Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

15. Вычислить работу силы F = i + 2 j + k при перемещении материальной

точки из положения А(−1;2;0) в положение С(2;1;3).

16. Вычислить косинус угла, образованного векторами a = {2;−4;−4} и

b= {−3;2;6}.

17.Даны вершины треугольника A(−1;−2;4) , B(−4;−2;0) и C(3;−2;1). Опре-

делить его внутренний угол при вершине B .


23. a = b = 5, (a,b) = π . Вычислить площадь треугольника, построенно-
4
го на векторах (a − 2b ) и (3a + 2b ).
24. Заданы векторы a1 ={3;−1;2} и	a2 ={1;2;−1}. Найти координаты век-
торов: а) [a1 ×a2 ]; б) [(2a1 + a2 ) ×a2 ]; в)	[(2a1 − a2 ) ×(2a1 + a2 )].

25.Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1;1;1), В(2;3;4) и

С(4;3;2).

26.В треугольнике с вершинами А(1;−1;2), В(5;−6;2) и С(1;3;−1). Найти

высоту h = BD .

29. Векторы a1, a2 , a3 образуют правую тройку, взаимно перпендику-

лярны и a1 = 4, a2 = 2, a3 = 3. Вычислить ([a1 ×a], a3 ).

30. Вектор c перпендикулярен к векторам a и b , угол между a и b ра-

вен 30 . Зная, что

= 6 ,

= 3,

= 3, вычислить ([a ×

],c ).

32.

Вычислить

объем

тетраэдра

OABC,

если

= 3i

+ 4 j; OB = −3 j + k ; OC = 2

+5k

33.

Установить компланарны ли векторы

а)

a = {2;3;−1},

= {1;−1;3},

c = {1;9;−11};

б)

a = {3;−2;1},

= {2;1;2},

c = {3;−1;−2};

в)

a = {2;−1;2},

= {1;2;−3}, c = {3;−4;7}.

35.В тетраэдре с вершинами в точках А(1;1;1), В(2;0;2), С(2;2;2), D (3;4;-3) вычислить высоту h = DE .

36.Доказать, что четыре точки А(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1) и D(2;1;3)

лежат в одной плоскости.

Ответы

= {− 4;3;−1},

= {4;−3;1}.

4. cosα =

cos β

cos

γ = 12 .

а) {5;−3;6}; б)

{0;−1;12}; в)

3;−

5 ;2 . 9.

a =

;− 2

;−

10.

a +

= 6 ,

a −

=14. 11. а) -6; б) 9; в) 13;

г) -61; д) 73. 12.

(a,

)+ (

,c )+ (c, a )= −13.

13. α

= arccos

. 14. а) -524;

б) 13; в) 3. 15. 4. 16. cosϕ =

. 17. 45 .

1 ;−

18.

+ 10

+ 2

. 20. 1;

. 21. (−3;3;3).

+10k

+ 2k

x = −5i

. 19. x = 2i

22. a)

3; б) 3

3; в) 10

3. 23. 50 2. 24. а) {−3,5,7}; б) {−6;10;14};

в) {−12;20;28}. 25. 2

27. {−6;−24;8}. 28. {7;5;1). 29. 24.

6. 26.

30.

([a ×

],c )=

± 27 . 32.

17 .

33.

а) Компланарны;

б)

не компланарны;

в)

компланарны. 34. 6.

35. 3

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Литература: [1, гл. 12, §§ 63-67]; [4, гл. 3, § 1].

3.1.Уравнение плоскости

Ваналитической геометрии одним из способов задания плоскости является фиксация точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) и вектора n ={A, B,C}, перпендикулярного

плоскости и называемого нормальным вектором.

Если M (x, y, z) – произвольная точка плоскости, то векторы n и

M 0M ={x − x0 , y − y0 , z − z0} перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0

(3.1)

- уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) . Обозначив Ax0 − By0 − Cz0 = D , получим общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0.	(3.2)
Если три точки плоскости M1(x1, y1, z1),	M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M3(x3, y3, z3)

не лежат на одной прямой, то три вектора M1M , M1M 2 , M1M3 , где M (x, y, z) –

произвольная точка плоскости, компланарны, а, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Таким образом, получаем уравнение плоскости, прохо-

дящей через три заданные точки

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1	z − z1	= 0 .	(3.3)
y − y1	z − z1
y2 − y1	z2 − z1
y3 − y1	z3 − z1

Для построения плоскости удобно использовать уравнение плоскости в

«отрезках»

=1,

(3.4)

получаемое из общего уравнения, где a =

− D

;

b =

− D

;

c =

− D

Уравнение плоскости в нормальном виде

x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0

(3.5)

используется тогда, когда задано расстояние от начала координат до плоскости и углы α, β, γ между нормальным вектором и осями координат Ox, Oy, Oz .

