Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

убывает на (−1;1) .

1) При

– минимум , f

= −

;

2) при

x =

–

минимум,

= −

3) при

x = −1

– минимум,

f (−1)

= −

; при

x = 0 –

f (3) = −37

максимум, f (0) = 2 ; при

x = 3 – минимум,

; 4) при x = −1 – мини-

мум,

f (−1) = −

; пр и

x =1 – максимум, f (1) = 1 ; 5)

при

x = 0 – минимум,

ah .

f (0) = 0 при x = 2 – максимум f (2) = 4e−2 .

4. 30×30 м.

и 5.

4πR3 .

a .

×3

. 9.

10.

πR2h. 11.

4 +π

12. 2π

. 13.

14.

1) При

x = 2 –

точка перегиба,

на

(−∞, 2)

–

2) при x = −2

x =1 – точки переги-

выпуклость вверх, на (2; + ∞) − вниз;

ба, на (−∞; − 2) – выпуклость вниз, на

( −2,1) –

вверх,

на (1; + ∞) − вниз;

на (−∞;+∞) − выпуклость вниз, точек перегиба нет;

4) при

x = −1

x =1 –

точки перегиба, на (−∞; −1) − выпуклость вверх, на (−1;1)

– вниз, на

(1; + ∞) −

вверх; 5)

при

x =

− точка перегиба,

– выпуклость вверх, на

на

−

вниз;

на

(−∞; + ∞) выпуклость вниз,

точек перегиба нет.

15.

;+∞

a = −3.

16.

а = ±2.

17.

x =1 – вертикальная асимптота,

у = 5

− гори-

зонтальная;

x =

– вертикальная асимптота,

y = x +

– наклонная;

x = ±1 − вертикальные асимптоты,

y = 2x +1 – наклонная;

x = 0

− верти-

кальная асимптота,

y = x +1 –

наклонная.

18. При

x = −1 − максимум,

y = 2 ;

при

x =1 – минимум,

y = −2 ; при

x = 0 – точка перегиба. 19. При

x = 2 − максимум,

y =16 ; при x = −2

− минимум,

y = −16; при

x = 0 – точка

перегиба.

20.

При

x = −2 − максимум,

y = 4 ;

при x = 0 − минимум,

y = 0 ;

при x = −1 – точка перегиба. 21.

При

x = ±2 − минимум,

y = −4 ; при

x = 0 −

максимум,

y = 0 ; при

x = ±

– точки перегиба.

22. Область определения

функции

(−∞, 0).

При x = −1 − максимум,

y =1

на (−∞,

0) – выпуклость

вверх.

23.

Область определения

функции

(−∞; 1);

при x =

− максимум,

y =

;

на

(−∞, 1) – выпуклость вверх. 24. При x = 2 − максимум, y =

;

1 – точка перегиба;

при x ≈ 4

y = 0 – горизонтальная

асимптота при x → +∞.

25. Область определения

≥1;

y = 2x и y = −2x

– наклонные асимптоты при

x → +∞

при x → −∞. 26. Область определения

≥1;

y = 0 – горизон-

тальная асимптота.

27.

При

x = 0

− минимум,

y = −1.

28. При x = 0 −

максимум,

y = 0 ;

при

x =1 − минимум,

y = −1. 29. При x =1 − минимум,

y =1. 30.

При x = 2 − минимум,

y = −23

; при x = 2 − максимум, y = 23

;

при

x = 0

–

точка перегиба;

y = 0 –

горизонтальная асимптота.

31.

При

x = ±2 − минимум,

y = 23 2 ;

при x = 0 − максимум,

y = 23 4 . 32.

При x =

− максимум,

y =

3 3

;

при

x =1 − минимум,

y = 0 ; при

x = 6

– точка пе-

региба.

33.

Экстремальных точек нет; x = ±1

− вертикальные асимптоты,

y = 0 − горизонтальная асимптота.

34. Экстремальных точек нет, x = ±2 −

вертикальные асимптоты, y = 0 – горизонтальная асимптота.

