Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

Тригонометрические функции обладают свойством периодичности:

Значения тригонометрических функций в симметричных точках других четвертей тригонометрического круга можно найти по формулам приведения – формулам, позволяющим упрощать выражения вида

Например,

sin π2 + α = cosα , cos(3π+α)= −cosα, tg 32π + α = −ctg α .

Для углов πn ±α, n Z, названия тригонометрических функций со-

функций меняются: синус – на косинус и наоборот, тангенс – на котангенс и наоборот. При выборе знака приведённой функции полагаем: α – угол I четверти; перед приведённой функцией ставим знак такой, какой имеет функция в левой части равенства. Так, в рассмотренных выше примерах

выбирается знак «–». Таким образом, формулы приведения сводят вычисление значений тригонометрических функций любого угла к значениям тригонометрических функций углов I четверти.

41

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

1. Основное тригонометрическое тождество sin 2 α +cos2 α =1 . 2. Формулы двойного угла:

sin 2α = 2sin α cosα , cos 2α = cos2 α −sin2 α,

42

х = ±arccos b + 2πn, n Z ,

где arccos b – угол I или II четверти, косинус которого равен b. Имеет место свойство: arccos(−b)= π−arccosb .

5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Рассмотрим сначала, как используются формулы приведения при преобразовании тригонометрических выражений.

1. Приведите к тригонометрической функции угла α:

функции не меняется. На тригонометрическом круге (см. рис. 5.1) видно,

что угол α −π лежит в III четверти (поворот вектора ОМ на 180° по часовой стрелке), в этой четверти синус отрицательный (см. рис. 5.2), поэтому

sin(α −π)= −sin α .

б) Выделим период: 52π = 2π+ π2 , в силу 2π-периодичности функции

функции меняется, поэтому получим sin α. На тригонометрическом круге

(см. рис. 5.1) видно, что угол α+ π2 лежит во II четверти, в этой четверти косинус отрицательный (см. рис. 5.2), поэтому

Ответ: а) −sin α ; б) −sin α .

2. Упростите тригонометрические выражения:

Решение:

а) По формулам двойного угла имеем

43

б) Применяем формулы понижения степени (5.3) и определение тан-

генса (5.1):

При вычислении значения cos45° воспользовались табл. 5.1.

б) Поскольку 180° в радианах равно π, по формулам приведения, с учётом табл. 5.1, имеем

cos 240° = cos(180°+60°)= −cos60° = − 12 .

в) Поскольку период функции tg x равен 180°, то, с учётом табл. 5.1, имеем

44

Значения функции котангенса и синуса найдены по табл. 5.1. б) По формуле сложения (5.6)

В преобразованиях использовали 2π-периодичность функции cosx и

табл. 5.1.

Ответ: а) 6; б) 1; в) 5.

5. Вычислите cos α2 , если cosα = 18 и 32π <α < 2π.

Решение. Косинус половинного угла выражается через косинус основного угла по формуле понижения степени (5.3), применяя которую, получим

cos2 α2 = 12 (1+ cosα)= 12 1+ 18 = 169 .

Из условия 32π <α < 2π следует 34π < α2 < π, т.е. α2 – угол II четвер-

ти, поэтому cos α2 < 0 . Извлекая квадратный корень из cos2 α2 , выбираем отрицательное значение косинуса половинного угла: cos α2 = − 34 .

Ответ: cos α2 = − 34 .

45

то можем разделить обе части исходного равенства на cosα , тогда

12cosα+5sin α = 0 ctg α = −125 .

По формуле (5.1) и основному тригонометрическому тождеству имеем

tg α2 = 1+sincosαα = 115−81717 = 159 =1 23 .

Ответ: tg α2 =1 23 .

8. Найдите корень уравнения 2sin2 х−1=0 , принадлежащий III четверти (π; 3π2).

