Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

5.19.	lim			5x +3		.
			3	− 4x2 − х
	x→∞ x
5.21.	lim	2x2 −5x			+3		.
		3x		4 − 2x2	+ х
	x→∞
5.23.	lim			3x +1			.
			3	−5x2 + 4х
	x→∞ x
5.25.	lim	4x2 −10x + 7					.
				2x3 −3x
	x→∞

6.1.

lim

x2 + x −12

x − 2 −

4 − x

x→3

−

6.3.

lim

х+10

4 − х

2х2 − х− 21

x→−3

−

6.5. lim

3 + 2х

х+ 4

3х2 − 4х+1

x→1

6.7.

lim

3x2 + 4x +1

x +3 − 5 +3x

x→−1

−

6.9.

lim

2х+1

х+ 6

2х2 −7х−15

x→5

−

х2 + 2

6.11.

lim

х2 +1 −1

x→0

6.13.

lim

1+ x −

1− x

x→0

− 2

6.15.

lim

5 + х

x→−1 8 − x −3

− 2

lim

х−3

6.17. x→7

x + 2 −3 .

− 4

6.19.

lim

5х +1

x→3

х2 + 2х −15

5.20.	lim		3x4	+5x				.
5.20.	lim							.
	x→−∞ 2x2 −3x −7
5.22.	lim		2x5	− x	3		.
5.22.	lim	4x3 +		3x −6			.
	x→−∞	4x3 +		3x −6
	lim	2 − х−3x2
5.24.						.
5.24.			x3 −16			.
	x→−∞		x3 −16

Задача 6

6.2.

lim

х +12

−

4 − х

х2 + 2х −8

x→−4

−

6.4.

lim

2 − х

х + 6

х2 − х − 6

x→−2

6.6.

lim

x2 −3x + 2

5 − x −

x→2

6.8.

lim

2x2 −9x + 4

5 − x −

−3

x→4

−

6.10.

lim

3х +17

2х +12

x→−5

х2 +8х +15

−

6.12.

lim

7 − х

7 + х

x→0

−

6.14.

lim

2х+1

x→4

x − 2 −

−3

6.16.

lim

х+ 4

x→5

x −1 − 2

−3

6.18.

lim

4х −3

x→3

х2 −9

6.20.

lim

2 −

х2 + 4

3х2

x→0

6.21.

lim

х2 + 4

− 2

x2 +16 − 4

x→0

−5

6.23.

lim

2х + 7

3 −

x→9

6.25.

lim

x3 − 27

3x − х

x→3

х+ 4

−3х

7.1.

lim

х+8

x→∞

2х

−4х

7.3.

lim

x→∞ 1

+ 2х

2х+5

5х

7.5.

lim

2х+1

x→∞

х+ 2

1+2х

7.7.

lim

х+1

x→∞

2х

3х

7.9.

lim

2х−3

x→∞

7.11.

lim

х −1

3x+2

х + 4

x→∞

х− 2

2х−3

7.3.

lim

х+1

x→∞

lim

3х− 4

2х

7.15.

3х+ 2

x→∞

lim

2х− 4 −3х

7.17.

2х

x→∞

lim

х−7

4х−2

7.19.

х+1

x→∞

7.21.lim 2 −3хх х .

x→∞ 5 −3

6.22.

lim

5 − x − 5

+ x

x→0

2 −

6.24.

lim

6x +1 −5

x→4

Задача 7

		х	2х−3
7.2.	lim		.
		х+1
	x→∞

7.4.lim х− 4 2−3х.

x→∞ х

7.6.xlim→∞ х+х 3 −5х .

7.8.lim х+3 х−4 . x→∞ х−1

7.10.lim х−х 7 2х+1.

x→∞

7.12.xlim→∞ 22хх+−11 х+2 .

7.14.xlim→∞ х−х 3 х−5 .

7.16.lim 2хх−1 3х−1.

x→∞ 2 + 4

7.18.lim х+х 5 3х+4 .

x→∞

7.20.lim х+х 2 3−2х .

x→∞

7.22.xlim→∞ 12−−хх 3х.

lim

4х−1

2х

7.23.

