Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

1.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Расположить следующие дроби в порядке возрастания: 53 , 1320 ,

94 , 1730 , 83 .

Решение. Приведём все дроби к одному (общему) знаменателю. НОК (5, 20, 4, 30, 8) = 120. Тогда рассматриваемые дроби примут

вид:

Опуская знаменатели, имеем последовательность числителей: 72, 78, 270, 68, 45.

Располагая исходные дроби в порядке возрастания новых числителей, получим, что: 83 < 1730 < 53 < 1320 < 94 .

Таким образом, в порядке возрастания дроби имеют следующее рас-

положение: 83 , 1730 , 53 , 1320 , 94 .

Ответ: 83 , 1730 , 53 , 1320 , 94 .

2. Выполните действия:

а) 5 −2 83 4 16 + 34 ; б) 2 34 : 1 12 − 52 + 34 + 56 : 3 16 .

Решение:

а) Необходимо перемножить две скобки, содержащие действия со смешанными числами. Так как при умножении необходимо иметь дроби, то целесообразно сразу же выражения в скобках сделать дробными и выполнить обозначенные действия вычитания (в первой скобке) и сложения (во второй скобке).

Имеем в первой скобке:

5 −2 83 = 5 − 8 28+3 = 5 88−19 = 40 8−19 = 218 ,

во второй скобке:

4 16 + 34 = 6 46+1 + 34 = 256 22 + 34 33 = 5012+9 = 1259

и, наконец,

11

218 1259 = 78 594 = 41332 =12 3229 .

Если кто найдёт более удобным сначала выполнить действия со смешанными числами в скобках, а затем преобразовать их в неправильные дроби, то пусть делает; результат должен быть одинаковым.

б) Выполним действия, указанные в скобках:

112 − 52 = 32 − 52 = 1015 −104 = 1011 ; 34 + 56 = 129 +1012 = 1912 .

Подставим полученные числа в исходное задание, заменим дроби с целой частью на неправильные дроби и выполним деление:

2 34 : 1011 +1912 : 3 16 = 114 : 1011 +1912 : 196 = 114 1011 +1912 196 = 104 +126 = 52 + 12 = 62 =3 .

Ответ: а) 12 3229 ; б) 3.

3. Оптовая цена учебника составляет 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Найдите розничную цену учебника.

Решение. Найдём 20% от 170 рублей:

170 10020 =17 2 =34 (рубля).

Увеличим оптовую цену на 20%:

170+34 = 204 (рубля).

Ответ: 204 рубля.

4. Товар стоил 56 рублей. После повышения цены на 25% товар стали покупать так плохо, что цену снизили на 10%, а через некоторое время её снизили ещё на 15%. Какова окончательная цена товара?

Решение. После повышения цены на 25% она составила

56 +56 10025 =56 +14 = 70 (рублей).

Далее цену товара – 70 рублей уменьшили на 10%: 70 −70 10010 = 70 −7 = 63 (рубля).

Затем новую цену товара – 63 рубля уменьшили ещё на 15%:

63 −63 10015 = 63 −9,45 = 53,45 (рубля). Ответ: 53,45 рубля.

12

5. За 10 дней ученик должен был решить определённое количество задач. Сколько задач должен был решать ученик, если в первые 7 дней он решал по 113 от общего числа задач, за следующие два дня было решено

20% всех задач, а в последний день пришлось решить 17 задач? Решение. Для того чтобы узнать, какую часть задач решил ученик

за 9 дней, переведём проценты в дроби и сложим все дроби:

7 131 +10020 = 137 + 15 = 3565 + 1365 = 6548 .

Тогда на десятый день у него остаётся 1− 6548 = 1765 (всех задач),

а это равно 17 задачам. Следовательно, общее число задач равно 65.

Ответ: 65 задач.

1.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.1.Расположите дроби в порядке убывания:

1.3.Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

1.4.На стоянке стоит 40 машин, 8 из них фирмы Renault (Рено). Какой процент машин фирмы Renault (Рено) от всех стоящих на стоянке?

