Это новое соответствие будет устанавливать связь уже между множествами X и W . Например, если s – соответствие, определяющее распределение водителей X по автобусам Y , а p – соответствие, определяющее распределение автобусов Y по маршрутам W , то соответствие s p определит распределение водителей X по маршрутам W .
Вопросы для самоконтроля
1. Определите свойства и тип соответствия, которое задается англорусским словарем.
2. Будет ли соответствие, которое задает шахматная позиция (между X – шахматными фигурами и Y – полями шахматной доски) функцией?
3. Какое соответствие между студентами и денежными суммами задает ведомость на стипендию?
4. Определите области определения и значений для функции
|
1 |
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x, y) = |
1+ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x − y |
|||||
1.7. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
Основной числовой характеристикой конечного множества является число его элементов. Рассмотрим два произвольных конечных множества A ={a1,a2 , ...,an } и B ={b1,b2 , ...,bn }, в которых поровну элементов. Составим из них пары следующим образом: {(a1,b1 ), (a2 ,b2 ), ...,(an ,bn )}= S . Тогда тройка s = (A, B, S) определит соответствие, для которого Пр1S = A,
Пр2Q = B , ( i) Sai ={bi } , ( i) Sb−i1 ={ai } , т. е. это биекция. Поэтому между любыми двумя множествами с одинаковым числом элементов всегда можно установить биекцию.
32
Справедливо и обратное. Если между конечными множествами A и B установлена биекция, то в них поровну элементов. Это следует из того факта, что график S биекции каждому элементу из области отправления ставит в соответствие ровно один элемент из области прибытия, а для каждого элемента области прибытия имеется ровно один элемент в обла-
сти отправления, ему соответствующий. |
|
|
|
|
|
Определение 17. Множества X и Y |
имеют одинаковую мощность |
||||
и называются равномощными, если между ними установлена биекция. |
|||||
Мощность множества X условимся |
обозначать через |
|
X |
|
. Тогда |
|
|
||||
мощность конечного множества – это число его элементов. Для рассмотренных выше конечных множеств можно записать A = B = S = n.
Рассматривая бесконечные множества, Кантор показал, что можно построить биекцию между множествами натуральных, целых и рацио-
нальных чисел. Следовательно, эти |
множества равномощные, т. е. |
|||||||||||
|
N |
|
= |
|
Z |
|
= |
|
Q |
|
. И это несмотря на то, что |
N Z Q. Видимо в мире беско- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
нечных множеств теряет силу утверждение «часть меньше целого». Множества, равномощные натуральному ряду, называют счетными.
Таким образом, множества целых и рациональных чисел счетные. Однако множество R действительных чисел уже будет несчетным, т. к. между множествами N и R невозможно построить биекцию. Поскольку числовая ось есть непрерывная линия (множество R непрерывно), то R назы-
вают континуумом (от латинского continuum – непрерывный). Все множества, равномощные множеству R , имеют мощность континуума.
Одно время дискутировался вопрос, существует ли множество, промежуточное между счетным и континуумом. В 60-х годах прошлого века американец П. Коэн и чех П. Вопенка независимо друг от друга почти одновременно доказали, что существование такого множества и его отсутствие в равной степени не противоречат аксиомам теории множеств.
Нам же остается констатировать лишь тот факт, что любое натуральное число есть мощность какого-либо конечного множества, нуль – это мощность пустого множества (0 = ), а бесконечность может быть двух
типов – счетной или несчетной.
33
Пример 9. Показать, что множество целых чисел Z счетно. Решение. Построим биекцию между множествами N и Z . Перену-
n
меруем элементы z Z по правилу z = 12−n
2
При этом будет получаться упорядоченная последовательность из целых чисел 0,1, −1, 2, −2, 3,− 3, ..., в которой каждое целое число имеет свой порядковый номер. Этот номер определяется обратной функцией n(z) для
функции z(n), |
а именно: |
2z при z |
> 0, |
Функции |
z(n) |
|
n = |
|
|
||||
|
|
1−2z при z ≤ 0. |
|
|
||
и n(z) задают искомую биекцию. |
|
|
|
|
|
|
Множество N 2 |
– все пары из натуральных чисел – также счетно. Эти |
|||||
пары можно «пересчитать» по правилу n = 2a−1 |
[ |
2(b −1) +1 |
, где (a,b) N 2 . |
|||
|
|
|
] |
|
||
С помощью функции n(a,b) определяется однозначно номер любой такой пары.
Используя полученные выше функции n(z) и n(a,b), можно получить правило нумерации для рациональных чисел qp Q , заданное парами, в
которых первой компонентой q является целое число, а второй p – натуральное. Более наглядное правило пересчета всех рациональных чисел представлено на рис. 1.15.
-3/4 |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
-2/3 |
|
|
2/3 |
|
|
|
|
-½ |
2 |
½ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
-4 |
3 |
2 |
-1 1 0 |
1 |
2 |
3 |
|
-4 -3 -2 -1 O 1 |
2 |
3 |
4 X |
||||
|
Рис. 1.15. Нумерация дробей x/y: |
|
|||||
0, 1, ½, -½, -1, -2, -2/3, 2/3, 2, 3, ¾, -¾, -3, … |
|||||||
34
Теорема Кантора. Множество R действительных чисел несчетное. Доказательство. Сначала докажем, что отрезок [0,1] действитель-
ной оси имеет ту же мощность, что и вся действительная ось R . С пом о-
щью функции |
y = tg(x) |
отрезок |
|
− |
π |
, |
π |
однозначно отобразится в веще- |
|
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ственную числовую ось, а обратная функция 
дает обратное однозначное соответствие, т. е. будет иметь место биекция между множе-
|
π |
, |
π |
и |
R , что говорит о их равномощности. Теперь рассмот- |
|||||||||||||
ствами − |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
рим функцию |
z = |
|
+ |
2 |
, которая каждой точке отрезка − |
2 |
, |
ставит |
||||||||||
π |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
|
|
2 |
||||
однозначно в соответствие точку отрезка |
. Обратная же функция |
|||||||||||||||||
|
0,1 |
|||||||||||||||||
x = πz − π каждой точке отрезка |
[ |
0,1 будет ставить однозначным образом |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точку отрезка |
|
− π |
, |
π |
. Поэтому и отрезок |
0,1 |
будет иметь ту же мощ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ность, что и множество R .
Предположим противное. Пусть множество R счетное. Тогда и отрезок [0,1] будет также счетным множеством, и, следовательно, все его эле-
менты можно выстроить в порядке возрастания их порядковых номеров в виде
0,a11a12...a1n ...
0,a11a12...a1n ...
………………
0,ak1ak 2...akn ...
………………
Эта последовательность будет представлять собой действительные числа в виде бесконечных десятичных дробей, заключенных в указанном
35