Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Таблица 8.1

№Дифференцирование

п/п функций

1	С′ = 0,	С = const

	(xα )′ = α xα−1,
2	(x)′ =1, ( x )′			=	1		,

		′		2		x
	1			1
		= −
				x2
	x
3	(ax )′ = ax ln a,			(ex )′ = ex
	(loga	x)′ =		1		,
4			x ln a

	(ln x)′ = 1x

5(sin x)′ = cos x

6(cos x)′ = −sin x

№Дифференцирование

п/п

функций

′

(tg x)

cos2 x

′

(ctg x)

= −

sin2 x

(arcsin x)′ =

1− x2

(arccos x)′ = −

1− x2

′

(arctg x)

1+ x2

′

(arcctg x)

= −

1+ x2

Если функции f (x) и g(х) дифференцируемы в точке х, то сумма

(разность), произведение и частное этих функций (частное при условии g(x) ≠ 0) также дифференцируемы в этой точке, причём справедливы формулы, приведённые в табл. 8.2.

Таблица 8.2

№Правила

п/п дифференцирования

1				′	′	′
		(f (x) ± g(x)) =			f (x) ± g (x)
2			′	′		′
	(f (x)g(x))			= f (x)	g(x) + f (x)g (x)
3		f (x) ′		f (x)′g(x) − f (x)g(x)′
			=
			=		g 2 (x)
		g(x)			g 2 (x)

№Правила

п/п дифференцирования

4			′				′
	(kf (x))			= kf (x)
		f (x)	′		1
5		f (x)	′	=	1		f	′
5								′
		k			k			(x)
		k			k
		k	′			kf		′
6				= −
6				= −			f	2 (x)
		f (x)					f	2 (x)

Если функция сложная: y = f (ϕ(x)) , то её производная находится по

формуле
(f (ϕ(x)))′ = f ′(ϕ(x))ϕ′(x) .	(8.2)
В частности, производная функции y = f (kx +m)	будет равна
(f (kx +m))′ = kf ′(kx +m) .

Применение производной к исследованию функций.

Использование производной позволяет исследовать функцию на монотонность (монотонной функцией называется возрастающая или убывающая функция). Если дифференцируемая на данном промежутке функция имеет положительную производную, то функция возрастает на этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает на этом промежутке.

Чтобы исследовать функцию на монотонность, находят производную

функции и определяют промежутки, в которых		′	и	′
		f (x) > 0		f (x) < 0 ,
а функция возрастает и убывает соответственно.
	Точка x1 называется точкой мак-
	симума функции	y = f (х) , если в неко-
	торой окрестности точки x1, за исключе-
	нием самой точки x1, выполняется нера-
	венство f (x)< f (x1 ) (рис. 8.3); точка х2
	называется точкой минимума функции
	y = f (х) , если в некоторой окрестно-
	сти точки x2, за исключением самой
	точки x2, выполняется		неравенство
Рис. 8.3	f (x)> f (x2 ) (см. рис. 8.3).

Исследование функции на экстремум производится по следующей схеме:

–найти область определения функции y = f (х) ;

–найти производную функции y′ = f ′(х) ;

–найти точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует, проверить принадлежность этих точек области определения функции;

–исследовать знак производной в окрестности этих точек и сделать вывод о наличии экстремума;

–найти экстремум функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть дана функция y = f (х), непрерывная на отрезке [а; b]. Непре-

рывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и в точках экстремума.

С учётом этих положений предлагается следующая схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

–находим производную y′ = f ′(х) ;

–находим точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует;

–проверяем принадлежность этих точек отрезку [а; b];

–находим значения функции в точках, удовлетворяющих условию 2,

атакже f (а) и f (b);

–из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее (yнаиб

и yнаим).

8.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Найдите производные следующих функций:

а)	у = 3cos x + 2х ;	б)	у = ln x (x3 −2x); в)	у =	tg x	;
а)	у = 3cos x + 2х ;	б)	у = ln x (x3 −2x); в)	у =	x	;
					x
г)	у = e2x+1 ;	д)	у = cos(5 − x)(3x +4).

Решение:

а) используя формулы 3 и 6 табл. 8.1, 1 и 4 табл. 8.2, получим

у′ = (3cos x)′ +(2х )′ = 3sin x + 2x ln 2 ;

б) используя формулы 2 и 4 табл. 8.1, 2 и 4 табл. 8.2, получим

′

′ 1

= (ln x)

(x −2x)+ln x (x

−2x) = x (x

−2x)+ln x (3x −2);

в) используя формулы 2 и 7 табл. 8.1, 3 табл. 8.2, получим

(tgx)′

x −tgx (

x )′

x − tgx

y′ =

cos2

2 x

;

( x )2

г) используя формулу (8.2), получим

у′ = e2x+1(2х+1)′ = 2e2x+1 ;

д) используя формулу 2 табл. 8.2 и формулу (8.2), получим y′ = cos′(5 − x)(3x +4)+cos(5 − x)(3x + 4)′ =

=−1 (−sin(5 − x))(3x + 4)+cos(5 − x) 3 =

=sin(5 − x)(3x +4)+3cos(5 − x).

