Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

D = 9 +16 = 25 = 52 ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Рис. 7.15

Областью определения тангенса является множество всех действительных чисел, кроме x = π2 + πn , где n Z ; а котангенса – множество

всех действительных чисел, кроме x = πx , где n Z . Множества значений тангенса и котангенса – вся числовая ось, эти функции являются неограниченными.

6. Обратные тригонометрические функции у = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x . Графики функций приведены на рис. 7.16 – 7.19.

Рис. 7.16

Рис. 7.17

Рис. 7.18	Рис. 7.19
Арксинусом называется функция у = arcsin x . Её область определе-
ния: D(f )= [−1; 1]; множество	значений: E(f )=[−π 2,π 2].	Функция
нечётная: arcsin(−x)= −arcsin x .	Арккосинусом называется	функция

y = arccos x . Её область определения: D(f )=[−1;1]; множество значений: E(f )=[0, π]. Функция общего вида: arccos(−x)=π−arccosx .

Арктангенсом называется функция y = arctg x . Область определения: D(f )= R ; множество значений: E(f )=[−π2,π2]. Функция нечётная: arctg(−x)= −arctg x . Арккотангенсом называется функция у = arcctg x. Её область определения – D(f )= R ; множество значений – E(f )= [0,π]. Функция общего вида: arcctg(−x)= π−arcctg x .

Область определения элементарной функции.

Если область определения функции функция z = ϕ(х) совпадает с множеством значений функции y = f (z) , то можно рассмотреть сложную функцию y = f (ϕ(x)) , которая называется также суперпозицией

функции f и φ. Элементарной функцией называется функция, полученная из основных элементарных функций и констант с помощью конечного числа операций суперпозиции и четырёх арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Область определения элементарной функции есть пересечение областей определения основных элементарных функций, из которых она состоит. Отдельные случаи нахождения областей определения представлены в табл. 7.1.

								Таблица 7.1

№ п/п	Функция							Область определения

1	y =				1			f (x) ≠ 0
1	y =			f (x)				f (x) ≠ 0
				f (x)

2	y = 2n f (x)							f (x) ≥ 0
3	y =			1				f (x) > 0,

		loga			f (x)
		loga			f (x)			f (x) ≠1
								f (x) > 0,
4	y = log g(x) f (x)
4	y = log g(x) f (x)							g(x) > 0,

								g(x) ≠1

5	y =				1			f (x) > 0
5	y =		2n f (x)					f (x) > 0
			2n f (x)
6	y = loga				f (x)			f (x) > 0

7	y = loga	f (x) +					1	f (x) > 0,
7	y = loga	f (x) +
						g(x)		g(x) > 0

8	y = loga	f (x) + g(x)						f (x) > 0,
8	y = loga	f (x) + g(x)
								g(x) ≥ 0

7.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Установите соответствия между графиками функций и аналитическими выражениями, задающими эти функции:

1. 2.

3. 4.

а) у = х	2	; б) у = sin х;	в)		1	х
а) у = х		; б) у = sin х;	в)	у =		; г) у = cos х ; д) у = log2 х.
					3

Решение. На рисунках изображены графики основных элементарных функций. Используя теоретические сведения п. 7.1, определяем, что пер-

вому графику соответствует аналитическое выражение							1	х
вому графику соответствует аналитическое выражение					у =			, второму
							3
графику – аналитическое выражение у = sin х, третьему –						у = х2 , четвёр-
тому – у = log2 х.
Ответ: 1. – в); 2. – б); 3. – а); 4. – д).
2. Укажите чётные функции из приведённых ниже:
1. у = log2 х; 2. у = х	2	; 3. у = cos х ;		1	х	5.	у = tg х .
1. у = log2 х; 2. у = х		; 3. у = cos х ;	4. у =		;	5.	у = tg х .
				2

Решение. Все приведённые в задании функции являются основными элементарными, их свойства описаны в п. 7.1. По свойствам элементар-

ных функций определяем, что чётными						являются	функции у = х2 и
y = cos x .
Ответ: 2 и 3.
3. Укажите возрастающие функции из приведённых ниже:
1. y = sin x ; 2. у = 2	х	;		1	х	4. у =	х ; 5. y = x	2	.
1. y = sin x ; 2. у = 2		;	3. у =	3	;	4. у =	х ; 5. y = x		.
				3

Решение. Все приведённые в задании функции являются основными элементарными, их свойства описаны в п. 7.1. Графики функций изображены на рис. 7.3 – 7.15. По графикам видно, что возрастающими функ-

циями являются у = 2х (см. рис. 7.8) и у = х (см. рис. 7.4).

Ответ: 2 и 4.

4. Укажите периодические функции из приведённых ниже:

1.		1	х	3. y = sin x ; 4. у = 2	х	; 5. у = tg х .
1.	у =		; 2. у = log2 х;	3. y = sin x ; 4. у = 2		; 5. у = tg х .
		3

Решение. Все приведённые в задании функции являются основными элементарными, их свойства описаны в п. 7.1 и 5.1. Периодическими являются тригонометрические функции, в этом задании – функции y = sin x и у = tg х .

Ответ: 3 и 5.

5. Найдите области определения функций:

а) y =	2	; б) y = 4 −3x − x2 +lg(x + 2).

x2 −4

Решение.

а) Данная функция соответствует случаю 5 из табл. 7.1, поэтому, чтобы найти область определения функции, необходимо решить неравен-

ство x2 −4 > 0 . Разложим на множители левую часть неравенства (х−2)(х+ 2)> 0 , и воспользуемся ме-

тодом интервалов (рис. 7.20). Из рисунка видно, что неравенство выпол- Рис. 7.20 няется для значений аргумента

х (−∞, −2)U(2, +∞).

