1.3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Определение 7. Объединением двух множеств X и Y называют мно-

жество X Y (здесь – знак операции объединения), каждый элемент которого принадлежит, по крайней мере, одному из множеств X или Y . Иначе говоря,

Определение 8. Пересечением двух множеств X и Y называют мно-

жество X ∩Y (здесь ∩ – знак операции пересечения), каждый элемент которого принадлежит одновременно множествам X и Y , т. е.

Для наглядности определенные выше операции представляют рисунками с использованием так называемых эйлеровых кругов. Каждый такой круг соответствует множеству, на который эта операция распространяется. Если X является подмножеством Y ( X Y ), то круг, соответствующий множеству X , окажется внутри круга Y (рис. 1.1). Для несравнимых множеств X и Y ( X ≠Y ) эти круги могут как пересекаться, так и не пересекаться (рис. 1.2 и 1.3).

Множества X и Y называют непересекающимися, если X ∩Y = . У таких множеств нет ни одного общего элемента. Пересечение двух какихлибо множеств есть совокупность общих элементов этих множеств,

15

а их объединение – полная совокупность элементов этих множеств. На рис. 1.4 и 1.5 заштрихованным областям соответствуют множества, которые получаются при объединении и пересечении двух множеств, представленных эйлеровыми кругами.

и X = X . Здесь операция объединения множеств аналогична сложению чисел, а операция пересечения – операции умножения.

Определение 9. Разностью двух множеств X и Y называют множе-

ство X \ Y (здесь \ – знак операции разности), каждый элемент которого

Определение 10. Множество X называется дополнением множества

X , если оно содержит все те и только те элементы, которых нет в X . Иначе говоря,

версум покрывает любое множество, то его изображают в виде прямоугольника, внутри которого располагаются эйлеровы круги, изображающие различные множества. На рис. 1.6 и 1.7 заштрихованы области, соответствующие разности двух множеств и дополнению множества X .

16

Определение 11. Совокупность непересекающихся подмножеств множества X , объединение которых равно последнему, называется разби-

ением множества X .

Иначе говоря, если

то {S1, S2 ,...Sn } – разбиение множества X .

Из данного определения следует, что любое множество X со своим дополнением X дает разбиение универсума, т. к. X X = I и X ∩ X = .

Вопросы для самоконтроля

3.Верно ли следующее тождество для любых множеств X и Y :

X \ Y = X ∩Y ?

4.Верно ли данное тождество X \ Y =Y \ X ?

5.В каком отношении находятся множества X и Y , если

X Y = X ∩Y ?

6. В каком отношении находятся множества X и Y , если

( x Y )[x X ]?

7. Является ли разбиением универсума пара, состоящая из произвольного множества X и его дополнения X ?

17

1.4. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ

Выше введены четыре операции над множествами (определения 7–10), при их действии на множества получаются новые множества. Операции называются алгебраическими, если их действия на любые объекты определенной природы приводят к созданию объектов той же природы. Так, в результате сложения двух произвольных чисел получится снова число, а объединение, пересечение и дополнение различных множеств образуют также множества. Следовательно, эти операции алгебраические. Некоторый «достаточный» набор Ω алгебраических операций называют сигнатурой, а множество всех объектов, на которые эти операции действуют, называют

носителем алгебры.

Рассмотрим алгебру, носителем которой являются всевозможные множества, а сигнатурой – операции объединения, пересечения и дополнения,

т. е. Ω = , ∩, − . Сюда не вошла операция разности, т. к. действие этой



операции можно осуществить с помощью операций пересечения и дополнения по формуле

X\ Y = X ∩Y .

Всамом деле, множество, составленное из элементов множества X ,

которых нет в Y , т. е. множество X \ Y , как раз и есть пересечение X

сдополнением Y (см. рис. 1.5–1.7).

Вэтой алгебре (далее будем называть ее алгеброй множеств) для любых множеств X , Y и Z (здесь Z – произвольное множество, а не целые числа) имеют место следующие тождества.

Свойства коммутативности операций и ∩:

1а. X Y =Y X , 1б. X ∩Y =Y ∩ X .

Свойства ассоциативности операций и ∩:

2а. X (Y Z) = (X Y ) Z , 2б. X ∩(Y ∩Z) = (X ∩Y ) ∩Z .

Свойства дистрибутивности операций от ∩ и ∩ от :

3а. X (Y ∩Z) = (X Y ) ∩(X Z) ,

3б. X ∩(Y Z) = (X ∩Y ) (X ∩Z) .

18

Свойства универсума и пустого множества:

4а. X = X , 4б. X ∩ = , 5а. X I = I , 5б. X ∩ I = X ,

6а. X X = I , 6б. X ∩ X = , 7а. = I , 7б. I = .

Свойства идемпотентности операций и ∩:

8а. X X = X , 8б. X ∩ X = X .

Законы поглощения:

9а. X (X ∩Y ) = X , 9б. X ∩(X Y ) = X .

Законы Де Моргана3:

10а. X Y = X ∩Y , 10б. X ∩Y = X Y .

