Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

Потенцированием называется действие, обратное логарифмированию, т.е. потенцирование – это операция нахождения числа или выражения по его логарифму. Например, в результате потенцирования выраже-

ния log5 х = 3 получим х = 53 =125 .

6.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение:

а) используя правила действий со степенями (п. 2.2), получаем

Решение. Используя правила действий со степенями, получаем:

в) свернём подкоренное выражение, как полный квадрат, и извлечём корень:

49x −12 7x +36 = 72x − 2 6 7x +62 = (7x −6)2 = 7x −6 ,

51

по условию 5x = 0,4 < 50 =1 , тогда на основании свойства (6.1) имеем x < 0 ; при таком значении аргумента 7x <1 и

7x −6 < 0 7x −6 = 6 −7x ,

поэтому

49x −12 7 x + 36 + 7 x −3,5 = 6 − 7 x + 7 x −3,5 = 2,5 .

Ответ: а) 1005 ; б) 64; в) 2,5.

3. Найдите значения выражений:

г) log7 2192 .

Решение:

а) используя свойство 3 логарифма, получаем

log2 18 = log2 2−3 = −3 ;

б) используя свойство 3 логарифма, получаем

1

68 log15 17 15 = 68 log15 1517 = 68 171 = 4 ;

в) используя формулы преобразования логарифмов 2 и 3, получаем

= log11 22633 = log11 11111 = log1111−2 = −2 ;

г) log7 2192 = log7 212 −log7 9 = log7 (3 7)2 − 2log7 3 =

= log7 32 + log7 72 − 2log7 3 = 2log7 3 + 2 − 2log7 3 = 2 .

Ответ: а) −3 ; б) 4; в) −2 ; г) 2.

4. Выполните потенцирование выражений и выразите переменную х:

а) ln x = ln12 +ln15 −ln180 ; б) lg x =lg25 +lg4 −lg1000 .

52

Решение:

а) преобразуем правую часть, используя формулы логарифма произведения и частного, определение и свойство логарифма, получим

ln12 +ln15 −ln180 = ln 1218015 = ln 180180 = ln1 ,

тогда

ln x =ln1 x =1;

б) преобразуем правую часть, используя формулы логарифма произведения и частного, определение и свойство логарифма, получим

lg 25 +lg 4 −lg1000 = lg 100025 4 = lg10−1 ,

тогда

lg x = lg10−1 x = 0,1 .

Ответ: а) x =1; б) x = 0,1.

5. Расположите числа log49 9, log0,7 5, log7 81 в порядке возрастания.

Решение.

log49 9 = 22 log7 3 = log7 3 ; log7 81= 4log7 3 .

По правилу (6.2) сравнения логарифмических выражений имеем log 7 3 > log7 1 = 0 , т.е. log 7 3 > 0 . А по правилу (6.3) log 0,7 5 < log 0,7 1 = 0 ,

т.е. log 0,7 5 < 0 . Поэтому

log0,7 5 < log7 3 < 4 log7 3 log0,7 5 < log49 9 < log7 81 . Ответ: log0,7 5<log49 9< log7 81.

6.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

6.1.Упростите выражения:

53

6.3. Найдите значения выражений:

6.4. Выполните потенцирование выражений и выразите переменную х:

ния.

54

7. ФУНКЦИИ

Фундаментом математического образования бакалавров различного профиля, имеющим существенное значение для успешного изучения большинства последующих математических дисциплин, является математический анализ. Объектами изучения курса математического анализа являются, прежде всего, функции. С их помощью могут быть описаны различные законы природы, а также разнообразные процессы, происходящие в экономике и технике.

Одной из основных целей изучения этого курса является умение анализировать функции, заданные в виде графика, таблицы или уравнения, а также понимание связи между различными формами представления функций.

В данном параграфе излагается вступительная часть теории функции одной переменной, позволяющая студентам-первокурсникам конкретизировать знания о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов, усвоить алгоритмы решения типовых задач, которые могут встретиться студентам в дальнейшей учёбе.

7.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используется запись y = f (x) . Все значения, которые принимает незави-

симая переменная х, образуют область определения функции D( f ) . Все значения, которые принимает зависимая переменная у, образуют множество значений функции E( f ) . Если функция задана аналитически, т.е. формулой, то область определения состоит из всех значений переменной х, при которых формула имеет смысл. Так, функция y = x + 2 опре-

делена при всех значениях х, при которых x + 2 ≥ 0 , т.е. при x ≥ −2 .

Основные свойства функций.

1. Чётность и нечётность. Для чётных и нечётных функций область

функция y = f (x) называется функцией общего вида.

55

Примеры чётных функций: y = x2 , y = cos x ; нечётных – y = x3 , y = sin x . График чётной функции симметричен относительно оси

ординат Оу, а график нечётной функции – относительно начала координат точки О.

Исследуем функцию y = sinx x на чётность и нечётность:

(убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Функции y = x3 , y = log2 x возрастают на всей области определения; функция y = x2 при x ≥ 0 возрастает, а при x < 0 убывает.

3. Ограниченность. Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0, что

56

соответствующих различным показателям степени, представлены на рис. 7.2 – 7.7.

Графиком функции у = х является прямая. Функция, возрастающая на всей числовой оси, является нечётной. График функции y = x2 пред-

координатных четвертях. D(f )= R , Е(f )= R . Функция нечётная.

57