4х+1

x→∞

lim

2х−1 −х

7.25.

2х+ 4

x→∞

8.1.

lim 1−cos8x .

x→0

3x2

8.3.

lim cos x −cos5x .

x→0

2x2

8.5.

lim tg x −sin x .

x→0

3x2

lim (1 − x)tg πx

8.7. x→1

2 .

8.9.

lim

tg 2x −sin 2x

x→0

8.11. xlim→0

−

tg x

sin x

lim sin 7x +sin 3x

8.13. x→0

xsin x

8.15.

lim

cos 2x −cos 4x .

x→0

3x2

8.17.

lim

tg 3x −sin 3x .

x→0

2x2

8.19.

lim

cos 4x −cos3 4x

3x2

x→0

8.21.

lim

cos2 x −cos

2 2x

x→0

8.23.

lim

− cos2 2x

x→0 x arcsin x

8.25.

lim

cos5x −cos x

x→0

4x2

7.24. xlim→∞ 3х3+х 4 −2х .

Задача 8

lim

sin 3x −sin x

8.2. x→0

lim

tg 3x

2sin x .

8.4. x

→0

8.6.

lim

arcsin 5x .

→0

sin 3x

8.8.

lim

1−sin x .

→π / 2 π − 2x

8.10.

lim

1 − cos2 x

x tg x

x→0

lim

sin2 3x −sin2 x

8.12. x→0

8.14. lim

1−cos5x .

x→0

2x2

8.16.

lim

arctg 2x .

x→0

tg 3x

8.18.

lim

1−sin 2x .

x→π / 4 π − 4x

lim

−

8.20.

tg 2x

x→0 sin 2x

8.22. lim

arcsin 5x .

x→0

x2 − x

8.24.

lim

1−cos 4x .

x→0

xsin x

6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Литература: [2, гл. 3, §§ 1 − 10, 12 − 18, 20 − 23, 26; 2, раздел 4, гл. 1, §§ 1 − 9, 11 − 14].

Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение этой функции ∆у = f (x + ∆x) − f (x) в точке x, отвечающее приращению аргумента ∆x , представимо в виде

∆у = А(х)∆х+α(∆х)∆х,

(6.1)

где А(х) не зависит от ∆х, причем α(∆х) → 0 при ∆х → 0.

Линейная относительно ∆х часть приращения функции называется дифференциалом в точке х и обозначается dу(х)

dy(x) = A(x)∆x .

(6.2)

Дифференциал независимой переменной dx совпадает с приращением ∆х.

Коэффициент A(x) при ∆x называется производной функции f(x) в точке х и

обозначается f ′(x) или у′(x):

f ′(x) = A(x).

Из дифференцируемости функции следует формула для вычисления ее производной

′	∆у	=	lim		f	(x + ∆x) − f	(x)	.	(6.3)
f (x) = lim
f (x) = lim	∆x					∆х
∆x→0	∆x	∆x→0				∆х
Функция имеет конечную производную в точке, то есть функция диффе-
ренцируема, если существует конечный предел (6.3).									а производ-
Дифференциал обычно записывают в виде dу(х)= f (x) dx ,									а производ-
								′
ную часто обозначают так	f	′		dу		Операция	нахождения		производной
		′
		(x) = dх.
функции называется дифференцированием.
Если функции u = u(x)	и v = v(x)					дифференцируемы в точке х, то спр а-
ведливы следующие основные правила дифференцирования:
C′ = 0, где С – постоянная;
	′		′
(Cu(x)) = Cu (x)
		′		′		′			(6.4)
(u(x) ± v(x))			= u (x) ± v (x);						(6.4)
						64


		′		′		′
(u(x)v(x))				= u (x)v(x) + u(x)v (x);
	′	′		′
u(x)	=	u	(x)v(x) −u(x)v (x)		.

v(x)				v2 (x)

Таблица производных элементарных функций найдена с помощью непосредственного дифференцирования.

