Математика. Входное тестирование первокурсников. Учебное пособие для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

2.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.1.Упростите выражение с целыми степенями:

2.2. Упростите выражения и найдите их значения:

2.4. Найдите значения выражений, содержащих радикалы:

21

2.5. Разложите на множители:

а) х2 − у2 −8х+16 ; б) 9 − х2 + у2 +6у;

22

3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

Алгебраические уравнения и системы линейных алгебраических уравнений решаются, исследуются и преобразуются во многих разделах курса высшей математики, которые вам предстоит в дальнейшем изучать. Например, в линейной алгебре основным объектом изучения являются системы линейных алгебраических уравнений. К решению таких систем сводятся многочисленные практические задачи, по некоторым оценкам – около 75% всех задач; решение и исследование систем линейных алгебраических уравнений – одна из самых распространенных задач вычислительной математики. Кроме того, все линии и поверхности, изучаемые в разделе «Аналитическая геометрия», описываются алгебраическими уравнениями первой и второй степени. Алгебраические уравнения часто применяются в курсе математического анализа, например в теории пределов при разложении многочленов на множители; в дифференциальном исчислении при исследовании функций и построении графиков; системы линейных алгебраических уравнений применяются в интегральном исчислении при интегрировании дробно-рациональных функций и т.д.

Несмотря на кажущуюся простоту, умение решать алгебраические уравнения и системы зачастую встречает трудности. Поэтому рассмотрим некоторые виды алгебраических уравнений и систем, методы их решения, а также уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Алгебраическое уравнение п-й степени – это равенство, обе части которого являются целыми алгебраическими выражениями, содержащими переменные (неизвестные), старшая степень которых равна п. Например,

х3 +2ху−3у =0 – уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Уравнение первой степени с одним неизвестным ах+b = 0 называется линейным. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет единственное решение х = −bа. В противном случае уравнение не имеет решения (при b ≠ 0 )

или имеет бесконечно много решений (при b = 0 ). К линейному уравнению сводятся дробно-рациональные уравнения вида

Исключив из области допустимых значений неизвестного х = −b1 а1 и х = −b2 а2 , уравнение можно преобразовать в линейное по свойству пропорций:

23

Алгебраическое уравнение второй степени с одним неизвестным ах2 +bх+с = 0 , а ≠ 0 , называется квадратным. Используя коэффициенты

Зная корни x1 и x2 квадратного уравнения, можно разложить квадратный трёхчлен ах2 +bх+с на множители

ах2 +bх+ с = a(x − x1 )(x − x2 ).

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

a1х+b1 у = c1,а2 х+b2 у = c2 ,

где a1, b1, а2, b2 – заданные числа, называемые коэффициентами; c1, с2 – заданные числа, называемые свободными членами; x, y – неизвестные. Аналитически решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами: методом подстановки и методом алгебраического сложения.

Метод подстановки. Из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное, например из первого уравнения выражаем x:

x = с1 −b1 y , a1

и подставляем его во второе уравнение:

аа2 (с1 −b1y)+b2 y =c2 . 1

Получаем линейное уравнение с одним неизвестным y . Его решение

y= c2a1 − a2c1 . b2a1 − a2b1

24

Подставляянайденноезначениеуввыражение x = с1 −b1 y , находимх. a1

Метод алгебраического сложения. Выполним сложение уравнений

(a1 + a2 )x +(b1 +b2 )y = c1 +c2 .

Очевидно, что в уравнении останется одно неизвестное, если a1 + a2 = 0 или b1 +b2 = 0 . Например, при сложении уравнений системы

x + y = 4,x − y =1

имеем 2x = 5 и x = 2,5 (тогда y =1,5) .

Если же ни одна из сумм при неизвестных не равна нулю, то её можно искусственно обнулить, используя одно из свойств уравнений – его обе части можно умножить на одно и то же число. Поэтому, если первое уравнение системы умножим на (–а2), а второе – на а1 и сложим новые уравнения, то получим уравнение с одной переменной:

−a1а2 х−b1а2 у = −c1а2 ,a1а2 х+a1b2 у = a1c2 ,

−b1a2 y + a1b2 y = −c1a2 +a1c2 .

Решаем это уравнение, находим у, подставляем найденное значение в любое из уравнений исходной системы и находим х.

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:

1) коэффициенты уравнений не пропорциональны: a1 ≠ b1 , в этом

а2 b2

случае система линейных уравнений имеет единственное решение; 2) коэффициенты уравнений и свободные члены пропорциональны:

a1 = b1 = с1 , в этом случае система линейных уравнений имеет беско-

а2 b2 с2

нечное множество решений (так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух);

3) коэффициенты уравнений пропорциональны, но не пропорцио-

нальны свободным членам: a1 = b1 ≠ с1 , в этом случае система линей-

а2 b2 с2

ных уравнений не имеет решений (так как мы имеем противоречивые уравнения).

