3.8. ПРЕДИКАТНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Компьютерная реализация метода резолюций требует приведение

ПППФ монадической логики к некоторой стандартной форме, приспособленной к алгоритму логического вывода. Такое преобразование ПППФ

производится в несколько стадий с последовательным получением промежуточных предикатных нормальных форм, каждую из которых рассмотрим ниже в соответствующей последовательности.

Префиксная нормальная форма

Определение 12. Префиксной (или предваренной) нормальной формой

(ПНФ) называется ПППФ, имеющая вид

где Qi { , }, i =1,k, P(x1, x2 ,..., xk ) −бескванторная ПППФ, в которой отсутствуют также символы , , .

Таким образом, не любая ПППФ является ПНФ. Например, утверждение «у любого человека есть отец» можно представить ПППФ вида

( х) Человек(х) ( у)[Отец(у, х)] . (3.20)

Эта ПППФ не является ПНФ. Ее следует еще привести к виду (3.19). Алгоритм преобразования любой ПППФ в ПНФ (или конъюнкцию нескольких ПНФ) выглядит следующим образом.

Алгоритм 3

Шаг 1. Устранить операции , , с помощью тождеств 11–13

из п. 3.1.

Шаг 2. По правилам Де Моргана все инверсии загнать внутрь (до атомарных предикатов).

76

Шаг 3. По формулам (3.6) осуществить вынос кванторов за квадратные скобки (при этом могут потребоваться также и формулы (3.7)–(3.14)).

Пример 5. По алгоритму 3 преобразовать (3.20) в ПНФ.

Решение.

Шаг 1. В (3.20) избавимся от импликации. Получим

( х) Человек(х) ( у)[Отец(у, х)] .

Шаг 2. Поскольку в полученной ПППФ под инверсией стоит только атомарный предикат, то переходим к следующему шагу.

Шаг 3. По третьей формуле из системы (3.6), полагая Q =Человек(x), где предикат Q не зависит от переменной у , имеем

( х)( у) Человек(х) Отец(у, х) ,

т. е. получили требуемую ПНФ.

Так, любая ПППФ может быть преобразована в ПНФ или конъюнкцию нескольких ПНФ. При этом конъюнкция из m ПНФ, соответствующая некоторой исходной посылке, может рассматриваться как m посылок, каждая из которых есть ПНФ. Таким образом, при преобразовании по алгоритму 3 всех ПППФ из списка Ĉ (см. алгоритм 2) получается список префиксных нормальных форм, и число элементов в полученном списке может стать больше чем в исходном.

Скулемовская нормальная форма

Дальнейшие преобразования будут связаны с избавлением от кванторов , . Рассмотрим, как это можно осуществить в каждой из полученных ПНФ. Пусть в некоторой ПНФ А первый слева квантор существования имеет индекс r (Qr = ) , т. е.

A = ( x1 )( x2 )...( xr−1 )( xr )(Qr+1xr+1 )(Qr+2 xr+2 )...(Qk xk )[P(x1, x2 ,..., xk )].

77

Выберем ранее не встречавшийся (r −1) -местный функциональный символ f и придем к формуле

A1 = (Qr+1xr+1 )...(Qk xk )[P(x1,..., xr−1, f (x1,..., xr−1), xr ,..., xk )].

Если r =1, то вместо x1 в формулу A будем подставлять константу a , ранее в формуле A не встречавшуюся. Константу a называют скулемов-

ской константой, а f (x1, x2 ,..., xr−1) − скулемовской функцией.

Скулемовская функция f (x1, x2 ,..., xr−1) = xr , т. е. определяет переменную xr . Она порождена квантором существования, который декларирует, что для любых x1, x2 ,..., xr−1 существует xr , однако конкретного закона (графика) этого всюду определенного соответствия здесь не задано. Особенность скулемовской функции в том и состоит, что для нее конкретный закон соответствия не имеет никакого значения. Например, рассмотрим предикат ( x1 )( x2 )( x3 )[x1 < x2 x1 < x3 < x2 ]. С помощью наших преобразований из него можно получить x1 < x2 x1 < f (x1, x2 ) < x2 , где f (x1, x2 ) − скулемовская функция, в качестве которой может подойти и

функция f (x1, x2 ) = x1 +2 x2 . Однако явного определения этой функции

здесь не требуется – достаточно описать ее формально, через ранее не встречавшийся функциональный символ f .

