УДК 510.22(075) ББК 22.12я73

Ч-45

Рецензенты:

В. А. Мещеряков, д-р техн. наук, профессор; В. В. Сервах, д-р физ.-мат. наук

Червенчук, И. В. Математические основания информатики : учеб. пособие /

И. В. Червенчук, В. Д. Червенчук, А. С. Грицай ; Минобрнауки России, Ом. гос.

техн. ун-т. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2023. – 1 CD-ROM (0,87 Мб). – Систем. требования: процессор с частотой 800 МГц и выше ; 128 Мб RAM и более ; свободное место на жестком диске 300 Мб и более ; Linux / Windows XP и выше ; MacOS X 10.4 и выше ; CD/DVD-ROM-дисковод ; ПО для просмотра pdf- и mp4-файлов. – Загл. с титул.

экрана. – ISBN 978-5-8149-3645-5.

Рассмотрены основы дискретной математики и языка логики предикатов на базе теоретико-множественной концепции с учетом современных требований, предъявляемых к изучению математических дисциплин в высшей школе.

Предназначено для обучающихся по направлению 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника».

Редактор Т. А. Москвитина

Компьютерная верстка О. Г. Белименко

Для дизайна этикетки использованы материалы из открытых интернет-источников

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Базовым понятием математики является «множество», на нем и возводится все «здание» теоретических построений фундаментальной и прикладной математики, лежащее в основе информатики.

Математика делится на непрерывную и дискретную. Главным разделом непрерывной математики является «Математический анализ». В нем изучаются математические объекты, построенные на множестве действительных чисел R . Данное множество обладает свойством непрерывности, его еще называют континуумом. Это чистая абстракция.

Действительное число можно делить пополам бесконечно долго. При этом число будет уменьшаться и стремиться к нулю. При делении пополам бесконечно долго отрезка прямой он будет уменьшаться, постепенно превращаясь в точку. Но можно ли делить пополам бесконечно долго реальный объект?

Согласно древнегреческому философу Демокриту, все вещества состоят из неделимых частиц (атомов), между которыми находится пустота. Поэтому при делении пополам любого реального объекта рано или поздно можно придти к неделимой частице, и дальнейшее деление пополам станет невозможным. Множество таких неделимых частиц, между которыми имеют место пустоты, называют дискретным множеством. Оно в отличие от множества R уже не будет непрерывным.

Но, согласно другому древнегреческому философу Аристотелю, в мире нет пустоты, т. е. между частицами должна быть какая-то материальная среда – эфир. Эта точка зрения приводит физиков к иным представлениям о реальном мире, где частицы не твердые шарики, между которыми пустота, а колебания, вибрации с различными частотами различных участков материального эфира. И эти вибрации, распространяясь в эфире, создают иллюзию движения частиц.

Для современной математики также имеет место подобный дуализм. Дискретная математика описывает мир по Демокриту, а непрерывная – по

4

Аристотелю. И вопрос о том, в каком мире мы живём: в дискретном или континууме, остаётся пока открытым. Физическое пространство – это континуум, представленный множеством R3 . На вопрос, является ли оно эфиром или пустотой, пока нет однозначного ответа.

Виртуальная же реальность порождается в ином пространстве, представленном дискретным множеством {0,1}n . Это так называемый единичный n-мерный гиперкуб – математическая модель памяти компьютера объёмом n битов (или n / 23 байтов, или n / 213 килобайтов, или n / 223 мегабайтов, или n / 233 гигабайтов). Реальные процессы можно исследовать непосредственно в пространстве R3 или в виртуальной реальности, переводя их в пространство {0,1}n . И в том, и в другом случае будут получаться правильные результаты, но только при условии, что математическая модель реального процесса адекватна оригиналу.

Дискретная математика имеет дело с дискретными множествами. С появлением компьютеров она стала развиваться особенно бурно. Ибо сам компьютер – это устройство с дискретным принципом действия. Такое устройство может выполнять конечный набор действий (систему команд) и работает оно в дискретном времени.

Время здесь меняется не непрерывно, а дискретно – по тактам. На каждом такте работы выполняется какая-то одна команда из системы команд. Такой такт называют шагом. Работа компьютера состоит из последовательности таких шагов.

Подавляющая часть окружающего нас мира может быть описана дискретными множествами, а эти описания (математические модели), таким образом, будут являться предметом исследования дискретной математики.

Дискретен не только окружающий нас мир, но и средства его описания – языки. Естественные и искусственные языки, их грамматики в конечном виде представляют собой различные дискретные множества. И это означает, что дискретная математика сегодня с успехом применяется не

5

только в области естествознания, но и вторгается в логико-языковую сферу, становится там неотъемлемым инструментом научных исследований.

