Моделирование тягового привода в MATLAB Simulink. Учебно-методическое пособие

Сигналы в Simulink безразмерны, но их можно мысленно интерпретировать как величины любой размерности. Например, можно считать, что на графике выше показано изменение координаты тела в метрах или в сантиметрах, или напряжения конденсатора в вольтах. Конечно, складывать можно только величины одинаковой размерности, а при умножении или делении при необходимости следует учитывать переводные коэффициенты.

Следующая модель описывает движение материальной точки при заданном ускорении. Источник входного сигнала Repeating Sequence задает ускорение a(t). В модели принято, что оно выражено в м/с2. Интегрирование его по времени

21

дает скорость точки, выраженную в м/с:

В свою очередь, интегрирование скорости по времени позволяет получить величину пройденного пути:

T

s(T ) v(t)dt, м.

0

Чтобы выразить скорость точки в км/ч, необходимо поделить скорость в м/с на переводной коэффициент 3,6, или умножить на 0,278. Зависимости моделируемых величин от времени показаны на графиках.

22

1.4.2. Моделирование колебательного движения маятника (общее решение)

Рассмотрим маятник массы m, вращающийся на жестком подвесе длиной l около точки подвеса O в поле g силы тяжести:

φ L

Момент инерции вращательного движения

J = m∙l2.

Пусть маятник отклонен от положения равновесия на угол φ. Действующая на него сила тяжести mg раскладывается на радиальную и тангенциальную составляющие. Вращающий маятник момент силы тяжести определяется произведением вращающей составляющей его силы и её плеча:

Mg = –mgl∙sin φ.

Тогда угловое ускорение маятника описывается уравнением

Момент имеет отрицательный знак, так как стремится возвратить маятник в устойчивое положение φ = 0.

Чтобы представить зависимости в виде модели, предположим, что задан сигнал, описывающий изменение координаты маятника φ(t). Тогда угловое ускорение может быть вычислено при помощи следующей схемы:

23

Если длина подвеса неизменна, то схему можно упростить путем переноса величины 1/l в значение константы:

Как и в предыдущем примере, изменение углового ускорения определяет изменение координаты маятника:

d 2(t)

(t) dt2 dtdt .

Представив это выражение через интегрирующие звенья, можно вернуться от ускорения к координате и замкнуть, таким образом, цикл расчета:

Важно, что после прохождения сигнала по расчетному циклу будет получено значение координаты маятника уже на следующем шаге моделирования. Таким образом, многократное прохождение вычислительного цикла дает последовательность значений координаты (а также скорости и ускорения) маятника во времени. Добавляя в модель «осциллографы» Scope, можно получать их графики.

Говоря иначе, представленной выше системе соответствует дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника:

g sin

(t) l dtdt , 24

а выполняемые при запуске модели вычисления соответствуют решению этого уравнения численным методом. Дважды продифференцировав уравнение, можно привести его к привычному для теории колебаний виду:

d 2(t) g sin 0 . dt2 l

Как известно, дифференциальное уравнение имеет множество возможных решений. Образование неоднозначности связано с появлением произвольных констант при взятии неопределенных интегралов в ходе решения дифференциальных уравнений. Так, решение уравнения второго порядка содержит два неопределенных параметра. Например, в случае колебательного процесса в решении уравнения отсутствуют сведения об амплитуде и фазе колебаний.

25

Эти величины определяются из начальных условий. В модели координата и скорость маятника вычисляются с помощью интегрирующих звеньев. По умолчанию, в момент t = 0 они имеют нулевое выходное значение. Это значит, что маятник неподвижен в точке равновесия. Действительно, с помощью модели можно убедиться, что в этом случае величины, описывающие состояние маятника, не меняются со временем. Если же задать в свойствах интегрирующих звеньев начальное отклонение либо начальную скорость (свойство Initial condition), маятник придет в движение. На рисунках выше показаны графики углового ускорения, угловой скорости и угла поворота маятника φ при начальном отклонении от положения равновесия 1 рад и нулевой начальной скорости.

