Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

нять линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

Сумму двух векторов а и b можно найти по правилу треугольника (рис. 4.3): конец вектора а совмещают с началом вектора b , тогда вектор, соединяющий начало вектора а с концом вектора b , и будет суммой векторов аr +b . Второе правило сложения векторов – правило параллелограмма (рис. 4.4): совмещают начала векторов а и b , строят на этих век-

торах параллелограмм, тогда суммой векторов аr +b будет вектор, являющийся диагональю параллелограмма и исходящий из общего начала двух векторов.

При умножении вектора а на число λ получается вектор λа, длина которого равна λ а , а направление совпадает с направлением вектора

аr, если число λ положительное, и меняется на противоположное, если число λ отрицательное.

31

При решении некоторых математических задач требуется находить площади плоских фигур.

Площадь круга с центром в точке С радиусом R (рис. 4.5) находится по формуле

S = πR2 .

Радиус R равен расстоянию от центра С до любой точки окружности.

Приведём формулы вычисления площадей S некоторых плоских выпуклых многоугольников (здесь а и b – основания фигуры, h – высота, d1

и d2 – диагонали):

треугольник параллелограмм

Приведём формулы вычисления объёмов некоторых геометрических тел и площадей их поверхностей.

В прямоугольном параллелепипеде все грани прямоугольники (рис. 4.6).

Пусть а и b – длины смежных рёбер основания, с – длина бокового ребра, тогда объём параллелепипеда равен

V = abc ,

площадь боковой поверхности равна

Sбок = 2(a +b)c .

32

У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основанию (рис. 4.7). Пусть Sосн – площадь основания (в случае треугольной призмы –

площадь треугольника), Р – периметр основания (сумма длин сторон), с – длина бокового ребра, тогда объём и площадь боковой поверхности призмы соответственно равны

Объём конуса, как и объём пирамиды, равен одной третьей произведения площади основания на высоту. Пусть R – радиус основания конуса, h – высота (рис. 4.10), тогда объём конуса находится по формуле

33

4.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.В треугольнике АВС угол С прямой, катеты АС = 24, ВС = 7. Найдите синус угла А.

Решение. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

AB2 = AC 2 + BC 2

AB2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625 = 252 .

Итак, гипотенуза АВ = 25 . Тогда по формулам (4.1) синус угла А равен отношению про-

тиволежащего катета ВС к гипотенузе АВ, т.е.

sin А= ВСАВ = 257 = 0,28 .

Ответ: 0,28.

2. В треугольнике АВС с прямым углом С известен катет АС = 8 и гипотенуза АВ = 10. Найдите тангенс угла В.

Решение. Найдём катет ВС по теореме Пифагора:

AB2 = AC 2 + BC 2 BC 2 = AB2 − AC 2 ,

BC2 =102 −82 =100 −64 =36 =62 .

Итак, катет ВС = 6 . Тогда по формулам(4.1) тангенс угла В равен отношению противолежащего катета АС к прилежащемукатетуВС, т.е.

34

и площадь равна S = π 29π = 29 .

Ответ: 29.

4. Найдите площадь треугольника, изображённого на рис. 4.12. Решение. Площадь треугольника равна половине произведения осно-

вания на высоту: S = 12 ah . В качестве основания следует брать горизон-

комбинации векторов а и b ).

Решение. Построим параллелограмм АВСD и отметим данные в условии задачи векторы (рис. 4.13). Поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то

АВ и AD :

AB + BD = AD

rr

BD = AD − AB = b − a,

35

Тогда

призмы Sбок .

Решение. Найдём гипотенузу треугольника АВС по теореме Пифагора:

AС2 = AВ2 + BC2 AС2 = 92 +122 =81+144 = 225 =152 .

Итак, гипотенуза АС =15 . Обращаясь к формулам (4.2), находим объём и площадь боковой поверхности призмы:

VABCA1B1C1 = SABC AA1 = 12 AB BC AA1 = 12 9 12 20 =1080.