Для приведения общего уравнения плоскости (3.2) к виду (3.5) нужно обе его части умножить на величину

µ = ±	1	,

	A2 + B2 +C 2

причем знак нужно выбирать противоположным знаку D.

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости (3.2) определяется по формуле

d =	Ax0	+ By0 +Cz0 +	D	.	(3.6)
		A2 + B2 +C 2

Пример. Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oy и проходящей через точки M1(2,1,−2) , M 2 (−7,−2,1) .

Решение. Поскольку искомая плоскость проходит через точку M1(2,1,−2) , то используя уравнение (3.1), имеем

A(x − 2) + B(y −1) + C(z + 2) = 0.

Так как искомая плоскость параллельна оси Oy , то нормальный вектор n ={A, B,C} плоскости с одной стороны имеет координаты n ={A,0,C}, а с

другой - перпендикулярен вектору M1M 2 ={−9,−3,3}. Тогда их скалярное произведение равно нулю, следовательно −9A +3C = 0; C = 3A. В результате

A(x − 2) + 0(y −1) +3A(z + 2) = 0 или x +3z + 4 = 0.

Пример. Плоскость проходит через точку P(3,3,-4) и отсекает на оси абсцисс отрезок a = −3, а на оси аппликат отрезок c = 2. Составить уравнение плоскости.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости в “отрезках” (3.4). Полу-

чим

=1. Так как точка Р лежит на плоскости, то ее координаты

−3

− 4

удовлетворяют уравнению плоскости. Следовательно,

=1. Отсюда

−3

b = 2

искомое уравнение плоскости имеет вид

или

−3

2x −3y −3z + 6 = 0 .

3.2. Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны уравнения двух плоскостей

A1x + B1 y +C1z + D1 = 0, A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

Угол между плоскостями определяется по формуле

cosϕ =		A1A2 + B1B2 +C1C2						.	(3.7)

	A2	+ B2	+C 2
					A2	+ B2	+C 2
1		1	1	2		2	2

Условие параллельности плоскостей (коллинеарности нормалей n1 и n2 ) имеет вид

A1 = B1 = C1 ,

A2 B2 C2

а условие перпендикулярности плоскостей (равенство нулю скалярного произведения нормалей n1 и n2 ) имеет вид

A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0.

(3.8)

Задачи для самостоятельного решения: [4, №№ 915, 191, 921, 925, 927, 928, 941, 948, 958, 960, 964].

3.3. Уравнение прямой линии в пространстве

Совокупность уравнений, определяющих две непараллельные плоскости, задает общее уравнение прямой

A1x + B1y +C1z + D1 = 0,						(3.9)
A x		+ B y +C	2	z	+ D = 0.	(3.9)
	2	2	2		2
Если задана точка	M 0 (x0 , y0 , z0 ) ,				принадлежащая прямой, и	вектор

q ={l,m,n}, параллельный прямой и называемый направляющим вектором, то

каноническое уравнение прямой имеет вид

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(3.10)


l		m		n

Уравнение (3.10) представляет собой условие коллинеарности векторов M 0M ={x − x0 , y − y0 , z − z0} и q , где M (x, y, z) произвольная точка прямой.

Пример. Привести к каноническому виду общее уравнение прямой

x − 4y + 5z −1 = 0,

2x + 3y + z + 9 = 0.

Решение. Найдем сначала точку, лежащую на прямой, задаваемой пересе-

чением двух плоскостей. Положив	z = 0 , будем и меть	x − 4y =1,		Отсюда
			3y = −9.
		2x +

x = −3, y = −1. Итак, определена точка (-3,-1,0), через которую проходит прямая. Найдем направляющий вектор q прямой. Так как q коллинеарен прямой,

а нормальные векторы плоскостей

n1 = {1,−4,5} и n2 = {2,3,1} перпендикулярны

прямой, то в качестве q можно взять векторное произведение нормалей

q = [n

×n

1 − 4 5

= −19i

+ 9 j +11k .

В соответствии с формулой (3.10) запишем каноническое уравнение пря-

мой

x +3

y +1

−19

Если условие коллинеарности векторов M 0M и q записать используя

параметр t , определяемый равенством M 0M = tq , то получим параметриче-

ское уравнение прямой линии

x = x0 +lt , y = y0 + mt , z = z0 + nt .