Впоследствии скулемовские константы и скулемовские функции будут заменяться подходящими сущностями, которые имеют место для r −1 сущностей в описываемом мире. Их роль в том и состоит, что они обозначают вакансии для подходящих сущностей.

Далее рассмотрим формулу А1. Найдем в ней, как и в формуле А, первый слева квантор существования и аналогичным образом избавимся от этого квантора, откинув также и впереди стоящие кванторы общности. В результате получим формулу А2. Этот процесс будем продолжать до

78

тех пор, пока не получим бескванторную ПППФ Аs = Ps (y1, y2 ,..., yt ) из t логических переменных и s скулемовских величин ( s +t = k ), которую и называют скулемовской нормальной формой.

Клаузальная форма

Следующим шагом на пути к применению метода резолюций является преобразование скулемовских нормальных форм в к.н.ф. Затем каждую к.н.ф. заменяют списком входящих в нее дизъюнктов. Так, список исходных ПППФ в конечном итоге преобразуется в список дизъюнктов, кото-

рый и называют клаузальной формой.

К этой последовательности дизъюнктов применяют метод резолюций

(см. алгоритм 2).

Пример 6. Представить в клаузальной форме утверждение «каждый народ имеет то правительство, которое он заслуживает».

Решение. На языке монадической логики это утверждение выразится следующей ПППФ:

( x)( y)[Народ(х) Правительство(у) Заслуживает(х, у)].

Избавимся от импликации и получим ПНФ

( x)( y) Народ(х) Правительство(у) Заслуживает(х, у) .

Здесь квантор существования стоит вторым слева (r = 2 ). Поэтому вводится скулемовская функция от одной переменной y = f (x) . Получим скулемовскую нормальную форму

Народ(х) Правительство(у) Заслуживает(х, у),

которая представлена единственным дизъюнктом длины три, т. е. получена клаузальная форма для исходного утверждения.

79

Дословный перевод на русский язык полученной ПППФ соответствует утверждению «для произвольных х и у или х не народ, или у не правительство, или х заслуживает у », которое в информационном плане, с точностью до эмоций, эквивалентно исходному утверждению.

Вопросы для самоконтроля

1. Следующие ПППФ преобразовать в ПНФ:

а) ( x)( y) ( z)[P(x, z) R(y, z)] ( w)[Q(w, y, x] ;

б) ( x) F(x) ( y) G(x, y) ( z)[H (x, y, z)] ; в) ( x) S(x) ( y)[T (x, y)] .

2.Преобразовать те же ПППФ в клаузальную форму.

3.Найти клаузальную форму для следующего утверждения: «Нет такого солдата, который не хотел бы стать генералом».

3.9.СЕМАНТИЧЕСКОЕ ДЕРЕВО

Валгоритме метода резолюций (алгоритм 2) не совсем ясно, каким образом определяется пара дизъюнктов, для которых применимо правило резолюции. Например, при доказательстве секвенции

АБ, Б А А Б

получается такая последовательность дизъюнктов

в которой трудно сразу определить, для каких пар применение правила резолюции будет результативным, а для каких нет. В частности, применение правила резолюции к первому и второму дизъюнкту, а затем к третьему и четвертому из данного списка дает новый непустой список А А, Б Б , для которого последующее применение правила резолюции становится

80

невозможным, и, как следствие исходная секвенция остается недоказанной.

Однако если в списке (3.21) вначале применить правило резолюции к первому и третьему дизъюнктам, а затем ко второму и четвертому, то

Четкое определение пар, для которых применение правила резолюции результативно, задается так называемым семантическим деревом.

Определение 13. Пусть S( p1, p2 ,..., pk ) ={A1, A2 ,..., An } – исходный список дизъюнктов, полученный для заданной секвенции, где p1, p2 ,..., pk − атомарные предикаты, входящие в дизъюнкты из списка {A1, A2 ,..., An }. Се-

мантическое дерево Т для списка S есть конечное двоичное прадерево, из каждой внутренней вершины которого N исходят два ребра, помеченные как pi и pi соответственно. Всякая ветвь такого дерева имеет длину k .

Построение семантического дерева проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 7. Построить семантическое дерево для списка дизъюнктов

{ А Б, Б А, А Б, А Б }.

