɛɴɟɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɨɛɴɟɦɭ ɬɨɧɤɨɣ ɫɮɟɪɵ ɪɚɞɢɭɫɨɦ
Ξ ɢ ɪɚɜɟɧ ʌΞ Ξ ɉɪɨɜɨɞɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɡɚɦɟɧɵ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɩɨɥɭɱɢɦ
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ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ȼɨɡɶɦɟɦ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɢ F X ɩɪɢɪɚɜɧɢɜɚɹ ɟɟ ɤ ɧɭɥɸ
ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɱɚɫɬɢɰ
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ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
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ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɤɨɬɨɪɵɣ ɦɨɠɧɨ ɜɡɹɬɶ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɢɦ
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Задача 1.1. В сосуде содержится газ, количество вещества которого равно 1,2 моля. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число ǻN молекул, скорости v которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости.
Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɭɞɨɛɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɦɨɥɟɤɭɥ ɩɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɦ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ u v/vɜ ɑɢɫɥɨ dN(u) ɦɨɥɟɤɭɥ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɟ ɫɤɨɪɨɫɬɢ u ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɤɥɸɱɟɧɵ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ u ɞɨ u+du ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
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Задача 1.2. Зная функцию распределения молекул по импульсам f(p), определить среднее значение квадрата импульса <p2>.
ɋɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɢɦɩɭɥɶɫɚ ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨ ɨɛɳɟɦɭ ɩɪɚɜɢɥɭ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫɪɟɞɧɟɝɨ
p ³p f p dp
ɝɞɟ f p ± ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɢɦɩɭɥɶɫɚɦ
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φ³H[S Dp dp |
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S |
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|||||||||||
ɂɫɩɨɥɶɡɭɟɦɞɥɹɷɬɨɝɨɦɟɬɨɞɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹɩɨɩɚɪɚɦɟɬɪɭɅɟɝɤɨ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ɜɢɞɟɬɶ ɱɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
φ³p H[S Dp dp |
|
|
w |
φ³H[S Dp dp |
|||||||||||||||||||||||||||
|
wD |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ |
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φ³p H[S Dp dp |
|
|
w |
φ³p H[S Dp dp |
|||||||||||||||||||||||||||
|
wD |
||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ Į ɩɨɥɭɱɢɦ |
|
|
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|
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|
§ |
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© SmkT ¹ |
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||||||||||||||
Задача 1.3. Распределение молекул по скоростям в молекулярных пучках при истечении газов из малых отверстий отличается от максвелловского и имеет вид
F X dX СX H[S¨§ mX ¸·dX © kT ¹
Определить нормировочный коэффициент C и вид распределения.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɧɨɪɦɢɪɨɜɤɢ
φ |
φ |
§ |
mX |
· |
³F X dv |
³ |
СX H[S¨ |
¸dX |
|
|
|
© |
kT ¹ |
|
Ɂɚɧɟɫɟɦ ɩɨɞ ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸX
C φ |
§ |
|
mX · |
|
|
|
|
|
C |
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§ |
|
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|
|
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|
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|
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³ |
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kT ¹ |
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
kT ¹ |
|
|
|
||||||||||||
ɉɨɫɥɟɞɧɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɦɨɠɧɨ ɜɡɹɬɶ |
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|||||||||||
φ |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||
|
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Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ |
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§ |
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|
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|
|
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|
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Ɉɬɫɸɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ ɤɨɧɫɬɚɧɬɭC |
|
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C |
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|
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|
|
|
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© kT ¹ |
|
|
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|
|
|
|
|
|||||
Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɦɨɥɟɤɭɥ ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ
F X |
§ |
m · |
§ |
|
mv · |
||
|
¨ |
|
¸ |
X H[S¨ |
¸ |
||
|
|
||||||
|
© kT ¹ |
© |
|
kT ¹ |
|||
Задача 1.4. Определить долю молекул w, кинетическая энергия которых лежит в пределах H kT .
Ɂɚɩɢɲɟɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɦɨɥɟɤɭɥ ɩɨ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɷɧɟɪɝɢɹɦ
dN H |
Nf H dH |
|
|
N |
|
|
|
§ |
|
H · |
|
||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
kT |
|
|||||||||
|
|
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|
|
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S |
|
|
© |
|
kT ¹ |
|
||||
ɑɢɫɥɨ ɦɨɥɟɤɭɥ ɧɚɯɨɞɹɳɢɯɫɹ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɷɧɟɪɝɢɣ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɬɚɤ
'N H H |
|
|
Η |
|
N |
|
|
|
|
H[S |
§ |
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|||||
|
|
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Η |
S |
|
|
|
|
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|
kT ¹ |
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Ɍɨɝɞɚ ɞɨɥɹ
|
'N H H |
|
Η |
|
|
|
|
§ |
H · |
|
|||
|
|
|
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|
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|
|
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HH[S¨ |
|
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|
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|
|
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|
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|
|
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kT ¹ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Ɉɬɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɷɧɟɪɝɢɹ ɜ ɷɬɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɦɧɨɝɨ ɦɟɧɶɲɟkTɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ
ɱɬɨ ɷɤɫɩɨɧɟɧɬɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɚ ɜ ɪɹɞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
H[S |
♣ |
|
|
H ∙ |
|
|
|
H |
|
|
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|
|||||||
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|
|
¨ |
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
© |
|
|
|
kT ¹ |
|
|
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|
||||||
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|
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Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɥɭɱɢɦ |
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||
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|
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|
|
|
§ |
|
|
H |
|
· |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
kT § |
|
|
|
|
H · |
|
||||||||||
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|||||||||||||||||||||
w ³ |
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|
|
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H¨ |
|
|
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|
¸dH |
|
|
|
|
|
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|
|
|
³ |
¨ |
|
|
H |
|
¸dH |
|
|||||||||
|
S |
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
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|
¹ |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
¹ |
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|||||||||||||||||||
|
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Ȼɟɪɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ ɩɨɥɭɱɢɦ |
|
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|||||||||||||||
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§ |
|
H |
|
|
H · |
|
|
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|
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|
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¸ |
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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S kT © |
|
|
|
|
|
kT |
¹Η |
kT |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||