б) Данная функция соответствует случаю 8 из табл. 7.1, поэтому, чтобы найти область определения функции, необходимо решить систему неравенств:

		2	≥ 0,		2	+3x −4	≤ 0,
4 −3х− х				х
	х+2 > 0,					х > −2.

Найдём корни квадратного уравнения (см. п. 3.1):

На числовой оси отмечаем корни уравнения (закрашиваем точки, так как первое неравенство системы нестрогое) и выкалываем точку х = −2 ,

так как второе неравенство систе-
мы строгое (рис. 7.21). Выше оси
отмечаем знаки левой части перво-
го неравенства системы, а ниже
оси – решение второго неравенства
системы. Пересекаем решения не-				Рис. 7.21
равенств	и	получаем,	что
х (−2; 1].				б) D(f )= (−2;1 ].
Ответ: а) D(f )= (−∞, −2)U(2, +∞);

7.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

7.1.Установите соответствия между графиками функций и аналитическими выражениями, задающими эти функции:

а) у = 2х ; б) у = log1 х ; в) у = ctg x ; г) у = 1 ; д) у = tg х .

2	x
2
7.1.2.

а) у = х3 ; б) у = log 1 х ; в) y = cos x ; г) у = log2 х; д) у = −х .

7.1.3.

а) y =	x ; б) у = log2 х; в)	у = ctg x ; г)		1	х
а) y =	x ; б) у = log2 х; в)	у = ctg x ; г)	у =		; д) y = cos x .
				3

7.2. Найдите области определения функций:

а) y = 3 + 2x − x2 +lg(x +1); б) y = x2 −6x +5 +lg(2 − x).

7.3. Укажите нечётные функции из приведённых ниже:

1.	у =	1	; 2.		1	х	4. у = х	2	; 5. у = sin x .
1.	у =	x	; 2.	у =	2	; 3. у = cos x ;	4. у = х		; 5. у = sin x .
		x			2

7.4. Укажите убывающие функции из приведённых ниже:

у = log2 х;

у = −х ; 3.

у = log 1 х ;

4. y =

x ;

у = ctg x .

7.5. Укажите возрастающие функции из приведённых ниже:

у = log3 х ;

3. у = sin x ;

4. у = 2

;

у = tg х .

у =

;

7.6. Укажите периодические функции из приведённых ниже:

у = log2 х;

у = х

; 3.

у = ctg x .

у = cos x ; 4. у =

;

8.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Вначалах математического анализа школьного курса математики изучается понятие производной, геометрический смысл производной, приложения производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы, к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции. Трудности, связанные с нахождением производных элементарных функций, зачастую вызваны плохим знанием правил дифференцирования, таблицы производных, неумением раскладывать сложную функцию на элементарные составляющие и выделять основные операции в аналитической форме задания функции.

Вэтом параграфе в кратком виде изложен основной теоретический материал, позволяющий повторить и систематизировать знания о производной и правилах дифференцирования, методике применения производной к исследованию функций; приведены примеры решения типовых задач, демонстрирующие применение формул дифференцирования функций

ипозволяющие восстановить и закрепить умения находить производные элементарных функций.

8.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим непрерывную функцию y = f (х) , определённую на интервале (а,b). Выполним следующие действия:

– выберем точку x0 (а,b);

– дадим аргументу x0 (а,b) приращение х, такое, что

x0 + x (а,b);

– найдём приращение функции у :

у = f (x0 + x)− f (x0 )= f (x)− f (x0 ),

где x = x0 + x ;

– составим отношение приращения функции к приращению аргу-

мента	y	;
	x		y .
– найдём предел этого отношения при x → 0 , lim			y .
		x→0	x

Если этот предел существует, то его и называют производной функции y = f (х) . Итак, производной функции y = f (х) в точке x0 называется

предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Обозначение: f ′(х0), y′(х0).

Рис. 8.2

Согласно определению,

f ′(x0 ) = lim	f (x0 + x) − f (x0 )		или	y′(x0 ) =	lim		y .

ΔΧ→0		x			ΔΧ→0		x
Рассмотрим геометрический смысл производной. Пусть непрерыв-
ная функция y = f (х)		имеет в некоторой точке x0			конечную произ-
		водную	f ′(x0 ).
		Прямая,		проходящая		через		точку
		M 0 (x0 , y0 ) графика функции, имеющая
		угловой коэффициент f ′(x0 ),					называется
		касательной. Касательная может быть
		задана уравнением вида y = kx +b , где
		коэффициент k – угловой коэффициент
		прямой, равный тангенсу острого угла,
Рис. 8.1		образуемого касательной с положитель-
		ным направлением оси Ох,				т.е.		k = tgα
		(рис. 8.1). Производная			f ′(x0 )		равна угло-
вому коэффициенту касательной, проведённой к кривой					y = f (х)			в точке
сабсциссой x0 , т.е.
		k = f ′(x0 )= tgα .
Уравнение касательной имеет вид
		y − f (x0 )= f ′(x0 )(x − x0 ).						(8.1)

При решении задач возникает необходимость найти уравнение касательной, параллельной некоторой заданной прямой. В этом случае используется условие параллельности двух прямых: если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. На рисунке 8.2 показано, что касательная и параллельная ей прямая имеют один и тот же угол наклона к оси Ох, следовательно yкас = yпр .

Правила дифференцирования.

Операция нахождения производных функций называется дифференцированием, а функция, которая имеет производную в точке x0 , – дифференцируемой в точке x0 . Производные

основных элементарных функций приведены в табл. 8.1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]