Решение. В данном списке использованы только два атомарных предиката ( p1 = A, p2 = Б, k = 2), т. е. имеем S1(А, Б). Из вершины 1 проводим ребра А и А. Пусть ребро А входит в вершину 2, а А – в вершину 3. Теперь из вершины 2 проводим два ребра, которые помечаем следующим атомарным предикатом и его инверсией ( Б и Б ). Концы ребер нумеруем следующими порядковыми номерами, т. е. получаем вершины 4 и 5, в к о- торые соответствующие ребра входят. Аналогично поступаем и с верши-

81

ной 3. В результате получается семантическое дерево (рис. 3.1), каждая ветвь которого равна 2 ( k = 2).

Для некоторого списка дизъюнктов, в котором использованы три атомарных предиката S2 (В, Г, Д ), аналогичным образом строится семантическое дерево (рис. 3.2) с ветвями длины 3 (k = 3).

Каждая ветвь семантического дерева соответствует одной из вершин единичного гиперкуба {0,1}k , где k −число атомарных предикатов в списке S дизъюнктов. Поэтому число ветвей в этом дереве всегда равно числу вершин гиперкуба размерности k , т. е. 2k . Но каждая вершина гиперкуба есть полная элементарная конъюнкция из логических переменных и их инверсий. Следовательно, каждая ветвь семантического дерева определяет логическое выражение вида q1 q2 ... qk , где qi {pi , pi } (i =1, k ). Данное выражение называется интерпретацией списка S( p1, p2 ,..., pk ).

Например, дерево, приведенное на рис. 3.1, имеет всего 22 = 4 ветви (они заканчиваются вершинами 4, 5, 6, 7 и им отвечают четыре интерпретации А Б , А Б , А Б , А Б соответственно).

никакая другая вершина на этом пути таким свойством не обладает.

82

Найдем опровергающие узлы семантического дерева Т1( рис. 3.1), которое соответствует списку S1(А, Б) ={ А Б, Б А, А Б, А Б }. Здесь

вершина 4 опровергает дизъюнкт А Б , 5 – А Б , 6 – А Б и, наконец, 7

– А Б . В этом примере все опровергающие узлы являются концами ветвей (такие вершины в дереве называют висячими). В качестве другого примера возьмем дерево Т2 (рис. 3.2), которому пусть соответствует

Тогда для дизъюнкта В опровергающим узлом будет вершина 3, a для

Г, В Г Д , Д – вершины 5, 9, 8 соответственно.

Впоследнем примере уже не все опровергающие узлы являются висячими вершинами – узлы 3 и 5 в дереве Т2 внутренние. Если обрезать это

дерево, укоротив его ветви до опровергающих узлов, то полученное дере-

во будет называться замкнутым семантическим деревом.

В замкнутом семантическом дереве число ветвей (число висячих вершин) не менее числа дизъюнктов в соответствующем ему списке, причем каждая из этих висячих вершин опровергает один из таких дизъ-

юнктов. Для списка S1(А, Б) ={ А Б, Б А, А Б, А Б } замкнутым семантическим деревом будет Т1 (рис. 3.1), а для списка дизъюнктов S2 (В, Г, Д )= {В, Г, В Г Д, Д} – дерево Т2 (рис. 3.3).

8 9

Рис. 3.3. Замкнутое семантическое дерево Т2 для S2 (В, Г, Д )

83

Определение 15. Пара опровергающих узлов в замкнутом семантическом дереве Т для списка дизъюнктов S , имеющая общего предшественника (общую смежную вершину), определяет пару дизъюнктов из S , опровергаемых этими узлами, для которых применимо правило резолюции. По данному правилу указанная пара дизъюнктов порождает новый дизъюнкт, называемый резольвентой (иначе говоря, резольвента – это заключение в секвенции (3.18) правила резолюции).

Опровергающим узлом для резольвенты будет являться как раз та общая смежная вершина для пары вершин, определивших пару дизъюнктов, к которым было применено правило резолюции с получением данной резольвенты в качестве заключения. Эта пара вершин и инцидентные им ребра выбрасываются из дерева Т , и получается новое замкнутое семантическое дерево для списка дизъюнктов, в котором вместо двух дизъюнктов, стоящих слева от знака секвенции в применяемой резолюции, будет ее резольвента. Это изменение списка дизъюнктов обусловлено применением данного правила вывода. Процесс применения правила резолюции продолжается до достижения корня дерева Т и получения в качестве резольвенты пустого дизъюнкта □.

Теперь снова рассмотрим ранее вызвавший у нас недоразумение список дизъюнктов (3.21). Замкнутое семантическое дерево для него было построено в примере 7 (рис. 3.1).

