выше отрезке. Построим бесконечную десятичную дробь 0,b1b2...bn... по

правилу b1 ≠ a11,b2 ≠ a22 ,...,bn ≠ ann ...

Такое построение возможно, так как действительные числа не обязаны быть бесконечными периодическими десятичными дробями, и, следовательно, дробь 0,b1b2...bn... может быть непериодической. С одной сторо-

ны, построенное неотрицательное действительное число 0,b1b2...bn..., не превышающее единицы, должно принадлежать отрезку [0,1], а с другой –

(согласно нашему построению) его там нет. Это противоречие свидетельствует, что наше предположение неверно, т. е. множество R несчетное. Теорема доказана.

Вопросы для самоконтроля

1. Будет ли A B = A + B , если A ∩ B = ?

2.Чему будет равно A B , если A ∩ B ≠ ?

3.Справедливо ли равенство A* B = AB ?

1.8. ЕДИНИЧНЫЙ ГИПЕРКУБ

Множество {0,1}n играет очень важную роль в информатике и вычислительной технике. Его называют единичным n-мерным гиперкубом.

Нуль-мерный единичный гиперкуб – это {0,1}0 ={λ}; одномерный –

{0,1}1 ={0,1}; двумерный гиперкуб содержит всевозможные пары из ну-

лей и единиц – {0,1}2 ={(0, 0), (0,1), (1, 0), (1,1)}={00, 01,10,11}; трехмер-

ный – всевозможные тройки из нулей и единиц общим числом 23 =8, т. е.

{0,1}3 ={(0, 0, 0), (0, 0,1), (0,1, 0), (0,1,1), (1, 0, 0), (1, 0,1), (1,1, 0), (1,1,1)} = ={000, 001, 010, 011,100,101,110,111} и т. д. Поэтому множество {0,1}n

будет состоять из 2n n-ок с компонентами из нулей и единиц.

36

Эти n-ки называются вершинами гиперкуба, а их компоненты – координатами вершин. С вершинами гиперкуба связаны следующие числовые характеристики.

1. Весом (или нормой) вершины a с координатами α1,α2 ,...,αn назы-

n

вается сумма всех ее координат, т. е. a = ∑αi .

i=1

Следовательно, номера вершин гиперкуба {0,1}n – это целые числа из интервала 0, 2n −1 , а соответствующие им вершины суть двоичное представление этих чисел (число ν(a) в двоичной системе счисления есть a ).

3. Расстоянием Хэмминга между вершинами a и b гиперкуба {0,1}n

n

называется число ρ(a,b)= ∑ αi −βi , где a = (α1, α2 , ..., αn )

i=1

и b = (β1, β2 , ..., βn ), т. е. расстояние между двумя вершинами – это число

координат, которыми они различаются.

Пример 10. Вычислить вес, номер вершин 1011 и 1101 гиперкуба {0,1}4 и расстояние Хэмминга между ними.

Решение. 1011 =1+0 +1+1 = 3, 1101 =1+1+0 +1 = 3,

ν(1011)=1 24−1 +0 24−2 +1 24−3 +1 24−4 =8 + 2 +1 =11,

ν(1101)=1 24−1 +1 24−2 +0 24−3 +1 24−4 =8 + 4 +1 =13,

ρ(1011,1101)= 1−1 + 0 −1 + 1−0 + 1−1 = 0 +1+1+0 = 2 .

Используя данные числовые характеристики, можно выделять различные подмножества гиперкуба.

1.Вершины a и b гиперкуба {0,1}n называются смежными, если

ρ(a,b)=1, а неупорядоченная пара смежных вершин {a,b} {0,1}n назы-

вается ребром гиперкуба {0,1}n .

37

2.Вершины a и b гиперкуба {0,1}n называются противоположными, если ρ(a,b)= n .

3.Множество всех вершин гиперкуба {0,1}n , имеющих вес k , называется k -м слоем этого гиперкуба.

