1.9. ПАРАДОКС РАССЕЛА

Бесспорно, что человечество это не человек, стая птиц – не птица, множество ближайших родственников (семья) – не родственник. Всегда, когда мы б ерем некоторое разнообразие вещей и рассматриваем его как нечто единое, получается нечто новое, чего ранее не было. Поэтому для конкретных множеств запись М М абсурдна.

Однако мы имеем дело не с конкретными, а с абстрактными множествами, в связи с этим выражение «множество всех множеств» нет основания считать полным абсурдом. Данное понятие (в кавычках) можно причислить к абстрактному множеству, т. к. последнее в нашей теории не имеет математического определения. Но тогда станет допустимым наличие абстрактных множеств, которые включают себя в качестве элемента. А существование таких объектов в теории множеств приводит к известному парадоксу Бертрана Рассела. Ниже рассмотрим суть данного парадокса.

Все множества разделим на два класса. К первому классу MO отнесем множества, которые не содержат себя в качестве элемента, и назовем их обычными множествами. Все остальные множества войдут во второй класс MO , которые условимся называть необычными. Рассмотрим множество MO всех обычных множеств. К какому классу его отнести? Обычное оно или необычное?

Предположим, что MO обычное множество. Но все обычные множества принадлежат классу MO , следовательно, МО МО , но такие множества называются необычными.

Теперь предположим, что MO необычное множество. Но в этом случае оно будет содержать себя в качестве элемента, т. е. МО МО . Иначе говоря, множество MO принадлежит классу обычных множеств. Снова получили противоречие!

41

Из приведенных выше рассуждений следует, что два утверждения, которые являются отрицанием друг друга, вытекают одно из другого. В логике подобные ситуации называют антиномиями (от греч. antinomia – противоречие в законе). Поэтому данный парадокс еще называют антиномией Рассела.

Рассмотренная здесь теория множеств не имела парадоксов и противоречий до тех пор, пока ее объектами исследования оставались только обычные множества. Но для необычных множеств эта теория не годится, т. к. они являются объектами исследования уже другой теории.

Парадокс Рассела имеет разные интерпретации, например, задача о брадобрее. Однако механизм получения парадокса во всех этих интерпретациях один и тот же. Надо взять какое-то множество и некоторое свойство, которым одни элементы данного множества обладают, а другие нет. А затем это свойство представить в виде элемента того же множества и задаться вопросом, сам этот «элемент» обладает тем свойством, которое он находит в других элементах, или нет.

Более точно будет сказать, что причина возникновения парадокса Рассела в смешении логик разного порядка, но исследование данного вопроса следует отложить до момента изучения логики предикатов первого порядка.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие из записей некорректны:

а) {0,1} {0,1}; б) 1 {{1, 2}}; в) {0,1} {0, {0,1},1}; г) {0,1} {{{0,1}}}; д) {{0,1}} {{{0,1}}}?

2. Задача о брадобрее. На одном острове всех мужчин делили на два класса. К первому классу относили мужчин, которые брили себя сами, а второй класс составляли те, кто брился у брадобрея. К какому классу следует отнести брадобрея?

42

Упражнения на повторение

1. Изобразить на вещественной плоскости множества, заданные следующими аналитическими выражениями:

е) {x R2 :[(y < x + 2) (x + y + 2 > 0) (x < 0)]

[(y > 0) (0 ≤ x ≤ 4) ( y ≤1)]}, ж) {x R2 :[(x2 + y2 ≤ 4) x < 0] [(0 ≤ x ≤ 4) ( y ≤1)]}.

2. Задать области вещественной плоскости, изображенные ниже (эти области на рис. 1.17 заштрихованы), аналитическими выражениями.

43