Здесь дизъюнкты А Б, Б А, А Б, А Б опровергаются вершинами 5, 6, 4, 7 соответственно. Из рис. 3.1 видно, что вершины 5 и 6 не имеют общей смежной вершины, поэтому к первым двум дизъюнктам из списка (3.21) применять правило резолюции (согласно определению 15) нельзя. Но оно применимо к первому и третьему дизъюнктам, поскольку они опровергаются вершинами 5 и 4 соответственно, которые имеют общую смежную вершину 2 (рис. 3.1). Следовательно, к списку (3.21) можно применить правило вывода (3.18), т. е. А Б, А Б А , по которому резольвента А замещает дизъюнкты А Б, А Б в списке (3.21), и получа-

84

ется список (3.22). Опровергающим узлом для резольвенты А является вершина 2. После отбрасывания вершин 5 и 4 и инцидентных с ними ребер вершина 2 становится висячей. Данное усеченное дерево является замкнутым семантическим деревом для списка (3.22) с тремя дизъюнктами А, Б А, А Б , опровергающими узлами которых являются висячие вершины 2, 6, 7 соответственно.

Здесь только вершины 6 и 7 имеют общую смежную вершину (вершину 3). Поэтому следует применить правило (3.18) для последних двух дизъюнктов из списка (3.22), т. е. резолюцию вида Б А, А Б А. В результате получим список (3.23), которому соответствует семантическое дерево из трех вершин 1, 2, 3, где вершины 2 и 3 смежны с вершиной 1 и являются опровергающими узлами дизъюнктов А и А соответственно. Но утверждения А и А противоречат друг другу. Это противоречие порождает пустой дизъюнкт □, соответствующий вершине 1 (корню дерева Т1).

Полученный результат свидетельствует об одновременной невыполняемости всех дизъюнктов из списка (3.21), и это противоречие доказывает исходную секвенцию А Б, Б А А Б .

Вопросы для самоконтроля

1. Построить замкнутые семантические деревья для секвенций:

а) А Б, Б В А В;

б) А Б, А Б А Б ;

в) А Б, Б В А В ; г) А Б, Б В А В .

2. Доказать секвенции из предыдущего задания.

85

3.10.МЕТОД РЕЗОЛЮЦИЙ ДЛЯ ПРЕДИКАТОВ

Втом случае, когда для некоторой секвенции S , представленной списком дизъюнктов, на которые разлагаются ее посылки и инверсия заключения, можно построить замкнутое семантическое дерево T , то и с- тинность ее уже будет доказана, а сам ход этого доказательства можно проследить, поднимаясь от висячих вершин дерева T к его корню и описывая получающуюся при этом последовательность логических преобразований с использованием единственного правила вывода – резолюции.

Но резолюция принципиально ничем не отличается от цепного заключения. В самом деле, из ( 3.18) при использовании доказанного нами

тождества х у = х у можно получить У Ф,Ф Х У Х . В нашей дедукции подобного рода переход вполне естественен, т. е. цепное заключение (резолюция) очень удобно при построении умозаключений.

Таким образом, рассмотренная выше логическая машина не только констатирует факт истинности исследуемой секвенции, но и дает «объяснение» – почему это так, предоставляет подробное описание этого доказательства, обеспечивает возможность проследить весь ход «рассуждений».

Основные «секреты» устройства данной логической машины читателю теперь известны, и он готов к тому, чтобы проследить весь процесс моделирования на языке монадической логики некоторой реальной ситуации и понять, как эта модель (подобие реальной ситуации) будет вести себя в замкнутом пространстве единичного гиперкуба (в памяти компьютера). Покажем это на примере описания династии Рюриков, который был уже рассмотрен в п. 3.3. Пусть описываемая нами модель представлена миром из трех сущностей Х ={Владимир, Борис, Глеб}, на котором задано

отношение «быть сыном» (предикатное имя «С ») и дано определение для предиката «быть братом» (предикатное имя « Б »), т. е. согласно (3.16) заданы такие два факта:

А1= С(Борис, Владимир),

А2 = С(Глеб, Владимир),

86

и определение отношения «быть братом» из определений (3.15):

А3 =( x1 )( x2 )( x3 )[С(x1, x3 ) С(x2 , x3 ) Б(x1, x2 )].