Многие из этих тождеств были получены ранее, некоторые непосредственно следуют из данных выше определений алгебраических операций. Однако тождества 3а, 3б, 9а–10б не совсем очевидны и нуждаются в доказательствах. При их доказательстве следует отказаться от всякой интуиции и строить свои рассуждения только на тех математических определениях, которые были даны ранее. Всякое тождество типа X =Y доказывается согласно определению 2 следующим образом.

Сначала доказывается, что любой элемент из X содержится в Y , т. е. определяется, что X Y . Затем необходимо установить, что любой элемент из Y находится также в X , т. е. Y X . И только после этого делается заключение, что X =Y .

Пример 3. Доказать тождество 3а.

Решение. Пусть x X (Y ∩Z) и x взят нами произвольно. При этом возможны два случая: x X или x X . Если x X , то по определению 7 x будет находиться в объединении этого множества с любым другим множеством (см. рис. 1.4). Тогда x X Y и x X Z .

3 Огастес Де Морган (1806–1871) – шотландский математик и логик. Независимо от Дж. Буля пришел к основным идеям математической логики.

19

Таким образом, доказано, что любой элемент x X (Y ∩Z) является общим элементом двух множеств X Y и X Z , но тогда он принадлежит и их пересечению, т. е.

( x X (Y ∩Z))[x (X Y ) ∩(X Z)].

Откуда получим X (Y ∩Z) (X Y ) ∩(X Z).

Теперь возьмем произвольный элемент y (X Y ) ∩(X Z) . Тогда по определению 8 должны одновременно выполняться оба условия y X Y и y X Z . Сначала предположим, что y X . Но тогда y будет находиться в объединении этого множества с любым другим множе-

y X (Y ∩Z ).

Рис. 1.8. Логическая схема вывода тождества 3а

20

Таким образом, доказано утверждение

( y (X Y ) ∩(X Z))[y X (Y ∩Z)],

что равносильно условию X (Y ∩Z) (X Y ) ∩(X Z).

Получили, что левое и правое множества в тождестве 3а являются подмножествами друг друга, и согласно (1.2) они равны. Тождество доказано.

Доказательство, приведенное в предыдущем примере, можно изобразить в виде логической схемы (рис. 1.8), наглядно представляющей весь ход описанных выше рассуждений.

Подобного рода логические схемы в языке математики играют важную роль. Их также применяют в информатике при описании алгоритмов.

Пример 4. Доказать тождество 9а.

Решение. Проведем аналогичные рассуждения (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Логическая схема доказательства тождества 9а

Пример 5. Доказать тождество 10б.

Решение. Доказательство проведем аналогично (рис. 1.10).

На рис. 1.8–1.10 некоторые стрелки имеют ссылки на ранее полученные соотношения, вытекающие из математических определений подмно-

21

жества, равных множеств, объединения, пересечения и дополнения множеств. Тождества 3б, 9б и 10а доказываются аналогично.

Алгебраические операции обеспечивают еще один способ задания множества – алгебраический. Например, отрезок [a, b] можно задать формулой

[a, b]={x R : x ≥ a}∩{x R : x ≤ b}.

Тождества 1а–10б используются при алгебраических преобразованиях сложных формул.

Рис. 1.10. Схема доказательства тождества 10б

Пример 6. Упростить выражение (X ∩Y ∩Z ) (X ∩Z ) (Y ∩Z ).

Решение. На основании тождеств 1а, 1б (свойств коммутативности) и 2а (свойства ассоциативности объединения) получим

(Z ∩ X ) (Z ∩Y ) (X ∩Y ∩Z ).

К выражению в квадратных скобках применим тождество 3б

Z ∩(X Y ) (X ∩Y ∩Z ).

22

или (тождества 1б, 3б, 1а, 6а, 5б)

Z ∩W (Z ∩W )= Z ∩(W W )= Z ∩(W W )= Z ∩ I = Z .

Следовательно, (X ∩Y ∩Z ) (X ∩Z ) (Y ∩Z )= Z .

Замечание 1. Здесь, как и в алгебре, изучаемой в школьном курсе,

спомощью скобок можно задавать требуемую последовательность выполнения операций. При отсутствии скобок первой выполняется операция

сбольшим приоритетом. В алгебре множеств пересечение имеет больший приоритет по отношению к операции объединения (как и умножение по

отношению к сложению в алгебре чисел). Поэтому Z X ∩Y = = Z (X ∩Y ). В общем случае Z X ∩Y ≠ (Z X )∩Y .

Замечание 2. Когда имеет место пересечение с дополнением от сложной формулы, результат применения тождества 10б к данному дополнению следует заключить в скобки, ибо операция пересечения должна действовать на весь результат. Например,

X ∩Y ∩Z = X ∩(Y Z ) и X ∩Y ∩Z ≠ X ∩Y Z .

Вопросы для самоконтроля

1.Докажите тождества 3б, 9б, 10а.

2.Какие из тождеств 1а–10б аналогичны тождествам алгебры чисел?

3.Упростите следующие выражения:

а) X ∩Y X ; б) X \ Y Y ; в) X Y ∩Y ∩Y ∩Y X .

23