1.1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Высказывание Георга Кантора, приведенное в эпиграфе, не является математическим определением абстрактного множества. Оно всего лишь интуиция, эмоция великого ученого и не более. Ведь множество – самое широкое абстрактное понятие, и потому оно изначально не может иметь математического определения. Предположим, что нам и без определения понятно, что представляет собой множество не важно чего. Договоримся также об условных обозначениях и условном языке описания различных множеств.

Условимся обозначать их прописными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Однако в том случае, когда элементом некоторого множества тоже является какое-то множество, то этот элемент, в виде исключения, будет у нас обозначаться прописной буквой. В случае необходимости при обозначении множеств и их элементов можно будет использовать латинские буквы с индексами. Принадлежность элемента s множеству M будем обозначать выражением s M , а запись вида r1,r2 ,...,rn R

будет означать, что r1 R, r2 R, ..., rn R.

Множества могут быть конечными и бесконечными. Если число элементов множества конечно, то его называют конечным. Бесконечные же множества имеют бесконечное число элементов. Конечные множества еще называют алфавитами. Например, русский алфавит содержит 33 буквы, а алфавит арабских цифр – 10 элементов, используемых для записи натуральных чисел. Однако все натуральные числа образуют уже бесконечное множество (натуральный ряд). Введем для него специальное обозначение – N . Также введем обозначения для других бесконечных множеств:

Z – множество целых чисел (элементы из N , 0 и элементы из N , взятые со знаком минус);

Q – множество рациональных чисел (дроби qp , где p Z, q N );

R – множество действительных чисел.

9

Множество считается заданным, если известны все его элементы. Простейший способ задания множества состоит в обычном перечислении его элементов. Последовательность этого перечисления условимся заключать в фигурные скобки, которые будут означать, что порядок элементов данной последовательности значения не имеет. Например, алфавит A10 цифр деся-

ния, используемой в информатике, – парой цифр: A2 ={0,1} ={1, 0}.

Такой способ задания множества при большом числе элементов очень неудобен, а для бесконечных множеств и вовсе не приемлем. Другой, более совершенный способ заключается в описании характеристических свойств, которыми обладают все элементы задаваемого множества. Общая формула задания некоторого множества Y данным способом выглядит так:

Y ={x X : P(x)}.

Данная формула задает множество Y , которое состоит из элементов множества Х, удовлетворяющих условию P (обладающих свойством P ). Например, по данной формуле алфавит арабских цифр задается выражением

A10 ={x Z :0 ≤ x ≤ 9},

а множество точек открытого интервала (a, b) действительной оси есть

(a, b) ={x R : a < x < b}.

Множества X , Z , R здесь являются определяющими. Это более широкие множества, из элементов которых состоят определяемые множества Y , A10 и (a, b) соответственно. Предполагается, что определяемые множества ранее были заданы. У множества действительных корней алгебраического уравнения характеристическим свойством будет само это уравнение,

например, {y R : y2 −1 = 0} ={−1,1}, а {y R : y2 −4y +3 = 0} ={1, 3}.

10

Но может быть ситуация, когда ни один из элементов определяющего множества не удовлетворяет указанному характеристическому свойству.

указанным выше характеристическим свойством. Иначе говоря, множество {y R : y2 − y +1 = 0} не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым. Пустое множество принято обозначать символом .

Замечание 1. Часто используют сокращенную формулу задания множества Y ={x : P(x)}, где опущено указание определяющего множества. При этом имеется в виду, что определяющее множество следует из контекста.

Пример 1. Используя введенные выше обозначения для множества целых чисел и натурального ряда, записать в виде логического выражения (условия) характеристическое свойство рационального числа.

Решение. Рациональное число x – это дробь вида qp , где p Z, q N ,

т. е. искомым характеристическим свойством будет условие

x = qp p Z q N.

При этом множество Q рациональных чисел можно задать формулой

Вопросы для самоконтроля

1. Верны ли следующие выражения:

N ={x Z : x > 0}, 2 Q, 2 R?

