Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тамбовский государственный технический университет»

Н. П. ПУЧКОВ, Т. В. ЖУКОВСКАЯ, А. В. ЩЕРБАКОВА, Е. А. МОЛОКАНОВА, Д. Н. ПРОТАСОВ

МАТЕМАТИКА

ВХОДНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ПЕРВОКУРСНИКОВ

Утверждено Учёным советом университета

вкачестве учебного пособия для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

Учебное электронное издание комплексного распространения

Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

2015

1

УДК 372.851:51(075.8)

ББК В11я73

М34

Рецензенты:

Доктор педагогических наук, профессор, профессор кафедры менеджмента ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

Е. А. Ракитина

Кандидат физико-математических наук, заведующая кафедрой алгебры и геометрии ФГБОУ ВПО «ТГУ им. Г. Р. Державина»

Ю. Г. Фомичева

Авторский коллектив:

Н. П. Пучков, Т. В. Жуковская, А. В. Щербакова, Е. А. Молоканова, Д. Н. Протасов

М34 Математика: входное тестирование первокурсников : учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей / Н. П. Пучков и др. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2015. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Системные требования : ПК не ниже класса Pentium II ; CD-ROM-дисковод

26,5 Mb RAM ; Windows 95/98/XP ; мышь. – Загл. с экрана. ISBN 978-5-8265-1429-0

Рассматриваются программные вопросы школьного курса математики, наиболее существенные для дальнейшего освоения курса высшей математики технического вуза.

Предназначено для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей в качестве вспомогательного материала.

УДК 372.851:51(075.8)

ББК В11я73

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.

Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

2

ОБОЗНАЧЕНИЯ

N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел; Rr– множество действительных чисел; а – вектор;

AB – вектор, отображающий точку А в точку В; аr – длина вектора;

D(f ) – область определения функции f (x); E(f ) – множество значений функции f (x);

[а;b ] – замкнутый промежуток (отрезок) с началом а и концом b,

а < b ;

(а;b ) – открытый промежуток (интервал) с началом а и концом b,

а < b ;

[а;b ), (а;b ] – полуоткрытые промежутки с началом а и концом b,

а< b ;

– знак следования;

– знак равносильности;

– знак принадлежности;

а N – число а принадлежит множеству N, т.е. а является натуральным числом;

U– знак объединения множеств;

АU В – объединение множеств А и В.

4

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ

Если вспоминать школьный курс математики, то большинство вычислений связано с действиями над десятичными дробями, на что настроено и использование калькуляторов. В то же время определённые задачи требуют действий с обыкновенными дробями, изученными

вмладших классах школы и не получившими достаточного закрепления

встарших. Это обстоятельство является причиной многочисленных непростительных ошибок при изучении математики в вузе, поэтому, приступая изучать вузовский курс, необходимо вспомнить обыкновенные дроби. Соответствующий материал излагается здесь не совсем так, как это

делалось в школе; учитывается, например, то, что обучаемый знаком с алгеброй, с буквенными выражениями, с методами решения простейших уравнений. Такой ретровзгляд на арифметику способствует выработке единого взгляда на математику вообще. Поэтому излагаемый ниже материал полезно изучить и тем студентам, которые безошибочно осуществляют действия с обыкновенными дробями.

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Дроби – числа, составленные из целого числа долей единицы. Дроби изображаются символом mn , где m – числитель дроби – показывает число

взятых долей единицы, разделенной на столько долей, сколько показывает (знаменует) знаменатель n. Дробь можно рассматривать как частное от деления одного целого числа (m) на другое (n).

Если m делится нацело на n, то частное mn обозначает целое число (например, 63 = 2 , 1133 = 3 ). В случае когда это не так (например, 73 , 1220 ),

частное mn называют дробным числом.

Дробь можно воспринимать как результат дробления на равные части числителя. Например:

14 – единица разделена на 4 равные части; 1735 – число семнадцать разделено на 35 частей; 1660 – число 60 разделено на 16 частей.

5

Различают правильные (когда числитель меньше знаменателя) и

неправильные (в противном случае) дробные числа. Например: 14 , 1735 –

правильные дроби, а 1220 , 607 – неправильные дроби.

Такая терминология сложилась, видимо, по той причине, что говоря о раздроблении целого, считалось, что каждый результат раздробления (доля) меньше целого (единицы) и раздробление правильное.

Когда же результат дробления (доля) больше целого (например, 1220 ),

то раздробление как бы неправильное.

Неправильная дробь может быть представлена в виде суммы целого числа и правильной дроби. Эта сумма называется смешанным числом. Для его получения надо числитель неправильной дроби разделить (с остатком) на знаменатель.

Например,

умножения обязателен.

Представление неправильной дроби в виде, где выделена целая часть, считается более предпочтительным, так как более очевидна её величина. Неправильные дроби используются в основном в промежуточных действиях с дробными числами.

Дроби с различными числителями и знаменателями могут быть равными. Условием равенства может быть основное свойство пропорции:

m1 n2 = n1 m2 ».

Например: 52 = 156 , так как 2 15 =5 6 .

В то же время это равенство можно записать в виде: 52 = 52 33 . Дробь

справа содержит в числителе и знаменателе один и тот же множитель – число 3. Здесь продемонстрировано важное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить, если делится нацело) на одно и то же целое число, не равное нулю, то дробь не изменится.

6

Если в нашем примере числитель и знаменатель левой дроби умножить на число 3, то получим правую дробь; это действие называют расширением (левой) дроби. Если же разделим числитель и знаменатель правой дроби на число 3, то получим левую дробь; это действие называют сокращением (правой) дроби.

Очевидно, что существуют несократимые дроби; они наиболее удобны, из всех им равных, для восприятия.