(3.11)

Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Пример. Даны прямая x −1 2 = y 2−3 = z −1 4 и плоскость x + 2y + z −6 = 0 .

Найти точку их пересечения.

Решение. Задача сводится к определению координат точки х, у, z из трех

данных уравнений. Полагая	x − 2	=	y −3	=	z − 4	= t , имеет x = 2 +t ,	y = 3 + 2t ,
	1		2
				1

z = 4 +t . Подставляя эти выражения в левую часть уравнения данной плоско-

сти, получим (2 + t) + 2(3 + 2t) + (4 + t) −6 = 0 .

Решая это уравнение, находим: t = −1, следовательно, координаты иско-

мой точки будут x =1,

y =1,

z = 3.

Пусть даны канонические уравнения двух прямых

x − x1

y − y1

z − z1

x − x2

y − y2

z − z2

Угол между двумя прямыми вычисляется по формуле

cosϕ =

l1l2 + m1m2 + n1n2

(3.12)

+ m2 + n2

+ m2

+ n2

Условие перпендикулярности прямых имеет вид

l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 .

(3.13)

3.4. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть даны уравнения прямой и плоскости

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	,	Ax + By + Cz + D = 0.

l		m		n

Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость

Al + Bm + Cn

sinϕ =

A2 + B2 + C 2 l 2 + m2 + n2

Условие параллельности прямой и плоскости

Al + Bm +Cn = 0 ((n,q)= 0) ,

а условие перпендикулярности

Al = mB = Cn .

Условие принадлежности прямой плоскости

Al + Bm + Cn = 0;

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

Пример. Найти проекцию точки P(4,3,10) на x 2−1 = y 4− 2 = z 5−3 .

Решение. Пусть точка М - точка пересечения данной прямой с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку P . Так как вектор q = {2,4,5} - перпендикуляр к этой плоскости, тo его можно выбрать в качестве


нормального вектора	q = n . Таким образом, уравнение искомой плоскости
имеет вид 2(x − 4) + 4(y −3) + 5(z −10) = 0 или				2x + 4y +5z −70 = 0 .
Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью запишем урав-
нение прямой в параметрическом виде (3.11)				x =1+ 2t ,	y = 2 + 4t , z = 3 +5t и
подставим	x, y, z	в	уравнение		плоскости.	Тогда

2(1+ 2t) + 4(2 + 4t) +5(3 +5t) −70 = 0 , то есть t =1.

Подставляя найденное значение параметра t в параметрическое уравнение прямой и получаем M (3,6,8) .

Задачи для самостоятельного решения: [4, №№ 1008, 1010, 1019, 1021, 1022, 1025, 1034, 1039, 1040, 1044, 1046, 1044, 1050. 1053].

Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку

M1(2;1;−1) и имеет нормальный вектор n = {1;−2;3}.

2.Даны точки M1(3;−1;2) и M 2 (4;−2;−1). Составить уравнение плоско-


сти, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору										.
									M1M 2
3.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М параллель-
но векторам a1			и a2 , если: а)			M (1;1;1) ,	a1 ={0;1; 2}, a2 ={−1; 0;1};				б)
M (0;1;2) ,		a2 ={2; 0;1}, a2 ={1;1; 0}.
4.	Написать уравнение плоскости Р′,						проходящей через заданные точки
М1 и М2		перпендикулярно заданной плоскости Р, если:
Р: − x + y −1 = 0,				M1(1; 2; 0),		M 2 (2;1;1).
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и M 2											па-
раллельно вектору				a	, если: M1(1; 2; 0), M 2 (2;1;1),			a ={3; 0;1}.
6.	Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
М1, М2 ,		M 3 ,	если M1(1; 2; 0), M 2 (2;1;1), M3(3; 0;1).
7.	Составить уравнение					плоскости,	которая	проходит через точку
M1(3;−2; - 7) параллельно плоскости 2x −3z +5 = 0.
8.	Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих
пар плоскостей 6x + 3y − 2z = 0,						x + 2y + 6z −12 = 0.

9. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3x − 4y − 24z +12 = 0 на коор-

динатных осях.

10. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость

5x −6y +3z +120 = 0 от координатного угла XOY .

11.Вычислить расстояние d от точки P(−1;1;−2) до плоскости, проходя-

щей через точки M1(1; -1;1),

M 2 (−2;1;3), M 3 (4;-5; - 2).

12. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

M 0 (2; 0; −3) параллельно:

x −1

y + 2

z +1

а) вектору q ={2; −3; 5};

б) прямой

;

−1

в) оси Ох; г) оси Оz;

д) прямой

3x − y + 2z − 7 = 0,

x + 3y − 2z −3 = 0;

е) прямой x = −2 + t, y = 2t,

z =1−

13. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через две за-

данные точки М1 , М2 , если:

а) М1(1; − 2;1), М2 (3;1; −1);

б) М1(3; −1; 0),

М2 (1; 0; −3).

14. Прямая L задана общим уравнением. Написать для этой прямой канонические уравнения, если:

24. При каком значении

а)

L: x − 2y + 3z − 2 = 0,

б)

L: 5x + y + z = 0;

15.

3x + 2y −5z − 4 = 0;

2x + 3y − 2z + 5 = 0.

Доказать параллельность прямых:

x + 2

y −1

x + y − z = 0,

5z −8 = 0;

16.

− 2 1

x − y −

Доказать перпендикулярность прямых:

y −1

3x + y −5z +1 = 0,

− 2

2x +3y −8z + 3 = 0;

17. Определить косинус угла между прямыми:

x −3

y + 2

x + 2

y −3

z +5

;

18.

−1

Доказать, что прямые

2x + 2y − z −10

= 0,

x + 7

y −5

z −9

L :

−1

x − y − z − 22 =

параллельны и найти расстояние ρ (L1, L2 ).

x = 3t

− 2,

19.

Доказать,

что

прямая

параллельна

плоскости

y = −4t +1,

4x −3y −6z −5 = 0.

z = 4t −5

20.

Доказать,

что прямая

5x −3y + 2z −5 = 0,

лежит

плоскости

2x − y − z −1 = 0

4x −3y + 7z − 7 = 0 .

21.Найти точку пересечения прямой и плоскости:

x −1	=	y +1	=	z	,	2x +3y + z −1 = 0 ;
1		− 2		−6

22.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2;−3;−5) перпендикулярно к плоскости 6x −3y −5z + 2 = 0 .

23.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1;−2;1)

перпендикулярно к прямой

кости 2x − y +Cz − 2 = 0.

x − 2y + z −3 = 0,

x + y − z + 2 = 0.

3x −

C прямая

4x −

2y + z +3 = 0, параллельна плос- 3y + 4z +1 = 0

25. При каких значениях A и B плоскость Ax + By +3z −5 = 0 перпенди-

	x = 2t +3,
кулярна прямой
кулярна прямой	y = −3t +5,

	z = −2t − 2.

26.Найти проекцию точки P(5;2;−1) на плоскость 2x − y +3z + 23 = 0.

27.Найти точку Q , симметричную точке P(1;3;−4) относительно плоскости 3x + y − 2z = 0.

28.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1;2;−3)

параллельно прямым

x −1

y +1

z −7

x +5

y − 2

z +3

−3

− 2

−1

Ответы

1. x − 2y +3z +3 = 0. 2. x − y −3z + 2 = 0. 3. а) x − 2y − z = 0;

б) − x + y + 2z −5 = 0. 4. x + y −3 = 0. 5. − x + 2y −3z + 3 = 0. 6. x + y −3 = 0.

2x −3z − 27 = 0.

8. π .

a = −4,

b = 3,

c = 1

. 10. 240. 11.

d = 4.

12. а)

x −2

z +3

; б)

x − 2

z +3

;в)

x − 2

z +3

; г)

x − 2

z + 3

;

−3

−1

д)

x − 2

z + 3

;

е)

x − 2

z +3

. 13. а)

x −1

y + 2

z −1

;

− 4

−1/ 2

− 2

б)

x −3

y +1

. 14. а)

x −3/ 2

y +1/ 4

;

б)

y +1

z −1

− 2

−3

−5

17. cosϕ = 60 ; 18. 25. 21. (2;-3;6);

22.

x − 2

y +3

z +5

. 23. x + 2y + 3z = 0.

−3

−5

24. C = −2

. 25. A = −3, B =

9 . 26. (1;4;-7). 27. Q(−5;1;0). 28. 9x +11y +5z −16 = 0.

Типовые расчеты к разделам 2-3

Задача 1

Написать разложение вектора

по векторам

1.1.x ={-2;4;7}, p ={0;1;2}, q ={1;0;1}, r ={-1;2;4}.

1.2.x ={6;12;-1}, p ={1;3;0}, q ={2;-0;1}, r ={0;-1;2}.

1.3.x ={1;-4;4}, p ={2;1;-1}, q ={0;3;2}, r ={1;-1;1}.

1.4.x ={-9;5;5}, p ={4;1;1}, q ={2;0;-3}, r ={-1;2;1}.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]