4.Выберем k (k < n) координат вершин гиперкуба {0,1}n с номера-

ми i1, i2 , ..., ik и выпишем все вершины этого гиперкуба, у которых выбранные (фиксированные) координаты совпадают. Полученное подмно-

жество вершин называется гранью гиперкуба {0,1}n ранга k и размерно-

стью n −k , т. е. {a {0,1}n : Прi1,i2 ,...,ik a = (β1, β2 , ..., βk )} – грань ранга k и размерностью n −k .

5. Два ребра гиперкуба называются смежными, если они имеют общую вершину, а упорядоченная последовательность попарно смежных ребер называется цепью гиперкуба. Такую цепь проще задавать упорядоченной последовательностью попарно смежных соседних вершин, например, (a, b, с, ..., s) – цепь, связывающая вершины a и s , где {a,b}, {b, c}, ...,{r, s}

– попарно смежные ребра.

Гиперкуб и его подмножества можно изобразить на плоском чертеже, где вершины будут изображаться точками, а ребра – отрезками, соединяющими точки, которым соответствуют смежные вершины.

Грань гиперкуба можно задавать троичным вектором, координаты которого могут принимать только три значения: 0, 1, Х, где Х – знак того, что данная координата не фиксирована и может принимать произвольное значение – либо нуль, либо единицу. Например, троичный вектор (Х, Х,

1) =ХХ1={001, 011,101,111}. Это есть верхняя грань куба {0,1}3

(рис. 1.16, в). В данном векторе фиксирована только одна координата (третья – в состоянии 1). Следовательно, эта грань имеет ранг 1 (k =1) и размерность 2 (две нефиксированные координаты в троичном векторе).

38

а – n =1; б – n =2; в – n =3; г – n =4

Замечание 1. Вершину гиперкуба еще называют двоичным (или булевым) вектором, т. к. каждая из ее координат может принимать лишь два значения: 0 или 1. У вершины все координаты определены (фиксированы), т. е. для нее k = n . Поэтому можно утверждать, что грань ранга n (нуле-

вой размерности) есть вершина гиперкуба {0,1}n . Иначе говоря, двоичный

вектор – это частный случай троичного.

Замечание 2. Очевидно грань ранга n −1 (размерности 1) есть ребро гиперкуба {0,1}n . Грани размерности 2 суть единичные квадраты, например, ХХ0, 1ХХ1, 0Х1Х и т. д. Грань размерности m будет уже единичным гиперкубом той же размерности, т. е. множеством {0,1}m , а грань размерности n будет содержать в себе вершины всего гиперкуба. Следовательно, справедливы равенства ХХХ={0,1}3 , ХХХХХ={0,1}5 и т. д.

Пример 11. Найти пересечение двух граней Х11Х и 0Х1Х.

Решение. Определим вершины грани Х11Х={0110, 0111,1110,1111},

аналогично 0Х1Х={0010, 0011, 0110, 0111}. Тогда Х11Х ∩0Х1Х = ={0110, 0111,1110,1111}∩{0010, 0011, 0110, 0111}={0110,0111}, т. е.

39

в пересечении этих граней имеем (общее) ребро, т. к. ρ(0110, 0111)=1. Данное ребро представим троичным вектором 011Х={0110,0111}. Таким образом, получили равенство Х11Х ∩0Х1Х = 011Х .

Пример 12. Найти объединение третьего слоя гиперкуба {0,1}4 с пе-

ресечением граней Х11Х и 0Х0Х.

Решение. Третий слой образуют вершины с весом 3, т. е. это будет множество {0111,1011,1101,1110}.

Вершины грани Х11Х={0110, 0111,1110,1111}. Ее следуют пересечь с

ства не имеют ни одного общего элемента. Тогда искомое множество бу-

дет {0111,1011,1101,1110} ={0111,1011,1101,1110}.

Замечание. Из примера 11 следует, что операцию пересечения двух граней, результат выполнения которой в общем случае дает снова грань, можно осуществлять в терминах языка троичных векторов по достаточно простому правилу. Пусть α1α2...αn ∩β1β2...βn = γ1γ2...γn . Тогда

иребер.

2.Выполните операции над троичными векторами:

а) Х10Х ∩ ХХ 00, б) 1ХХХ 0ХХХ , в) X1X1 X1X 0, г) Х 0Х 0 ∩(ХХ10 ХХ 00).

40