2.На рисунке 8.4 изображён график производной функции f (x) , определённой на интервале (−5; 4). Найдите количество точек, в которых

касательная к графику функции параллельна прямой y = 2x −3 или сов-

падает с ней.

Решение. Так как касательная параллельна прямой y = 2x −3 , то их угловые коэффициенты равны: kкас = kпр . Из уравнения прямой находим её угловой коэффициент kпр = 2 , тогда и kкас = 2 . Исходя из геометрического смысла производной, имеем: kкас = f ′(x0 ), поэтому значение производной в точке x0 равно 2. По графику определяем те точки, в которых

значение производной равно 2. Для этого мысленно проводим горизонтальную прямую у = 2 и находим точки её пересечения с графиком про-

изводной у = f ′(x). Количество таких точек равно 2.

Ответ: 2.

3. Прямая y = −2x +3 параллельна касательной к графику функции

y = x2 + 7x −3 . Найти абсциссу точки касания.

Решение. По условию касательная параллельна прямой y = −2x +3 , поэтому их угловые коэффициенты равны: kкас = kпр . Угловой коэффициент прямой kпр = −2 , а угловой коэффициент касательной kкас = f ′(x0 ),

где x0 – абсцисса точки касания, а y = x2 +7x −3 .

Рис. 8.4

Таким образом, значение x0 найдём из уравнения f ′(x0 )= −2 . Нахо-

дим	′	):	′	. Составляем уравнение 2x0	+7 = −2 , откуда
	f (x		f (x)= 2x +7

x0 = −4,5 . Ответ: –4,5.

4. Найдите наибольшее значение функции у = x3 −6x2 +9 на отрезке

[−2; 2].

Решение. Воспользуемся схемой, предложенной в п. 8.1:

–находим производную функции у′=3х2 −12x ;

–находим точки, в которых производная функции обращается в ноль, для этого решим уравнение у′ = 0 , т.е.

3х2 −12x = 0 3x(x −4)= 0 х = 0 или х = 4 ;

– значение х = 0 принадлежит отрезку [−2; 2];

– поэтому находим значения функции у = x3 −6x2 +9 на концах отрезка и в точке х = 0 :

y(−2)= (−2)3 −6 (−2)2 +9 = −8 −24 +9 = −23; y(2) = 23 −6 22 +9 =8 − 24 +9 = −7;

y(0) = 9 ;

– из полученных значений выбираем наибольшее: 9.

Ответ: 9.

8.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

8.1. Найдите производные следующих функций:
а)	у = 2sin(x +1)−5х ;			б)	у = e2x (x2 +5x −1);
в)	у =	ln x	;	г)	у = ctg(5x −2);

		x x
д)	у = (4 − x)arcsin x .

8.2. На рисунке 8.5 изображён график производной функции f (x) , определенной на интервале (−6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = −3 или совпадает с ней.

Рис. 8.5

8.3. Прямая y = 3x − 2 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 4x −5 . Найдите абсциссу точки касания.

8.4. Прямая у = 8х−28 параллельна касательной к графику функции

y =3x2 +8x −2 . Найдите абсциссу точки касания.
8.5. Найдите наименьшее значение функции	y = x3 +6x2 +9x	на
отрезке [−4; 0].
8.6. Найдите наименьшее значение функции	y = x4 −2x2 +3	на
отрезке [−4; 3].

9. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

9.1. Расположить следующие дроби в порядке возрастания:

9.1.1. 54 , 23 , 109 , 89 .

Варианты ответов:

а) 54 , 23 , 89 , 109 ; б) 23 , 54 , 89 , 109 ; в) 23 , 54 , 109 , 89 ; г) 23 , 89 , 54 , 109 .

9.1.2. 73 , 15 , 1511 , 5955 .

Варианты ответов:

а) 15 , 73 ,1511 , 5955 ; б) 15 , 1511 , 73 , 5955 ; в) 15 , 1511 , 5955 , 73 ; г) 1511 , 15 , 5955 , 73 .

																							1				2
9.2.1. Значение выражения 1																									+				0,24			равно
9.2.1. Значение выражения 1																							2		+		3		0,24			равно
Варианты ответов:																							2				3
Варианты ответов:
а) 0,52;						б) 5;						в) 2,6;								г) 2,5.
																					5					7					23		9
9.2.2. Значение выражения																								+						3		−2		равно
9.2.2. Значение выражения																								+		12				3	58	−2	58	равно
Варианты ответов:																					8					12					58		58
Варианты ответов:
а)	3	;		б)			−	3		;			в) −				2			;	г)			2	.
2								2									3							3
9.3. Вычислить:
9.3.1.				3				1					2				3				5					1
			2			: 1				−				+						+		: 3
			2	4		: 1		2		−				+			4			+		: 3				6
				4				2					5				4				6					6
Варианты ответов:
а) 3 ;			б) −3 ;								в)			1	;				г)		− 1 .
														3							3
9.3.2.					4		−4		3					3	−		34
			15									1
			15		7				8			1		7
					7				8					7			35
Варианты ответов:
а)	4	;		б) 13 ;								в)		13		4		;			г)	−13					4	.
а)	4	;		б) 13 ;								в)		13				;			г)	−13						.
7																7											7

9.4.1. Даны три числа. Первое составляет 60% от второго, второе – 50% от третьего. Сумма чисел равна 72. Найти эти числа.

