Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова

МАТЕМАТИКА: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Практикум

Воронеж 2022

ВВЕДЕНИЕ

При написании практикума авторы использовали опыт проведения практических занятий по курсу «Математика» для различных специальностей Воронежского государственного технического университета. В частности, данный практикум предназначен для студентов очной формы обучения направления подготовки бакалавров «Технология неорганических и полимерных композиционных материалов» и написан в соответствии с рабочей программой этой специальности, но может быть использован и для студентов других специальностей.

В практикуме представлен материал, который изучается в первом семестре. Цель работы – помочь студентам усвоить и закрепить основные положения линейной алгебры, аналитической геометрии и начала анализа.

При написании практикума авторы стремились изложить материал по возможности полно, строго и доступно. Представленная работа направлена на совершенствование учебного процесса и способствует целенаправленному использованию знаний математики. Практикум поможет студентам лучше усвоить теоретический материал, даст возможность самостоятельно научиться решать типовые задачи, подготовиться к экзамену или зачету.

По каждому разделу приведены примеры решения задач, а также многочисленные задачи для контроля усвоения материала. Ко всем рекомендуемым для самостоятельного решения задачам приведены ответы. Поэтому представленный практикум полезно использовать преподавателями для проведения практических занятий.

Все приведенные в работе иллюстрации являются авторскими.

1. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Литература: [I, приложение, §§ 1,3,4; 2, гл. 21, §§ 2-9, § 15;3, гл. 1, §§5, гл. 2,4].

1.1. Матрицы. Действия с матрицами

матрицей.

3

Здесь aij – действительные числа (i =1, 2, …, m, j =1,2, …,n), называемые

элементами матрицы, i и j – соответственно индексы строки и столбца. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m ×n .

Втом случае, когда m = n (число строк равно числу столбцов) матрица

Аназывается квадратной.

Упорядоченная совокупность элементов a11,a22, ..., ann называется глав-

Матрицы А и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность, а элементы матриц с одними и теми же индексами равны, то есть

A = B , если aij = bij (i =1,2,...,m; j =1,2,...,n).

Суммой прямоугольных матриц А и В одинаковых размеров ( m ×n ) называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов А и В: C = A + B, cij = aij + bij .

Из определения сложения матриц вытекают переместительное и сочетательное свойства: A + B = B + A , (A + B) + C = A + (B + C).

λ[aij ]= [λaij ]

Имеют место равенства

(α + β)A = αA + βA, α(A + B) = αA +αB

4

Произведением матриц A = [aij ] и B = [bij ] называется матрица С, элементы которой [cij ] равны сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на элементы j -гo столбца матрицы B :

Из определения следует, что произведениеАВв указанном порядке возможно лишь в случае, когда число столбцов матрицыАравно числу строк матрицы В.

Для единичной матрицы E , всегда AE = EA = A.

В общем случае произведение матриц не обладает переместительным свойством, то есть AB ≠ BA. Если умножения возможны, то справедливы следующие равенства:

1)A(BC) = (AB)C (сочетательный закон произведения);

2)α(AB) = (αA)B (сочетательный закон относительно скалярного

множителя);

3) (A + B) C = AC + BC, C (A + B) = CA +CB (распределительные законы).

l.2. Вычисление определителей

Любой квадратной матрице А размером n ×n ставится в соответствие по определенному правилу некоторое число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка. Порядок определителя – это число строк или столбцов определителя. Начнем с определителя второго порядка.

Пусть дана матрица А= a11 a12 . Тогда ее определитель второго поряд-

a21 a22

ка вычисляется по формуле

5

Для вычисления определителя любого порядка применяют способ раз-

ложения определителя по какой-либо строке или столбцу. Введем следующие математические понятия. Минором элемента aij определителя n-го порядка

называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, и обозначается это число Mij . Алгебраическим дополнением

любого элемента определителя называется число, равное: Aij = (−1)i+ j M ij .

Разложение определителя по какой-либо строке или столбцу. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца) равна величине этого определителя.

Определитель 3-го порядка разложим по первой строке

Пример. Вычислить определитель третьего порядка

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Пример. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение. Разложить определитель можно по любой строке (столбцу). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой больше элементов, равных нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней опр е- делителя имеет вид

6

=3(1 +40 - 112) + 2(-5 + 32 - 54) = 3(-71) + 2(-27) = -213 - 54 =-267.

1.3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Одним из методов решения системы линейных алгебраических уравнений является метод, основанный на теореме Крамера. Рассмотрим его на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными

a11x + a12 y + a13z =b1a21x + a22 y + a23z =b2.a31x + a32 y + a33 y =b3

a11 a12 a13

Составим определитель системы ∆ = a21 a22 a23 ,

a31 a32 a33

а также вспомогательные определители

Теорема (теорема Крамера). Если определитель системы ∆ отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера

Если определитель системы равен нулю ∆ = 0 , а хотя бы один из всп омогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений несовместна.

7

Если определитель системы ∆ = 0 , и все вспомогательные определители равны нулю ∆x = 0 , ∆y = 0 , ∆z = 0 , то система уравнений имеет бесчисленное

множество решений.

Пример. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера

x + 2y + 3z =34x + y + 4z =53x + 5y + 2z =8

Решение. Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы:

1.4. Обратная матрица.

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Квадратная матрица, обозначаемая A−1, называется обратной матрице

A, если A A−1 = A−1 A = E .

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, то есть чтобы определитель матрицы был не равен нулю. Обратная матрица определяется по формуле

8

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида A X = B или Y A = B . Умножая первое уравнение слева, а второе справа на

матрицу A−1, получим X = A−1 B , Y = B A−1. Пример. Решить систему уравнений

2x +5y + 7z =14,6x +3y + 4z =13,

5x − 2y −3z = 0.

Решение. Вычислим определитель системы: ∆ = −1 ≠ 0, следовательно, матрица системы невырожденная. Запишем систему в матричной форме, для чего введем матрицы системы, неизвестных и свободных членов:

но, ее решение X = A−1 B . Для нахождения обратной матрицы A−1 вычислим алгебраические дополнения:

9

Таким образом, обратная матрица имеет вид

Найдем матрицу решений

Имеем: x =1, y =1, z =1. Подставив найденное решение в исходную систему уравнений можно убедиться в правильности полученного результата.

1.5. Метод Гаусса

Пусть дана система n уравнений с m неизвестными

матрицу системы А столбцом свободных членов:

Теорема (теорема Кронекера-Капелли; критерий совместности систе-

мы). Система линейных алгебраических уравнений совместна (имеет решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

10