Sбок = (AB + BC + AC) AA1 = (9 +12 +15) 20 = 36 20 = 720.

Объём пирамиды равен

36

4.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

4.1.В треугольнике АВС с прямым углом С

известны гипотенуза АВ = 17 и катет АС = 15. Найдите косинус угла В.

4.2.В треугольнике АВС с прямым углом

Сизвестны гипотенуза АВ = 15 и катет АС = 12. Найдите тангенс угла А.

4.3.Найдите площадь четырёхугольника.

4.4. Найдите площадь трапеции.

4.5. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 – медианы треугольника АВС. Пусть АС = аr , AВ = b . Выразите векторы АА1 , ВВ1 , СС1 через векторы а и b (линейные комбинации векторов а и b ).

4.6. Точки А, В,С и D – последовательные вершины параллелограм-

ма. Точка Е – середина отрезка АD. Пусть DC = аr , CB = b . Установите соответствие между векторами, соединяющими две точки, и их выраже-

нием через векторы а и b (линейные комбинации векторов а и b ).

Векторы, соединяющие две точки: 1) BE ; 2) EC ; 3) BD .

37

4.7. Точки А, В,С и D – последовательные вершины трапеции, у которой нижнее основание АD вдвое больше верхнего ВС. Выразите векто-

2)объём конуса Vконуса ;

3)объём цилиндра Vцилиндра .

Числовые значения:

а) 150π; б) 100π; в) 60π ; г) 50π .

38

5. ТРИГОНОМЕТРИЯ

Исследования Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), проведённые по результатам ЕГЭ 2008 г., выявили у большинства учащихся несоответствие предъявляемым требованиям к уровню знаний и умений по таким разделам математики, как геометрия и тригонометрия1. Подобная тенденция сохраняется и в настоящее время. Тригонометрия, важнейшая составная часть школьного курса математики, обеспечивает изучение основных разделов высшей математики технического вуза: векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа.

Тригонометрия – это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Следовательно, изучение этого раздела крайне важно, так как тригонометрия очень тесно связана с методом координат, элементы тригонометрии «разбросаны» по всем разделам и темам курса высшей математики. Например, вычисление значений тригонометрических функций, решение простейших тригонометрических уравнений требуются при решении задач векторной алгебры, аналитической геометрии, в дифференциальном исчислении, интегральном исчислении; тригонометрические преобразования, свойства тригонометрических функций активно используются в теории пределов, дифференциальном исчислении, при интегрировании функций, в теории рядов, в функциях комплексной переменной и т.д. В математическом анализе тригонометрические функции позволяют весьма наглядно, просто и убедительно продемонстрировать важнейшие свойства функций: периодичность, чётность и нечётность, ограниченность, монотонность. Не только математические дисциплины используют тригонометрию, она имеет практическое применение в астрономии, геодезии, навигации, механике, физике, технике, артиллерии, авиации, гидравлике и т.д.

5.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Впараграфе «Геометрия» приведены формулы (4.1), определяющие понятия sin ϕ , cosϕ и tg ϕ острого угла φ, ϕ (0;π2), прямоугольного

треугольника. Аналогично можно определить тригонометрические функции любого угла α (−∞; +∞).

Рассмотрим на координатной плоскости окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 5.1). Построим радиус-вектор ОМ ,

1 ЕГЭ 2008. Математика. Методические материалы / Л. О. Денищева, К. А. Краснянская, Н. Б. Мельникова. – М.: Эксмо, 2008. – 128 с.

39

составляющий с осью Ох угол α. Синусом

угла α является ордината точки М, а косинусом – абсцисса (гипотенуза соответствующего прямоугольного треугольника в первой четверти равна ОМ =1). Такой круг называ-

ется тригонометрическим. Кроме того,

Геометрическое изображение тригонометрических функций делает наглядным распределение знаков этих функций по четвертям (рис. 5.2).

Значения тригонометрических функций для некоторых значений угла α в первой четверти тригонометрического круга приведены в табл. 5.1.

Рис. 5.2

40