3.6. ПОНЯТИЕ МОНАДИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Данная логика отличается от более сильных логик тем, что в ней отсутствует ряд нелогических понятий (таких как множество, натуральное число) как заданных, а в качестве предикатов в ней используются только предикаты первого порядка. Следует обязательно различать предикаты разных порядков, иначе возникают неприятности, связанные с парадоксом Рассела. Зафиксируем это различие в виде следующего определения.

рядка. Предикат P(x, y,..., z), каждое вхождение которого не являются предикатом либо является предикатом первого порядка, называется пре-

дикатом второго порядка. Предикат P(x, y,..., z) называется предикатом

n-го порядка, если наибольший порядок предикатов, которые являются его вхождениями, равен n-1.

Таким образом, в монадической логике используются лишь предикаты первого порядка (иногда монадическую логику так и называют – логика предикатов первого порядка); причем кванторы , в этой логике вс е- гда действуют только на весь рассматриваемый мир сущностей, т. е. они действуют на некоторое данное универсальное множество М . Локализация действия кванторов на отдельные подмножества X M в монадической логике не допускается.

Данное ограничение может приводить к определенным трудностям при описании базы знаний. Например, утверждение «каждому овощу свое время» предполагает наличие двух множеств: Х − множество овощей и Т − множество временных периодов созревания, что приводит к формализации этого утверждения в виде предиката

( x X )( y T )[Свое(x, y)],

который уже не является объектом монадической логики, т. к. в нем мир сущностей распался на два подмножества.

72

Правда, эту трудность легко преодолеть, введя свойства, характеризующие элементы каждого из подмножеств. Введем два предиката: Овощ(х), Время(у), означающие, что х −овощ и у −время. Тогда наше исходное утверждение можно переписать в виде предиката

( х)( у)[Овощ(х) Время(у) Свое(х, у)].

Полученная ПППФ будет предикатом первого порядка, в котором кванторы , действуют на единый мир сущностей, содержащий и овощи, и их вегетационные периоды.

Переход от предикатов высших порядков к предикатам монадической логики серьезных проблем также не представляет. В качестве примера рассмотрим утверждение «Плешнер дал слово Штирлицу, что он будет действовать совместно с пастором Шлагом». Это утверждение является предикатом второго порядка, где предикат первого порядка

Р ="Работать совместно" (Плешнер, Шлаг)

входит как аргумент в предикат «Плешнер дал слово Штирлицу о Р », который формализуется в виде ПППФ " Дал слово" (Плешнер, Штирлиц, Р). Тем не менее, этому предикату второго порядка легко найти эквивалент, являющийся предикатом первого порядка. Исходное утверждение равносильно предложению «Если Плешнер сдержит слово, данное Штирлицу, то он будет работать совместно с пастором Шлагом», которое формализуется как предикат монадической логики в виде следующей ПППФ:

" Держит _ слово"(Пл., Шт.) "Работает _ совместно"(Пл., Шлаг)

Таким образом, язык монадической логики не ограничивает возможности описания различных баз знаний, а лишь ведет к некоторому усложнению этого описания (перевод на язык монадической логики является

73

более трудоемким по сравнению с переводом на язык логики предикатов произвольного порядка). Данное усложнение – это плата за те ограничения, которые введены в монадической логике. Но эти ограничения вынужденные, т. к. без них пока еще не удается получить эффективных алгоритмов логического вывода. По этой простой причине далее будем иметь дело только с языком монадической логики.

Вопросы для самоконтроля

1. Переведите следующие предложения на язык монадической логики: а) «У всякого человека есть отец»; б) «На всякую старуху найдется проруха»;

в) «В средствах массовой информации прошло сообщение о том, что вице-премьер связан с мафией»;

г) «Депутат заверил избирателей, что все свои предвыборные обещания он выполнит»;

д) «Посетитель сказал, что он узнал из газет о том, что офису требуется бухгалтер».

3.7. АЛФАВИТ И ТЕРМЫ

Алфавит языка монадической логики содержит все известные символы без каких-либо ограничений. Из них составляются слова для обозначения сущностей описываемого мира, а также их свойств и отношений. Имена сущностей называются константами, а имена свойств и отношений – предикатными символами. Среди символов есть зарезервированные (их нельзя использовать при описании констант и предикатных символов). Oни образуют группу специальных символов, куда входят скобки, разделители различного рода, операции соединения ¬, , , , , и кванторы , .

Для обозначения переменных используются строчные буквы из конца латинского алфавита: u,v, w, x, y, z . Кроме констант и переменных объектами этого языка являются функции. Переменная, константа или любая из

74

них последовательность, записанная через запятую, называется списком, а функция – это список в круглых скобках, перед которыми стоит константа – имя функции, например, f (x, y, z) , g(x), h(x, Глеб, z) и т.д. Значениями функций (как и значениями переменных) являются константы (имена сущностей), т. е. функции, как и переменные, могут превращаться в любую из сущностей описываемого мира. Поэтому константы, переменные и функции являются исходным материалом для описания предикатов – они используются для обозначения аргументов предиката. Далее константы, переменные и функции будем называть термами. Тогда по определению 4 атомарным предикатом является предикатное имя, за которым следует список термов в круглых скобках.

Сами же предикаты в монадической логике термами не являются, т. к. логика предикатов первого порядка не допускает использования в качестве аргумента предиката какой-либо предикат.

Замечание 1. Чтобы не путать предикаты с функциями, условимся имена функций обозначать через f , g,h , а предикатные символы этими буквами обозначать не будем.

Замечание 2. В различных модификациях языка монадической логики вводятся свои условности, обеспечивающие формальные отличия между предикатными символами, обозначениями переменных, именами функций и сущностей. Эти условности позволяют упростить программную реализацию алгоритмов логического вывода, но они не принципиальны при изложении теоретического материала.

Замечание 3. Для наглядности изложения в обозначениях переменных и функций будем допускать также и индексы.

Вопросы для самоконтроля

1.Укажите в выражении С(x1, f (x1, x2 ) С(x2 , Владимир) Б(x1, x2 ) константы, переменные, функции, атомарные предикаты.

2.Является ли формула ( х)( у)[Отец(Человек(х), у)] предикатом

первого порядка?

75