прос. Такая цепочка вопросов будет выстраиваться в ряд до тех пор, пока не появится вопрос, ответ на который следует непосредственно из имеющихся фактов. Затем осуществляется обратный ход – получение ответов на вопросы, начиная с последнего и кончая первоначальным вопросом, который был задан вопросно-ответной системе пользователем.

Вопросы для самоконтроля

1.Проанализируйте, как будет формироваться ответ на вопрос:

?– П(Всеволод, x) , т. е. чей племянник Всеволод.

2.Дайте рекурсивное определение предикату «быть предком», исходя из предиката «быть сыном».

3.4. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЕЕ СВОЙСТВА

Язык логики предикатов – это логическое продолжение языка математики. Его предложения, с одной стороны, подобны предложениям естественного языка, а с другой – суть совокупность математических выражений. Поэтому описание любого объекта исследования на языке логики предикатов – это еще и строгая математическая модель описанного объекта.

Данная математическая модель будет относиться к классу аксиоматических моделей.

Определение 7. Аксиоматической моделью называется четверка множеств

М = (Α, Σ, Ξ, Π) ,

где Α− алфавит; Σ−синтаксис (правила грамматики) языка; Ξ − система аксиом, записанных на языке альфа-сигма ( Α, Σ); Π − правила вывода, позволяющие из аксиом Ξ получать новые утверждения – теоремы.

В нашем случае языком (Α, Σ) является язык логики предикатов, система аксиом Ξ будет представлена совокупностью фактов и определе-

65

ний, записанных в виде ПППФ, а в качестве правил вывода в прологсистеме используется лишь одно универсальное правило – правило резолюции, формулировка которого будет дана в п. 3.5. Здесь же остановимся на основных свойствах аксиоматических моделей.

Определение 8. Аксиоматическая модель называется полной, если с использованием правил Π и аксиом Ξ можно доказать (либо опровергнуть) в ней любое утверждение, принадлежащее к области знаний данной модели.

Определение 9. Аксиоматическая модель называется непротиворечивой, если в ней с использованием правил Π и аксиом Ξ нельзя одновременно доказать истинность и ложность какого-либо утверждения, принадлежащего к области знаний данной модели.

Определение 10. Одновременно полные и непротиворечивые аксиоматические модели называются замкнутыми.

Примером замкнутой аксиоматической модели может служить геометрия Евклида, в которой множество Ξ представлено известными аксиомами и постулатами, а множество Π – силлогизмами Аристотеля, некоторые из которых будут рассмотрены в п. 3.5.

Более простым примером замкнутой аксиоматической модели является система линейных неоднородных уравнений, определитель которой не равен нулю. Здесь в качестве языка (Α, Σ) использован язык элементарной алгебры. Каждое из уравнений такой системы является своеобразной аксиомой из множества Ξ, а множество Π представлено правилами алгебраических преобразований. С помощью этих преобразований находится ее единственное решение, которое существует только тогда, когда ее аксиомы (линейные уравнения) непротиворечивы и когда их число достаточно, чтобы найти все неизвестные, иначе говоря, когда данная аксиоматическая модель замкнута.

К сожалению, не всегда удается получить замкнутую аксиоматическую модель. Во многих известных формальных теориях нарушается условие полноты. Такие непротиворечивые, но неполные аксиоматиче-

66

ские модели называют открытыми. Например, общая теория чисел – открытая аксиоматическая модель. Это было доказано в 1931 г. К. Геделем (первая теорема Геделя о неполноте). Следовательно, в теории чисел есть утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Аксиоматическая теория вероятностей А. Н. Колмогорова тоже открытая. В большинстве случаев при моделировании реальных миров достичь абсолютной полноты не удается. Но есть и исключения, и даже бывают случаи, когда процесс замыкания аксиоматической модели можно автоматизировать. Описан один из таких случаев, где говорится об интеллектуальном интерфейсе моделирования логически полных непротиворечивых таблиц решений. Этот интерфейс был разработан одним из авторов данных строк в начале 80-х годов прошлого века [9].

Для языков типа ПРОЛОГ программы представляют собой не описание процедуры вычисления, а некоторые системы Ξ аксиом, записанные на языке логики предикатов в виде ПППФ. Такие системы называют базами знаний. С помощью специальной программы (транслятора прологсистемы) из этой базы можно получать не только те факты, которые непосредственно в ней находятся, но еще и те, которые являются следствием логического вывода.

Вопросы для самоконтроля

67

3.5.ПРАВИЛА ВЫВОДА

Вматематической логике правила вывода используются, чтобы выводить истинные утверждения из других истинных утверждений. Данные

преобразования отличаются от преобразований булевой алгебры, где в процессе вычислений можно манипулировать формулами независимо от их значений (как ложными, так и истинными). Здесь же для вывода могут использоваться только истинные утверждения.

В общем виде правило вывода записывается следующим образом:

А1, А2 ,...Аn В,

где А1, А2 ,...Аn – список исходных ПППФ (посылок), которые должны быть истинными; В – заключение (результат вывода); « » – знак секвенции.

Данную форму представления правила вывода называют секвенцией. Она означает, что из допущений (посылок) А1, А2 ,...Аn следует утверждение В .

В качестве примера рассмотрим правила вывода, представляющие собой самые общие схемы рассуждений. Их называют силлогизмами Аристотеля. Наиболее употребляемые из них имеют названия. Например:

АБ, А Б – модус толлендо поненс,

АБ, Б А – модус толленс,

АБ, А Б – модус поненс,

АБ, Б В А В – цепное заключение (барбара).