Варианты ответов:
а) 12, 20, 40; б) 11, 3, 5; в) 45, 23,13;	г) 23, 25, 56.
9.4.2. Цена товара сначала была снижена на 20%, затем новая цена
снижена на 15%, наконец было сделано	последнее снижение на 5%.
В итоге, на сколько была снижена цена?

Варианты ответов:

а) 90%; б) 35,4%; в) 64,6%; г) 40%.

9.4.3. В библиотеке есть книги на английском, немецком и французском языках. Английские книги составляют 30% от всех книг, французские – 70% от английских, остальные 294 книги – немецкие. Сколько книг в библиотеке?

Варианты ответов:

а) 420; б) 306; в) 600; г) 180.

9.5. Выполните действия:

9.5.1. 5a17 a−2 −(2a5 )3 , а ≠ 0 .

Варианты ответов:

а) 3a15 ; б) 5a17 ; в) 13a5 ; г) −3a15 .

9.5.2. 9a9a3 −(3a6 )2 , а ≠ 0 .

Варианты ответов:

а) 9a7 ; б) 5a12 ; в) 0; г) a12 .

9.6. Найдите значения выражений:

9.6.1.	х7 х−9	при х = −2 .
	х−5

Варианты ответов:

а) 4; б) –8; в) 2; г) –2.

9.6.2.5(m2 )6 −(2m4 )3 . (m6 )2 + 2(m3 )4

Варианты ответов:

а) 2m12 ; б) 1; в) –1; г) m12 .

9.7. Выполните действия:

9.7.1. 4a1/ 2 − (2a1 / 4 )2 , а > 0 .

Варианты ответов:

а) 2a0,5 ; б) 0; в) 4а ; г) a2 .

9.7.2. 16n4,5 (0,5n−1,5 )3 ,

n >0.

Варианты ответов:

а) 2; б) 4n3 ; в) 8n ; г) 2.

9.8. Найдите значения выражений:

9.8.1.

4 b3 (3

b )3

, b > 0 .

4 81b9

9.8.2.

9 − 4

5 (

5 + 2).

9.8.3.

8 + 2

7 −

8 −2 7 .

9.9. Разложите на множители:

9.9.1. х2 + 2ху −3х − 6 у .

Варианты ответов:

а) (х+3)(х+2у) ;

б) (х−3)(х−2у) ;

в)

(х−6)(х+ у) ;

г)

(х−3)(х+2у) .

9.9.2. х3 −ах2 −3х−3а .

Варианты ответов:

а)

(х−3)(х2 −а) ;

б) (х−

3)(х+

3)(х−а) ;

в)

(х−3)(х+1)(х−а) ;

г) (х−3)(х2 + а) .

(a +5)2

+5)2 −5a

−125

9.10. Упростите выражение

−4

Варианты ответов:

а)

2 +5

;

б)

а2 +6а

;

в)

а−5

;

г)

а2

+6а+25

а(а−5)

а−5

а+5

2а(а−5)

9.11. Решите уравнения:

9.11.1.5х4+ 2 = 2х3+5 .

9.11.2.4х3−3 = 17 .

9.11.3.2х3+1 = 2 − 3х4+1 .

9.12. Решите уравнение (выберите несколько правильных ответов):

9.12.1.2х2 +5х−7 =0 .

Варианты ответов:

а) 0; б) 1; в) –1; г) 2; д) –3,5.

9.12.2.2х3 −7х2 +5х =0 .

Варианты ответов:

а) 0; б) 1; в) 2,5; г) 3; д) 4,5.

9.13. Разложите многочлен на простейшие множители

(2у −3)(у +3)+ 2(у +1).

Варианты ответов:

а) (2у+7)(у−1);

б) (2у−7)(у+1);

в) (2у−7)(у+1);

г) (2у+7)(у+1).

9.14. Сократите дробь:

х2

+2х−3

3х2 + х−

Варианты ответов:

а)

х−3

;

б)

х+3

; в)

х−3

;

г)

х+3

3х−4

6х−4

3х+4

9.15. Решите систему линейных уравнений:

9.15.1.х+2у =5,3х− у =1.

Варианты ответов:

а) (1, 2); б) (2, –1); в) (3, 2); г) (–1, 2).

9.15.2.5х−3у =13,

х+ 4у = −2.

Варианты ответов:

а) (1, 2); б) (2, –1); в) (3, 2); г) (–1, 2).

9.16. Если (x0 , y0 ) – решение системы линейных уравнений:

9.16.1. x +3y =5,	найдите x0 − y0 .
x + 2y =1,

x − y = 4,

9.16.2.2x + y =5, найдите x0 y0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]