1.5. КОРТЕЖИ. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Выпишем некоторые элементы множества в определенной последовательности. В полученной совокупности каждый элемент уже будет иметь свой порядковый номер. Такую упорядоченную совокупность называют кортежем. Таким образом, в кортеже элементы располагаются не произвольно, как во множествах, с которыми мы имели дело раньше, а в опр е- деленном порядке. Элементы кортежа называют компонентами, а их к о-

личество – длиной кортежа.

Примерами кортежей являются очередь в кассу, координаты точки пространства, действительное число, записанное в какой-либо позиционной системе счисления, слово и т. д. Кортежи длины 2 называют парами, длины 3 – тройками, длины 4 – четверками и т. д. Кортежи длины n называют n-ками.

Некоторые компоненты кортежа могут быть одинаковыми (соответствовать одному и тому же элементу множества, из которого они выписаны). Например, в слове СВИСТОК первая и четвертая буквы (компоненты) одинаковы, а в числе 3999 совпадают сразу три компоненты (со второй по четвертую).

В общем случае кортежи задаются последовательностью значений компонент, которую заключают в круглые скобки. Круглые скобки будут теперь указывать нам на то, что записанные в них элементы переставлять местами уже нельзя, т. е. (1, 3) ≠ (3, 1), так же как и 13 ≠ 31. Для обозначения кортежей будем использовать латинские буквы. Например, b = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) = 11010001 – кортеж длины 8 (восьмерка), для которого здесь использовано обозначение b.

Частным случаем кортежей являются кортежи длины 1, например, (7), (я), (+) и т. д. и кортеж длины 0 – ( ), для которого введем специальное обозначение λ.

Кортежи, компоненты которых могут принимать только числовые значения, называют векторами, а его компоненты – координатами. Вектор можно проектировать на оси координат, а кортеж на компоненты.

24

Определение 12. Проекцией кортежа v = (v1,v2 ,...,vn ) на i-ю компо-

ненту называется его i-я компонента, что соответствует записи Прiv = vi , а

его проекцией на k компонент с номерами i, j,…, s есть кортеж длины k, составленный из компонент исходного кортежа с указанными выше номерами, т. е.

Прi, j,...sv = (vi ,vj ,...,vs ) .

Например,

Пр2 (a,t,h) = t , Пр3,5,6,7,9,10 КОМПОНЕНТА = МОНЕТА.

Поскольку при проектировании кортежа длины n на s ( s ≤ n) компонент получается кортеж длины s , то при проектировании любого кортежа на ноль компонент (на пустое множество компонент) должен получаться кортеж длины 0, т. е.

Пр v = λ.

Определение 13. Пусть A – множество кортежей длины n. Проекцией множества A на k компонент с номерами i, j,…, s будет множество про-

екций соответствующих кортежей из множества A , т. е.

Прi, j,...,s A ={Прi, j,...sv : v A}.

Например,

Пр1,3 {СЛОН ,СТОЛ,СТУЛ}={СО,СО,СУ}={СО,СУ}.

Определение 14. Пусть X ={x1, x2 ,..., xn } и Y ={y1, y2 ,..., ym } произ-

вольные множества. Множество всех пар вида (x, y), где первая компонента x X , а вторая y Y , называется прямым произведением множества X на множество Y и обозначается X *Y , т. е.

X *Y ={(x, y): x X y Y}.

25

Пример 7. Пусть X ={1,3,4}, а Y ={1, 2}. Тогда

X *Y ={(1,1), (1, 2), (3,1), (3, 2), (4,1), (4, 2)}.

Теперь переставим сомножители, то результат уже будет иным:

Y * X ={(1,1), (1, 3), (1, 4), (2,1), (2, 3), (2, 4)}.

Следовательно, в общем случае прямое произведение множеств не коммутативно ( X *Y ≠Y * X ).

Замечание 1. Если поменять местами компоненты в парах множества X *Y , то получится множество Y * X . Такую операцию перестановки компонент в парах называют операцией возведения множества пар в минус первую степень и пишут

(X *Y )−1 =Y * X .

Замечание 2. Операция прямого произведения распространяется на любое число множеств. Например, множество X *Y * Z будет состоять из всевозможных троек вида (x, y, z), где x X , y Y, z Z , а множество

всевозможных n-ок вида (x1, x2 ,..., xn ), где x1 X1, x2 X2 , ..., xn Xn , получится при перемножении X1 * X2 *...* Xn .

Замечание 3. Множество R * R = R2 - это все точки вещественной плоскости xOy , R * R * R = R3 – все точки трехмерного пространства, а Rn

– n-мерного.

Замечание 4. Очевидно R1 = R , а R0 ={λ}, т. к. кортежей длины ноль всего один, который мы ранее условились обозначать символом λ.

26

угольника (рис. 1.11), который получится, если по оси Ox отложить отрезок [1, 4], а по оси Oy – отрезок [1, 2]. На данном рисунке заштрихованная

часть вещественной плоскости является замкнутым прямоугольником, поскольку его сторонами являются замкнутые интервалы. А множество (a,b)*(c,d )={(x, y) R2 : a < x < b c < y < d} будет открытым прямо-

угольником.

y

2

1

O 1 2 3 4 x

Рис. 1.11. Прямое произведение

По аналогии множество (a1,b1 )*(a2 ,b2 )*(a3,b3 ) называют открытым параллелепипедом, а замкнутым параллелепипедом будет множество

[a1,b1 ]*[a2 ,b2 ]*[a3,b3 ].

Вопросы для самоконтроля

1. Справедливы ли следующие равенства:

2. Упростить выражение Пр3 X *Y * X * Z Пр2 (X *Y )−1 .

27