26

1.4.3. Моделирование колебательного движения маятника (частные случаи)

Случай 1: неограниченное движение

Движение маятника в составленной выше модели не всегда будет колебательным. Можно задать столь большую начальную скорость, чтобы маятник обладал энергией большей, чем необходимо для подъема до верхнего положения. Достигнув его, маятник не изменит направление вращения, а продолжит движение в том же направлении. На графике такому движению будет соответствовать непрерывный рост угла поворота.

Случай 2: гармонические колебания

Как известно, при малых отклонениях sin φ ≈ φ. В этом случае из модели можно исключить вычисление синуса угла и получить модель гармонических колебаний (иначе говоря, модель «математического маятника»):

Обратите внимание, что система, моделирующая гармонические колебания, универсальна. Её звенья соответствуют математическим операциям, которые могут иметь различный физический смысл. Например, та же самая модель может имитировать процессы, происходящие в колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности. Ток катушки определяется напряжением конденсатора:

1

iL (t) L U C (t)dt ,

а напряжение конденсатора, наоборот, током катушки:

U C (t) C1 iC (t)dt .

Объединяя эти выражения, весь цикл расчета можно опи-

27

сать уравнением

1

iL (t) LC iL (t)dtdt .

Таким образом, в той же модели сигнал вместо координаты маятника мог бы соответствовать напряжению конденсатора, а вместо скорости – току катушки индуктивности:

Случай 3: затухающие колебания

Будем считать, что замедление вращения маятника вызвано вязким трением смазки в шарнире. Тогда сила трения пропорциональна скорости вращения маятника, а её момент

d(t)

M r dt ,

где β, Н∙с/рад – коэффициент вязкого трения в шарнире, а r, м – радиус шарнира.

Моменту силы трения соответствует угловое ускорение

В модели его величина легко может быть вычислена умножением скорости вращения маятника на константу.

Очевидно, что итоговое угловое ускорение маятника будет определяться суммой ускорений, создаваемых силой тяжести и силы трения. На следующем рисунке показана модель маятника, включающая поправку на трение в шарнире.

28

1.4.4. Наполнение бака водой

В этом примере рассматривается моделирование систем с выраженным нелинейным поведением. Пусть дан бак полез-

ным объемом Vmax м3, в который поступает вода со скоростью n м3/с.

n м3/с

Vmax

Количество накопленной в баке воды описывается выражением

T

V (T ) V0 n(t)dt .

0

Оно может быть вычислено с помощью довольно простой модели (V0 обозначен объем воды в момент t = 0, задаваемый в свойствах интегрирующего звена):

Но такая модель справедлива только при условии V ≤ Vmax. После наполнения бака до предельного объема вся поступающая вода будет вытекать через сливное отверстие, не накапливаясь в баке. Иначе говоря, при V ≤ Vmax можно считать, что приток воды n = 0.

Такая логика может быть смоделирована следующим образом:

29

Предложенная модель содержит элемент Compare to constant, сравнивающий объем воды в баке с предельным значением. Результатом этой операции является значение логического типа, равное 1, если условие выполнено, и 0 в обратном случае. Звено Product допускает умножение численных величин на логические. Таким образом, при малом уровне воды значение потока n остается неизменным, а при переполнении бака n обнуляется, и накопленный объем V перестает расти.

Эта же задача может быть решена проще с использовани-

ем элемента Saturation:

В такой модели значение на выходе интегратора продолжает нарастать, но звено Saturation выдает значения, не превосходящие заданный предел. Однако звено насыщения позволяет заменить логические схемы только в системах с относительно простой логикой функционирования. Например, пусть сливной патрубок может быть перекрыт краном, имеющим два состояния: 0 – кран открыт и 1 – кран закрыт. Тогда бак перестанет наполняться только при одновременном выполнении двух условий:

Объем воды в баке меньше Vmax – истинно;

Кран закрыт – ложно.

Для выполнения такой проверки используется два логических элемента: операция NOT («не») обращает сигнал (меняет значения 0 и 1), а AND («и») проверяет одновременность выполнения обоих условий. Полностью модель описанной системы показана на следующем рисунке.

30