Следует ли из этих трех посылок, что Борис брат Глеба? Чтобы отв е- тить на этот вопрос, составим секвенцию:

А1, А2 , А3 В, где заключение В = Б(Борис, Глеб).

Здесь формулы А1, А2 и В – бескванторные (атомарные) предикаты и не требуют дополнительных преобразований; только формула А3 не является клаузальной формой. Преобразуем ее сначала в ПНФ, т. е. избавимся от импликации. Получим

А3 =( x1 )( x2 )( x3 ) С(x1, x3 ) С(x2 , x3 ) Б(x1, x2 ) ,

а затем, введя скулемовскую функцию x3 = f (x1, x2 ), избавимся от кванторов. Тогда будем иметь

А3 = С(x1, f (x1, x2 ) С(x2 , f (x1, x2 ) Б(x1, x2 ).

Последняя формула справедлива для любых значений переменных x1 и x2. Рассмотрим случай, когда x1 = Борис, а x2 = Глеб. Тогда Выражение f (Борис, Глеб) будет означать, что для Бориса и Глеба существует некто x3, например Владимир, т. е. скулемовскую функцию x3 = f (x1, x2 ) можно заменить значением Владимир. После данных подстановок имеем

А3 = С(Борис, Владимир) С(Глеб, Владимир Б(Борис, Глеб)

или

А3 = А1 А2 В.

87

Поэтому наша исходная секвенция, доказательство которой мы намериваемся проводить методом от противного, преобразуется в список из четырех дизъюнктов (три посылки и отрицание заключения)

S(А1, А2 , В) ={А1, А2 , А1 А2 В, В},

выраженных через три атомарных предиката:

А1= С(Борис, Владимир), А2 = С(Глеб, Владимир), В = Б(Борис, Глеб).

Данный список (с точностью до обозначения атомарных предикатов, что не принципиально) совпадает со списком (3.25), для которого замкнутое семантическое дерево уже построено (рис. 3.3). Таким образом, доказано, что Борис брат Глеба.

Нашей логической машине можно задавать и более сложные вопросы. Например, можно ее спросить, кто брат Глеба. Этот вопрос на языке монадической логики выразится секвенцией с теми же посылками

А1, А2 , А3 В, где заключение В = Б(х4 , Глеб).

Для получения замкнутого семантического дерева здесь следует использовать еще одну подстановку х4 = Борис. При такой подстановке будет получено то же самое дерево (рис. 3.3), а ответом на поставленный вопрос будет найденная подходящая подстановка для неизвестного х4.

Аналогично можно задать вопрос, кто здесь братья. В этом случае справа от знака секвенции достаточно поставить В = Б(х4 , х5 ). Для такой секвенции замкнутое семантическое дерево будет получено при подстановке х4 = Борис, х5 = Глеб. Следовательно, Борис и Глеб братья.

88

Однако вопросы типа: в каком родстве находятся Борис и Глеб, который можно представить как В = х4 (Борис, Глеб), здесь недопустимы, т. к. в монадической логике предикатные символы не имеют ничего общего с обозначениями переменных. В отличие от последних первые не могут замещаться константами (сущностями).

Из рассмотренного примера не совсем ясен механизм нахождения нужных подстановок для переменных х1, х2 , х3 , х4 ,… и скулемовской функции f (x1, x2 ). Этот механизм реализуется алгоритмом унификации, который будет рассмотрен далее.

Вопросы для самоконтроля

1.Как будет выглядеть в форме заключения секвенции вопрос – кто убил Лютера Кинга?

2.Задано бинарное отношение «быть сыном» следующими фактами:

С(Юрий _ Долгорукий, Владимир _ Мономах),

С(Мстислав _ Великий, Владимир _ Мономах),

С(Изяслав, Мстислав _ Великий),

С(Всеволод _ Большое _ Гнездо, Юрий _ Долгорукий),

С(Ярослав _ князь _ Владимирский, Всеволод _ Большое _ Гнездо),

С(Александр _ Невский, Ярослав _ князь _ Владимирский),

С( Даниил, Александр _ Невский).

Установить их истинность.

3. Дать определения отношениям: «быть отцом», «быть дедом», «быть внуком», «быть братом», «быть двоюродным братом» (кузеном), «быть племянником». Доказать методом резолюций, что:

а) Изяслав и Всеволод Большое Гнездо двоюродные братья; б) Александр Невский внук Всеволода Большое Гнездо; в) Изяслав племянник Юрия Долгорукого;

89