Например, две дроби 73 и 20387 равны между собой, так как 3 203 = 7 87 , но первая дробь воспринимается проще, понятнее: взято три доли из семи, образующих целое.

Поэтому, представив 20387 как 73 2929 и сократив на 29, мы получим

73 (уже несократимую дробь).

Действия расширения и сокращения дробей используются при: сравнении различных дробей, выполнении действий сложения и вычитания дробей.

Сравнение дробей.

Правило: Если две дроби имеют одинаковые знаменатели,

то та из них больше, числитель у которой больше. Например: 52 < 53 .

Поэтому, чтобы выполнить сравнение дробей надо добиться равенства их знаменателей, используя действие расширения дробей. Пусть, на-

пример, сравнивают ba и dc . Общим (одинаковым) знаменателем может

чим результат сравнения дробей.

На практике целесообразно брать наименьшее общее кратное (НОК) чисел b и d. Это упрощает вычисления.

7

В тех случаях, когда числители у дробей равные, необязательно их приводить к общему знаменателю, так как очевидно (из определения обыкновеннойдроби), чтоизэтихдвухдробейтабольше, знаменателькоторойменьше:

52 > 72 ; 173 > 174 и т.п.

Сложение дробей.

1. Если дроби имеют одинаковые знаменатели, то достаточно сложить их числители, оставив общий знаменатель. Например:

113 +117 = 1011 ; 113 +1311 = 1611 =1+115 =1115 .

2. Если знаменатели различны, то, используя правило расширения дробей, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Например:

73 + 52 = 73 55 + 27 75 = 1535+14 = 3529 .

3. При сложении смешанных чисел можно сложить отдельно их целые части и дробные; если новая дробная часть – неправильная дробь, то из неё следует выделить целую часть. Например:

Естественно, такую подробную запись делать необязательно, так как некоторые промежуточные действия можно производить «в уме» – устно.

В принципе устно такой алгоритм получения результата присутствует и при обращении смешанной дроби в неправильную. Например:

3 72 = 3 + 72 = 377 + 72 = 237 .

Правильный результат сложения смешанных дробей будет и в том случае, когда Вы их предварительно обратите в неправильные (если Вам так покажется удобным). Например:

1 56 +3 34 = 116 +154 = 2212+ 45 = 1267 = 5127 .

Вычитание дробей.

1. Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то при вычитании достаточно найти разность их числителей (оставив тот же знаменатель). Например:

117 −113 = 711−3 = 114 ; 113 −1511 = 311−15 = −1211 = −1111 .

2. Если знаменатели у дробей различные, то, опять же, используя правило расширения дробей, надо привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Например:

8

73 − 52 = 73 55 − 52 77 = 1535−14 = 351 ; 34 −1211 = 3 312−11 = −122 = − 16 .

3.Если находят разность смешанных чисел, то можно их обратить

внеправильные и вычитать так, как рассмотрено в предыдущем пункте. Например:

3 34 −1 56 = 154 −116 = 4512−22 = 1223 =11211 .

Видно, что здесь вычитание целых частей не получилось и вот почему. Запишем разность по-другому:

3 34 −156 = 3 + 43 − 1+ 56 = (3 −1) + 34 − 56 = 2 + 912−10 = 2 −121 .

В то время, когда разность целых частей получилась положительной, разность дробных – отрицательной и в результате имеем уже не смешанное число, а новую разность – целого числа и дробного.

Вычитая 2 −121 = 21212 −121 = 1223 =11211 , получим тот же результат.

Умножение дробей.

Правило: чтобы перемножить две дроби, достаточно отдельно перемножить их числители и знаменатели. Например:

52 34 = 52 43 = 103 ; 76 214 = 67 214 = 92 = 4 12 .

Если умножается целое число на дробь, то, считая, что у целого знаменатель равен единице, у произведения числитель изменится в соответствующее число раз. Например:

8 43 = 81 43 = 244 = 6 .

С таким действием сопряжена задача «нахождения дроби от данного числа». В рассмотренном случае можно сказать, что число 6 составляет

9

Правило. Чтобы число (целое или дробное) разделить на дробь, необходимо это число умножить на обратную дробь.

153 : 1225 = 153 1225 = 153 2512 = 125 .

Смешанные числа также можно делить (одно на другое), обратив их предварительно в неправильные дроби. Например:

3 34 :1 56 = 154 : 116 = 154 116 = 152 113 = 2245 = 2 221 .

С операцией деления связана задача нахождения числа по его части

(дроби). Например, известно, что 34 числа равно 5 14 . Чему равно само

Правило: чтобы найти число по его части (дроби), надо это число разделить на эту дробь.

Проценты. Во многих расчётах части принято выражать в процентах. Процент – это дробь одна сотая (1/100 или 0,01), сотая доля целого (принимаемого за единицу), обозначается (%). Это практически удобно, так как выражение частей чисел в одних и тех же (сотых) долях позволяет быстро сравнивать величины частей числа со всем числом и между собой.

При изучении обыкновенных дробей для их сравнения, выполнения арифметических действий приходится приводить дроби к одному знаменателю, так вот оперируя процентами, мы мысленно приводим дроби к знаменателю 100.

Сотую часть числа называют процентом этого числа. Например, 19% от 3 метров – это доля девятнадцати сотых (19/100 или 0,19), поэтому для нахождения 19% от 3 надо выполнить действие 3 0,19 = 0,57 (м) = 57 см.

А вообще говоря, чтобы найти проценты от числа, надо это число умножить на количество процентов.

Для обратной задачи: чтобы найти число по его процентам, надо это число разделить на количество процентов.

Например, 75% некоторого числа равны 6. Само число будет равно

6 : 0,75 = 6 : 10075 = 6 75100 = 8 .

10