1.5.Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

1.6.Бензин стоил 30 рублей за один литр. Сначала цена была повышена на 5%, затем на 4%. Сколько стал стоить бензин?

1.7.В городе 300 000 жителей. Из них 30% детей и подростков. Среди взрослых 25% не работает (пенсионеры, студенты и т.п.). Определите число работающих взрослых жителей.

13

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Вслед за арифметикой достаточно большое внимание в школьном курсе математики уделяется преобразованиям алгебраических выражений. Алгебраическим называется выражение, составленное из конечного числа букв и чисел, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (т.е. возведения в рациональную степень). При изучении различных разделов курса математики студенты должны обладать определённым «мастерством» в выполнении преобразований алгебраических выражений. Дальнейшее обучение становится бесполезным, если студент не может иррациональное выражение представить в виде степени с рациональным показателем или не умеет пользоваться формулами сокращённого умножения и другими тождественными алгебраическими преобразованиями. Практически невозможно справиться с изучением разделов высшей математики, таких как приложения дифференциального и интегрального исчисления, вычисление пределов, преобразование уравнений кривых второго порядка и др. Таким образом, владение основными приёмами преобразований алгебраических выражений определяет успешность, да и саму возможность изучения курса математики и других дисциплин вуза. С этой целью предлагаем Вам повторить материал, вызывающий наибольшие сложности в курсе средней школы.

2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим основные свойства операций со степенями и корнями, степенями с натуральным, отрицательным, нулевым и дробным показателями, известные из школьного курса математики. Степенью числа а с показателем k, где k N, a R , называется произведение k множителей:

ak = a a a K a .

14243

k раз

Свойствастепенейснатуральнымпоказателем (n, m N, a,b R).

1.При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: аm an = am+n .

2.При делении степеней с одинаковым основанием их показатели

вычитаются: аamn = am−n , а ≠ 0 .

14

3.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей: (а b c...)n = an bn cn... .

4.Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого

5.При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(аm )n = am n .

6.Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1:

а0 =1, а ≠ 0 ; а1 = a .

Степень числа с отрицательным показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолют-

ной величине отрицательного показателя: a−n = a1n , а ≠ 0 .

Арифметическим корнем n-й степени, где п N , из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначается: п а ; (п а)п = а . Арифметический корень тесно связан

с понятием абсолютной величины (модуля) числа, а именно: a2 = a .

Алгебраическим корнем n-й степени из данного числа называется множество всех корней из этого числа. Например, алгебраический корень чётной степени имеет два значения: положительное и отрицательное:

25 = ±5 . Алгебраический корень нечётной степени имеет единственное значение: либо положительное, либо отрицательное. Например, кубиче-

ский корень 3 27 = 3 и 3 −27 = −3 , и это его единственное значение.

Преобразования арифметических корней (a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей: n а b c... = n а n b n c..., для двух переменных n а b = n а n b .

2.Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя: n ba = nn bа , b ≠ 0 .

3.При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень )m = n аm .подкоренное

4.Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести

вm-ю степень подкоренное выражение, то значение корня не изменится:

n а = nm аm .

15

5. Корень n-й степени из корня m-й степени равен корню ( n m )-й степени: n m a = nm а .

Степень с дробным показателем аm / n , где n N, т Z , т.е. mn Q , имеет в общем виде смысл только при a > 0 . Для того чтобы возвести действительное число а в степень тп, нужно извлечь корень

n-й степени из m-й степени этого числа: aтп = n am . Например,

82 / 3 = 3 82 = 3 64 = 4 . Степень с дробным, т.е. рациональным, показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем.

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных, то оно называется целым, например

2а2b −3ab + 2 . Если в алгебраическом выражении есть действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и деление на выражения с переменными, то оно называется дробным или алгеб-

раической дробью. Так алгебраической дробью является 3yx2 + 2yx .