Решение. Выразим тригонометрическую функцию:

46

Все корни этого уравнения определяются по формуле (5.7), но нас интересует только один, поэтому воспользуемся тригонометрическим кругом. В III четверти sin х < 0 , поэтому искомый корень удовлетворяет урав-

нению sin х = − 22 . На оси ординат триго-

нометрического круга (рис. 5.3) откладываем

х [π2;π], т.е. искомый угол лежит во II четверти, где cosx <0 . Поэтому выбираем второе равенство из совокупности: cos x = − 12 . На оси абсцисс

тригонометрического круга (рис. 5.3) откладываем значение − 12 , тогда угол II четверти, соответствующий этому значению, будет 23π .

Ответ: х= 23π .

5.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

5.1.Приведите к тригонометрической функции угла α:

47

5.2. Упростите тригонометрические выражения:

5.3.Вычислите значения: а) cos240°; б) sin(−210°); в) tg 540° .

5.4.Найдите значения выражений:

5.7.Вычислите cosα , если 3sin2 α+4sinα cosα =0 и π2 < α < π .

5.8.Найдите корень уравнения 2cos2 x −cos x = 0 , удовлетворяющий неравенству sin x <0 , на отрезке [0;2π] .

5.9.Найдите корень уравнения 3tg2 x −1 = 0 , принадлежащий II четверти (π2;π).

48

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Основной содержательной линией школьного курса алгебры в старших классах являются преобразования алгебраических выражений, причём завершают этот ряд преобразования логарифмических и показательных выражений. Следовательно, повторению указанных преобразований и вопросов с ними связанных стоит уделить очень серьёзное внимание.

Интересно заметить, что именно при изучении преобразований логарифмических и показательных выражений возникает некий парадокс: с одной стороны, в процессе изучения темы они кажутся учащимся понятными и легко воспроизводимыми, т.е. не вызывают трудностей и не требуют значительных умственных усилий, с другой – результаты обучения показывают, что усвоение абитуриентами данной темы оказывается недостаточно прочным.

Между тем без преобразований логарифмических и показательных выражений невозможно изучение многих разделов высшей математики. Например, в математическом анализе преобразования данного вида вплотную применяются при нахождении пределов функций и последовательностей (формулы второго замечательного предела содержат исключительно логарифмические и показательные функции), дифференцировании функций (есть даже приём логарифмического дифференцирования), исследовании функций и построении графиков, в интегральном исчислении.

Учитывая необходимость применения преобразований логарифмических и показательных выражений, в данном параграфе представлены справочный теоретический материал по теме и задания, вызывающие наибольшее затруднение у абитуриентов.

6.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Показательным выражением будем называть любую конструкцию вида aх , где a > 0, а R, x R , или вида a f (х) . Правила действий

с показательными выражениями такие же, как со степенями, рассмотрены в п. 2.1. Показательные выражения можно сравнивать:

Поскольку a0 =1 , то из последних неравенств следует: для всех x > 0

a x > 1 при a >1 ; 0 < a x < 1 при 0 < a <1 .

49

Логарифмическим выражением будем называть любое выражение, содержащее логарифм loga b . Логарифмом числа b, b >0 , по основанию

a, a > 0 , a ≠1 , называется такое число с = loga b , что b = ac . Опреде-

ление логарифма обосновывает основное логарифмическое тождество

aloga b = b .

Логарифм числа b по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lgb . Логарифм числа b по основанию е

( е ≈ 2,71828 ) называется натуральным логарифмом и обозначается ln b .

Свойства логарифмов ( a >0, a ≠1, b >0, c >0 ).

1. Из определения логарифма легко видеть, что

loga 1 = 0; loga a =1.

2. Формулы преобразования логарифма произведения и частного:

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения. Например, прологарифмируем по основанию 2

выражение 2х =5 , получим log2 2x = log2 5 или х = log2 5 . С помощью логарифмирования легко проверить следующую формулу.

5. Формулы перехода к новой переменной:

50