Все эти правила вывода можно представить более общей секвенцией, которую называют правилом резолюции (или просто резолюцией):

68

В самом деле, полагая У = Б, Ф = А, Х = 0, из последней секвенции получается модус толлендо поненс; при У = А, Ф = Б, Х = 0 (с учетом тождества алгебры высказываний x y = x y − определение импликации) имеем модус толленс; аналогично при У = Б, Ф = А, Х = 0 получается модус поненс, цепное заключение из резолюции получим при подстановке

У = А, Ф = Б, Х = В .

Следовательно, резолюция является универсальным правилом вывода. Это дает возможность построения машины логического вывода, использующей только это единственное правило. Такую логическую машину называют «методом резолюций», который можно описать следующим алгоритмом.

Алгоритм 2

Шаг 1. Используем доказательство от противного – предполагаем отрицание заключения.

Шаг 2. Приведем все посылки и отрицание заключения к к.н.ф.:

а) устраняем операции , , (по тождествам 11 – 13 из 3.1); б) с помощью теорем Де Моргана продвигаем инверсии внутрь фор-

мул до атомарных предикатов; в) применяем свойство дистрибутивности .

Шаг 3. Теперь каждая ПППФ превратилась в конъюнкцию дизъюнктов. Каждый дизъюнкт можно рассматривать как отдельную посылку, ибо к.н.ф. истинна тогда и только тогда, когда каждый ее дизъюнкт является истинным. Таким образом, вместо исходного списка ПППФ А1, А2 ,...Аn , В имеем список дизъюнктов Ĉ = С1,С2 ,...,Сs .

Шаг 4. Из полученного списка выбираем два дизъюнкта, к которым применимо правило резолюции, и осуществляем их замену в данном списке по данному правилу.

Шаг 5. Выполняем шаг 4 до тех пор, пока это возможно (пока в списке дизъюнктов не останется ни одной пары дизъюнктов, к которой применимо правило резолюции).

69

Шаг 6. Если после завершения шага 5 список дизъюнктов не окажется пустым, то доказательство не получено (исходная секвенция не доказана). В противном случае (если этот список пустой) будет получено доказательство исходной секвенции от противного. Полученный пустой дизъюнкт в данном случае будет являться тем противоречием, которое доказывает исходную секвенцию.

Шаг 7. Конец.

Рассмотрим работу этого алгоритма на конкретном примере. Пусть требуется доказать секвенцию А Б, А В, Б Г В Г .

Шаг 1. Получаем список ПППФ А Б, А В, Б Г, В Г .

Шаг 2. Используя тождества А В = А В, Б Г = Б Г и В Г = В Г , получим А Б, А В, Б Г, В Г.

Шаг 3. Из последнего списка к.н.ф. имеем список дизъюнктов

Ĉ= А Б, А В, Б Г, В, Г.

Шаг 4. По правилу резолюции (3.18) А Б, А В Б В , поэтому

Ĉ= Б В, Б Г, В, Г.

Шаг 5. Выполняем шаг 4, пока это возможно:

Шаг 4′. Согласно (3.18) В Б, Б Г = В Г , т. е. Ĉ = В Г, В, Г. Шаг 4′′. По правилу (3.18) В Г, В = Г , поэтому Г, Г.

Шаг 4′′′. По правилу резолюции Г, Г =□, где □ – символ пустого списка ПППФ (пустой дизъюнкт).

Шаг 6. Получился пустой дизъюнкт □. Данное противоречие доказывает правило вывода А Б, А В, Б Г В Г .

Весь процесс доказательства можно представить следующей компактной записью:

АБ, А В, Б Г, В, Г

БВ, Б Г, В, Г

ВГ, В, Г

Г, Г

□

70

В том случае, когда в секвенции исходных посылок нет (секвенция вида В ), то это означает, что заключение В является тождественно истинной ПППФ (она истинна вне зависимости от каких-либо посылок). Для секвенций имеют место следующие две теоремы.

Теорема 1. А Б тогда и только тогда, когда А Б . Теорема 2. А1, А2 ,..., Аn В, тогда и только тогда, когда

А1 А2 ... Аn В .

Доказательство опустим. Данные теоремы позволяют преобразовывать секвенции в ПППФ. Это дает возможность доказывать правила вывода с помощью булевой алгебры.

Пример 4. С помощью булевой алгебры доказать правило резолюции. Решение. По теореме 2 правило резолюции У Ф,Ф Х У Х справедливо тогда и только тогда, когда (У Ф)(Ф Х ) (У Х ) – тождественно истинно. С помощью булевой алгебры произведем следующие

преобразования данной ПППФ.

(У Ф)(Ф Х ) (У Х ) =(У Ф)(Ф Х ) У Х =

=У Ф ФХ У Х = (У У Ф) (Х ФХ ) =У Ф Х Ф =

=(У Х ) (Ф Ф) = (У Х ) 1 =1.

Правило резолюции доказано.

Вопросы для самоконтроля

1. Методом резолюции докажите следующие секвенции: а) А Б, А Б – модус понендо толленс, б) Б А А Б – правило «от противного»,

в) А Б, Б С А Б С , г) А, Б, А Б В В .

2.Представленные выше секвенции доказать с помощью теоремы 2

ибулевой алгебры.

71