2.Перечислите все элементы множества

{y R : y4 +3 = 4y(y2 − y +1)}.

11

1.2. ПОДМНОЖЕСТВА

Опираясь на понятие множества, определим подмножество. Определение 1. Множество Y называется подмножеством множе-

ства X , если любой элемент x из множества Y принадлежит также множеству X .

Запись Y X означает, что Y есть подмножество X или Y включено в X , здесь " " – знак включения. Тот же смысл имеет и запись X Y,

которая означает, что Y есть подмножество X тогда и только тогда, когда любой элемент x из Y принадлежит X . В этой формуле соединительный союз русского языка «тогда и только тогда, когда …» обозначен математическим символом , а запись ( x Y ) читается как «любой элемент x из множества Y ». Отметим, что любой математик, даже если он не знает русского языка, легко поймет смысл формулы (1.1), которая равносильна определению 1. Математический язык точен и лаконичен, в нем нет неоднозначностей и двусмысленностей, присущих любому естественному языку. Вот почему математики всех национальностей любят говорить на этом искусственном языке, возникшем в процессе эволюции математического мышления. Чем быстрее читатель усвоит этот язык, тем легче ему будет прочесть все тайны математического мира.

Подобно тому, как в естественном языке из простых предложений с помощью союзов получаются сложные предложения, в математическом языке из простых условий можно получить сложные с помощью так назы-

12

ваемых операций соединения. С одной из них ( ) мы уже познакомились. Нам понадобятся еще и такие операции соединения:

– логическое ИЛИ (соответствует союзу «или»);

– логическое И (соответствует союзу «и»);

– импликация (соответствует союзу «если …, то …»). Определение 2. Множества X и Y равны (обозначается X =Y ) тогда

и только тогда, когда X есть подмножество Y , а Y есть подмножество X , т. е.

Определение 3. Множество Y называется строгим (собственным) подмножеством множества X , если Y является подмножеством X , а X не является подмножеством Y . Иначе говоря,

где " "– знак строгого подмножества, " "– знак не подмножества.

Определение 4. Множества X и Y несравнимы (обозначается X ≠Y ) тогда и только тогда, когда X не является подмножеством Y , а Y – под-

Из данных определений следует, что произвольные множества можно попарно сравнивать. При сравнении двух множеств X и Y может иметь место только одна из четырех возможных ситуаций: X Y, Y X , X =Y или X ≠Y . Для установления каждой из них необходимо осуществить проверку двух условий X Y и Y X . Если в X нет ни одного элемента, которого бы не было в Y , то X Y , иначе X Y .

13

Очевидно, любое множество X всегда будет удовлетворять условию X X или, что то же, X X .

Определение 5. Множество I называется универсумом, если оно п о-

Поскольку пустое множество не содержит элементов, которых бы не было в любом другом множестве X , то X . Поэтому с учетом (1.5) получим, что

Определение 6. Множество всех подмножеств некоторого множества X называется булеаном этого множества и обозначается β(X ).

Пример 2. Определить булеан множества {1, 2, 3}.

Решение. β({1, 2, 3}) ={ ,{}1 ,{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}}.

Замечание 2. Число элементов в β(X )равно 2n , где n – число элементов множества X . Это связано с тем, что любой элемент из X имеет только две возможности – принадлежать или не принадлежать каждому из подмножеств, входящему в качестве элемента в булеан.

Вопросы для самоконтроля

1. Верны ли следующие выражения:

N {x Z : x > 0}, Z Q, {a,a,a}={a}, {a,b} {{a,b}}, {a,b} {{a,b}};

{a,b} {a,b}, {a,b} {{b,a}}?

2.Сравните попарно числовые множества N, Z, Q, R .

3.Докажите, что X является подмножеством Z , если X есть подмножество Y , а Y – подмножество Z , т. е. X Y Y Z X Z .

14