35. При x =

−

y = 3 3

максимум,

; при x = 0 − минимум,

y = 0 ; при x = −1

– точка пере-

y = 1

y = −1 ;

гиба. 36. При x =1 − максимум,

; при

x = −1

− минимум,

при

x = 0,

x = ±

– точки перегиба;

y = 0 – горизонтальная асимптота. 37. При

x = 0 − минимум,

y = −1; при

x =1 – вертикальная асимптота,

y = 0 – гори-

зонтальная асимптота.

38. При x =1 − максимум,

y =1;

при x = 1 – точка

x = 2 – вертикальная

перегиба;

асимптота,

y = 0 – горизонтальная асимпто-

та.

39. При

x = −1 − максимум,

y = 2 ;

при x =1 − минимум,

y = 0 ; при x = 0,

x = ±

– точки перегиба; y =1 – горизонтальная асимптота. 40. При x = 0 −

максимум,

y = 0 ;

при

x = ±1 – вертикальные

асимптоты,

y =1 – горизон-

тальная асимптота.

41.

При x = −1 − максимум,

y = 0 ;

x = 0,

x = −2

–

вертикальные асимптоты, y = 1 – горизонтальная асимптота.

42. При x = 2 −

максимум,

y = 2

;

при

x = 4 – точка перегиба;

y = 0 – горизонтальная асим-

птота при х → +∞.

43. При x =1 − минимум,

f(1) = e; точек перегиба нет;

x = 0

–

вертикальная

асимптота,

y = 0

–

горизонтальная

асимптота

при

х→ −∞ .

44. При x =

−

минимум,

y =

; точек перегиба нет;

x = 0 – вер-

тикальная асимптота при

х → 0+;

lim x2e1/ x = 0 .

45. При

x = 0 – максимум,

x→0−

y =1;

при x = −1 – точка перегиба;

y = 0 – горизонтальная асимптота. 46.

При x =1 − максимум,

y =

;

при

x = −1 − минимум,

y = −

;

при

x = ±

– точки перегиба; y = 0 – горизонтальная асимптота. 47.

При x = −3

− минимум, y = − 27 ;

x = −3 ±

–

точки перегиба; y = 0

–

горизонтальная

27 ;

асимптота при х → −∞.

48.

При

x = 3

−

максимум,

y =

при

x = 0,

x = 3 ±

– точки перегиба;

y = 0 – горизонтальная асимптота при x → +∞.

49. При x = 2 − максимум, y

= −

x =1

– вертикальная асимптота,

y = 0 –

;

горизонтальная асимптота при х → −∞. 50.

При x = −3 − минимум,

y =

при

1 e ; x = ±

x =1 − максимум, y = −

– вертикальные асимптоты; y = 0 – гори-

х → +∞. 51. Экстремальных точек нет,

x = 0– вер-

зонтальная асимптота при

тикальная асимптота,

y = ±1 − горизонтальные асимптоты,

>1.

52. Экстре-

мальных точек нет. При

x = 0

–

точка перегиба, y = ±1

− горизонтальные

асимптоты;

<1. 53. При x = −4 – максимум,

y = −2e4 ;

x = −3 – вертикаль-

ная асимптота, y = 0 – горизонтальная асимптота при х → +∞.										54. При x = ±1
− максимум, y = 1 ;		при x = 0 – минимум,				y = 0 ;		y = 0 – горизонтальная асим-
	e						1			y = −1 ; (1;0) –
птота; функция неотрицательная.				55. При		x =		− минимум,
							e				e
точка пересечения с осью Ох;			lim	y = 0 , точек перегиба нет.						56. При x =1 −
			x→0+		x = 0 − вертикальная асимптота при
минимум,	y =1; функция положительна,
x → 0 +.	57. При	x =1 − максимум,			y =1;		при x = e1 2 − точка перегиба;
x = 0 − вертикальная асимптота при x → 0 +,							y = 0 – горизонтальная асим-
птота при х → +∞. 58. При x =1 − минимум,							y = 0 ; при x =			1	– максимум,

									e2

y =

;

lim y = 0;

функция

неотрицательна.

59.

При

x = 1

− максимум,

→0+

y =

; при x =1 – минимум,

y = 0 , при x ≈

x ≈

− точки перегиба;

1 2

функция неотрицательна. 60. При x = e − минимум,

y = e; при x = e2 – точка

перегиба;

lim

y = 0;

x =1 – вертикальная асимптота.