Дискретная математика имеет различные приложения. Её фундаментом является теоретико-множественная концепция, т. е. её базовые понятия строятся на основе строгих математических определений, которые обеспечивают вывод любого математического понятия из понятия «множество».

Дискретная математика нашла широкое применение в программировании и моделировании реальных процессов. С помощью средств компьютерной техники эти модели могут «оживляться», и мы можем наблюдать развитие изучаемых нами процессов в виртуальной реальности. С такими моделями можно экспериментировать, ничем не рискуя. Ошибки (неверные действия) экспериментатора здесь не влекут за собой каких-либо тяжелых последствий (порчи дорогостоящих лабораторных экспонатов, приборов, оборудования). В случае ошибки достаточно лишь перезапустить программу-симулятор. Дискретная математика в настоящее время – один из наиболее эффективных инструментов научного исследования и познания реального мира. И это несмотря на то, что такое познание зачастую может осуществляться в виртуальной реальности. Главным критерием правильности полученных здесь результатов является условие адекватности исследуемого процесса его математической модели.

Дискретная математика, являясь основой современной информатики, используется не только в естествознании. Отдельные ее разделы нашли применение и в гуманитарной сфере. Знание ее основ необходимо сегодня любому образованному человеку.

6

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИМНОЖЕСТВ

Множество есть многое, мыслимое нами как единое.

Георг Кантор

В конце XIX столетия в Европе возникает философское мировоззрение, именуемое математическим платонизмом. Оно основано на взглядах древнегреческого философа Платона (427–347 гг. до н. э.). Он утверждал: «Чувственно воспринимаемые объекты есть лишь бледные копии идей (эйдосов), существующих в некотором идеальном мире… Бытие идей более реально, чем бытие обычных вещей в р еальном мире, т. к. последние имеют дефекты и изъяны, со временем разрушаются и исчезают. Идеи же носят вневременной характер, совершенны и вечны».

Один из сторонников математического платонизма английский математик и логик Бертран Рассел (1872–1970) писал: «Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину… Геометрия имеет дело с точными окружностями, но не один чувственный объект не является точно круглым…. Всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противоречащим чувственному объекту. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия»1.

Математических объектов (эйдосов), открытых учеными, за время научного познания реального мира накопилось достаточно много. Одни из них более абстрактны (соответствуют более широкому понятию), другие – наоборот, более конкретны. Менее абстрактные объекты можно определить с помощью так называемых математических определений через более широкие понятия. Например, прямоугольник – это четырехугольник,

укоторого все углы прямые, или квадрат – это прямоугольник, у которого

1Отсюда и понятие «платоническая любовь» – противоположность сексу. Разум, по мнению Платона, благороднее чувств (в том числе и шестого чувства – так переводится на русский слово «секс»).

7

все стороны равны. Здесь более конкретный объект – квадрат – определился через более абстрактный – прямоугольник, а тот в свою очередь был определен через еще более широкое понятие – четырехугольник.

Видимо самые абстрактные объекты (такие, для определения которых нет более широких понятий) не имеют математических определений. О таких объектах говорят, что они существуют сами по себе. Их можно только открыть, познать, но не определить.

Вера в то, что математические объекты реальнее объектов чувственного восприятия, подвигла математиков точно установить, какие понятия в их науке «существуют сами по себе», и они отправились на поиски изначальных эйдосов, через которые определяется все многообразие математических объектов. Оказалось, что таких эйдосов немного – всего один. Этим самым общим математическим понятием стало множество.

Завершающим шагом математического платонизма стало формирование понятия множества вообще, т. е. не множества чего-то конкретного (например, множества студентов данной аудитории, аудиторий данного учебного корпуса или учебных корпусов данного вуза), а множества неважно чего – множества элементов произвольной природы. С этого момента начинается эпоха теоретико-множественной математики2.

В этой главе рассмотрим мир математических объектов. Будем считать познанными (открытыми) только те математические объекты, которые имеют строгое математическое определение. Каждое такое определение, в котором по правилам математики можно использовать лишь те понятия, которые ранее уже были определены, как раз и будет открытием нового математического объекта. В самом начале этого путешествия нас ждет «открытие» самого что ни на есть изначального математического понятия – множества вообще.

2 Георг Кантор (1845–1916) – немецкий математик, одним из первых придал форму законченной теории этой новой теоретико-множественной концепции. Он изучил свойства абстрактных множеств и на их основе осуществил классификацию математических объектов.

8