Действия с алгебраическими дробями (сокращение, сложение, умножение и деление) выполняются так же, как и с арифметическими (см. п. 1.1). Например,

Ицелые, и дробные выражения называются рациональными. Если

валгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в рациональную степень), то такое

выражение называется иррациональным. При выполнении действий с дробями, содержащими иррациональности, возникает необходимость уничтожить иррациональность в знаменателе дроби, это необходимо для упрощения дальнейших преобразований дробей.

Если в знаменателе одночлен вида п а , тогда иррациональность уничтожается расширением дроби: умножаем числитель и знаменатель

на п ап−1 :

16

Если в знаменателе двучлен вида а ± b , тогда дробь расширяем умножением числителя и знаменателя на сопряжённое выражение

а m b и применяем формулу сокращённого умножения – разность

При выполнении алгебраических преобразований применяются

формулы сокращенного умножения. Их следует знать наизусть.

(a +b)2 =a2 +2ab +b2 , (a −b)2 = a2 −2ab +b2 , a2 −b2 =(a −b) (a +b),

2.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Упростите выражение с целыми степенями 7a3 a5 −(2a4 )2 .

Решение. Воспользуемся свойствами умножения степеней и возведения степени в степень:

7a3 a5 − (2a4 )2 = 7a3+5 − 22 a4 2 = 7a8 − 4a8 = 3a8 .

Ответ: 3а8 .

2. Упростите выражения с дробными степенями:

Решение:

а) воспользуемся свойством возведения степени в степень:

5a1/ 3 −(3a1/ 6 )2 = 5a1/ 3 −32 a2 16 = 5a1/ 3 −9a1/ 3 = −4a13 ;

б) преобразуем корни в степени с дробным показателем и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: а) −4а13 ; б) 7b .

17

Решение:

а) представим вычитаемое в виде дроби и выполним операции умножения степеней и возведения степени в степень:

г) выполним операции возведения в степень и умножения степеней:

Решение:

а) возводить большие числа в квадрат необязательно, лучше воспользоваться формулой сокращённого умножения – разностью квадратов:

302 −182 = (30 −18)(30 +18) = 12 48 = 6 2 6 8 = 36 16 = 6 4 = 24 ;

18

б) устраним в знаменателе иррациональность, умножив числитель и

знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение 5 − 3 , а в числителе воспользуемся формулой квадрата разности:

в) преобразуем подкоренные выражения в неправильные дроби, раскроем скобки и сократим дроби под знаком радикала:

г) выделим в подкоренных выражениях полные квадраты, свернём их, используя формулы разности и суммы квадратов, извлечём арифметические корни из полных квадратов и раскроем модули двучленов:

14 −6 5 + 14 + 6 5 = 9 − 2 3 5 +5 + 9 + 2 3 5 +5 = = (3 − 5 )2 + (3 + 5 )2 = 3 − 5 + 3 + 5 = 3 − 5 +3 + 5 = 6 .

Ответ: а) 24; б) 4; в) −2 ; г) 6.

5. Разложите выражения на множители:

Решение. Для решения всех заданий используются формулы сокращённого умножения:

а) выносим за скобки общий множитель и применяем формулу разности квадратов:

3a2b −27b3 =3b(a2 −9b2 ) =3b(a −3b)(a +3b) ;

б) выделяем квадрат суммы:

4a2 +12ab2 +9b4 = (2a)2 +2(2a)b2 +(3b2 )2 = (2a +3b2 )2 ;

19

в) имеем сумму кубов:

x3 +8y3 = x3 +(2y)3 = (x +2y)(x2−2xy +4y2 ) ;

г) имеем куб разности:

x3 − 6x2 +12 xy 2 −8 y3 = x3 −3x2 2 y + 3x (2 y)2 − (2 y)3 = (x − 2 y)3 .

По формуле разности кубов знаменатель первой дроби можно разложить на множители а3 −8 = (a − 2)(a2 + 2a + 4) . Тогда

Ответ: а.

20