25

В первой системе коэффициенты не пропорциональны: 75 ≠ −43 , сле-

довательно, система имеет одно решение. Во второй системе коэффици-

енты и свободные члены пропорциональны: 62 = 93 = 155 , поэтому система

имеет бесконечно много решений. Если разделить оба равенства во втором уравнении на 3, то получим два одинаковых уравнения. В третьей системе коэффициенты пропорциональны, но не пропорциональны сво-

бодным членам: 84 = 105 ≠ −14 – система не имеет решений. Если разде-

лить оба равенства во втором уравнении на 2, то получим два противоречивых уравнения: 4х+5у =1 и 4х+5у = −2 .

3.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Решите уравнения:

Решение:

а) дроби равны, числители дробей равны, следовательно, знаменатели тоже равны:

9х+2 =8х−4 9х−8х = −4 −2 х = −6 ;

б) учитывая область допустимых значений неизвестного х: х ≠ 5 и 3 −2х ≠ 0 , т.е. х ≠1,5 , преобразуем дробь по свойству пропорций:

2 (3 −2х)=3 (х−5) 6 −4х =3х−15 х =3 .

Ответ: а) х = −6 ; б) х = 3 .

2. Решите уравнение (х− 2)2 (х−8)+(х− 2)4 = 0 .

Решение. Разложим левую часть равенства на множители. Для этого вынесем за скобки общий множитель (х−2)2 :

(х−2)2 (х−8)+ (х− 2)4 = (х− 2)2 (х−8 + (х− 2)2 )= (х− 2)2 (х2 −3х− 4).

26

Первое уравнение – линейное, его решение х = 2 . Второе равенство совокупности является квадратным уравнением. Решим его, найдя пред-

и разложим трёхчлен на множители, используя корни уравнения:

3у2 +2у−1 =3(у−13)(у+1) или 3у2 +2у−1 =(3у−1)(у+1);

б) разложим второе слагаемое на сумму −3х = −х− 2х и сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

х3 −3х−2 = х3 − х− 2х− 2 = х(х2 −1)−2(х+1)= х(х−1)(х+1)−2(х+1)=

=(х+1)(х(х−1)−2)= (х+1)(х2 − х−2);

тогда квадратный трёхчлен х2 − х−2 можно разложить на множители х2 − х−2 = (х−2)(х+1), поэтому

х3 −3х−2 =(х+1)(х−2)(х+1)=(х+1)2 (х−2).

Ответ: а) (3у−1)(у+1); б) (х+1)2 (х−2).

27

Решение. Выделим в числителе полный квадрат:

4 т2 +12т + 9 = (2т)2 + 2 2т 3 + 32 = (2т + 3)2 .

Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе на множители, решив

Ответ: 2тт−+23 .

5х+4у =1,

5. Решите систему уравнений

7х−3у =10.

Решение. Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную х:

и подставим во второе уравнение:

Переменная у найдена, подставляем её в выражение для х:

x = 1− 4(−1) , x =1. 5

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения системы на (–7), а второго – на 5:

28

Сложим уравнения системы: −43у = 43, тогда у = −1 . Находим х, подставив, например, в первое уравнение:

x = 1− 4(−1) , x =1. 5

Ответ: х =1, у = −1 .

3.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1.Решите уравнения:

29

4. ГЕОМЕТРИЯ

Изучение геометрии обладает высоким развивающим потенциалом, способствует формированию пространственного воображения и логического мышления. При недостаточном уровне геометрической подготовки выпускников школ изучение таких разделов высшей математики, как векторная алгебра и аналитическая геометрия, без геометрических знаний просто невозможно.

Рассмотрим некоторые геометрические понятия, формулы и методы, обеспечивающие усвоение курса высшей математики, но при этом являющиеся наиболее проблемными в усвоении курса школьной геометрии. Так, соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника используются при изучении векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального исчисления, комплексных чисел и т.д. Площади плоских фигур вычисляются при решении задач векторной алгебры, аналитической геометрии, интегрального исчисления и т.д. Векторные и координатные методы решения задач являются эффективными методами не только в геометрии. При правильном подходе координатный метод позволяет решать многие математические, физические, технические и экономические задачи.

4.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Впрямоугольном треугольнике с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 4.1) справедливо соотношение между сторонами (теорема Пифагора):

a2 +b2 = c2 .

Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника с острым углом φ. Пусть а – катет, противолежащий углу φ, b – прилежащий к углу φ (см. рис. 4.1), тогда справедливы сле-

30