61.

При

x =1+

−

→0+

максимум,

y =

; при

x =1+

– точка перегиба;

x =1 –

вертикальная

y = 0 - горизонтальная асимптота при

х → +∞. 62.

асимптота

при x →1+,

При x =1 − минимум, y = 2

; при x = −1 – максимум, y = −2 ; x = 0 – верти-

кальная асимптота, y = x

–

наклонная асимптота. 63. При x = 0 − максимум,

y = 0; при x = 4 – минимум,

y =8; x = 2 – вертикальная асимптота, y = x + 2 –

наклонная асимптота. 64. При

х= −3 − максимум,

y = − 49

; при x =1 – мак-

симум,

y = 5 ;

при

x = 2 –

минимум,

y =

9 ;

при x =

– точка перегиба;

x = 0 -

вертикальная асимптота, y = 1 x − 5

– наклонная асимптота.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Практикум содержит теоретический материал, необходимый для решения прикладных задач, который иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения и типовых расчетов.

Рассотренные разделы высшей математики являются базовыми и входят в обязательный перечень тем, необходимых для успешного освоения специальных дисциплин по направлению 18.03.01 «Химическая технология» (профиль «Технология неорганических и полимерных композиционных материалов»).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – СПб., Изд-во «Профессия», 2006. – 432 с.

2.Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. –

М.: Наука, 1969. – 272 с.

3.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1. – 304 с.

4. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. – М.: Наука, 1994.

5.Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты / Л. А. Кузнецов. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 240 с.

6.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления /

Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. Т.1. – 432 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………...………………………………………….…….3 1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений……….……...3 l.1. Матрицы. Действия с матрицами …………………………………….……...3

1.2.Вычисление определителей. …………………………..…………………….5

1.3.Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера…………….7

1.4.Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений

матричным методом ………………………………………………………….......8 1.5. Метод Гаусса…………………………………………………………….…..10

Задачи для самостоятельного решения…………………………………………….15

2.Векторная алгебра ..………………………………………………………..17

Задачи для самостоятельного решения…………………………………………….20

Ответы …………………………………. ……………………………………21

3.Аналитическая геометрия в пространстве……………………………..22

3.1.Уравнение плоскости…………………………………………………..........22

3.2.Взаимное расположение плоскостей ...…………………………………….24

3.3.Уравнение прямой линии в пространстве …………………………...…….25

3.4.Взаимное расположение прямой и плоскости……………………………...26 Задачи для самостоятельного решения ...………………………………….28

Ответы …………………………………. …...…………………………………...30 Типовые расчеты к разделам 2-3 ....…………………………………………...30

4.Аналитическая геометрия на плоскости .………………………………42

4.1.Уравнение прямой на плоскости……………………………………………42

4.2.Кривые второго порядка: эллипс (окружность), гипербола, парабола…...44 Задачи для самостоятельного решения .…..……………. ……………….........47

Ответы ……………………………………………………………………………49

5.Предел функции ……………………………………………………………...50

5.1.Основные теоремы о пределах функции. Раскрытие простейших видов неопределенностей…….…………………………………..….……...50

5.2.Замечательные пределы …………………………….…………………........53

5.3.Раскрытие неопределенностей вида {0 ∞},{00 }{, ∞0 ………………….......54

Задачи для самостоятельного решения …………..………………..……….55

Ответы …………………………………. ………………………………........56 Типовой расчет к разделу 5……………………………………………….....52

7.Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал функции...........................………………………..………………….............64

Задачи для самостоятельного решения………….…….…………………..70

Типовой расчет к разделу 6 ………………………………………………...71

7. Исследование функций и построение графиков…………….……........75

Задачи для самостоятельного решения ……………………………….........78

Ответы ………………………….………. …………………………………...80 Заключение………………………………………………………………….84

Библиографический список ……………………..…….………………..85

Учебное издание

Бырдин Аркадий Петрович Сидоренко Александр Алексеевич Соколова Ольга Анатольевна

МАТЕМАТИКА: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Практикум

Редактор Ю. А. Ярцева

Подписано к изданию 27.05.2022 Объем данных 1,1 Мб.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» 394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]