Производные элементарных функций

Таблица

y′

11. sin x

cos x

xα

αxα−1

12. cos x

−

sin x

13. tg x

cos2 x

4. loga x

14. ctg x

−

x ln a

sin2 x

ln x

15. arcsin x

− x

6. ax

ax lna

16. arccos x

−

1 − x2

17. arctg x

1 + x2

sh x

ch x

18. arcctg x

−

1+ x2

ch x

sh x

19. сth x

−

sh2 x

10.

th x

ch2 x

Производная обратной функции.

Пусть функция у = f(x)

монотонна и

непрерывна в некотором промежутке,

содержащем точку x0 .

Если данная

функция имеет в точке

x0 не равную нулю производную

f ′(x0 ) , то обратная

ей функция x =ψ ( у)

также имеет производную ψ ′(y0 )

в соответствующей

точке и справедлива формула

ψ′(y0 ) =

(6.5)

f ′(x0 )

Производная сложной функции. Пусть y = f (z), а z =ψ(x) , причем для соответствующих друг другу значений х и z существуют конечные производ-

ные

f (z)

(х) . Тогда сложная функция

y = f (ψ(x))

имеет конечную про-

′

изводную по переменной х, и эта производная вычисляется по формуле

dу

= dу

или

у′x = fz′(z)ψ′x (x).

(6.6)

dх

Пример. Найти производную функции

y = xctg x + cos x.

Решение.

y′ = (xctg x + cos x)′ = (xctg x)′ + (cos x)′ =

′

= x

ctg x + x(ctg x)

+ (cos x)

= ctg x − sin2 x −sin x.

x + 2

Пример. Найти производную функции y =

x −1

x + 2

Решение. Здесь y = z3,

где z

. Используя формулу (6.6), имеем:

x −1

dу

= 3z

x + 2

= 3

x −1

′

x +

(x +

′

−1)

′

1 (x −1) −(x +2) 1

2) (x −1) −(x +2)(x

(x −1)2

x −

dу

x + 2 2

x −1− x − 2

9(x

+ 2)2

= −

(x −1)2

(x −1)4

x −1

Пример. Найти производную функции y = cos(6x ).

Решение.

y = cos z,

z = 6

dу

= −sin(6

) 6

ln 6.

+ 4

Пример. Найти производную функции y = ln x +

dу

Решение.

y = ln z,

z = x +

x2 + 4,

x +

+ 4

(х2 + 4)′

=1+

2 х

+ 4

dу = dу dz =

dx dz dx х + х2 + 4

х2 + 4

Производная функции заданной параметрически

x =ϕ(t), y =ψ(t) вы-

числяется по формуле

′

(t)

(6.7)

′

ϕ (t)

Пример.

Найти производную

у (х) функции заданной параметрически

′

x = ln sin t,

y = ln cost.

Решение. Используя формулу (6.7), имеем

dу

(−sin t),

cost,

= − sin2 t = −tg2 t.

cost

sin t

cos2 t

Геометрический смысл производной и дифференциала (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1

Производная функции f (x) при x = x0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y = f (x) в точке с абсциссой х0 , то есть f ′(x0 ) = tgα.

Уравнение касательной к этой кривой в точке М0 (х0 , y0 ) имеет вид y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ).

Уравнение нормали к кривой (прямой, перпендикулярной касательной в точке касания) имеет вид

y − у0 = − f ′(1x0 ) (x − x0 ).

Дифференциал функции с геометрической точки зрения есть приращение ординаты касательной, когда приращение ее абсциссы равно заданной величине ∆x .

Пример.

Написать

уравнение касательной и

нормали к

параболе

y = x2 − 2x +5 в точке с абсциссой

x0 = 2 .

Решение.

Вычислим

f (2) = 4 − 4 +5 = 5,

следовательно,

точка

касания

M 0 (2;5) .

равен

Угловой

коэффициент

касательной

точке

M 0

= f ′(2) = (2x −2)

x=2

= 2, а угловой коэффициент нормали

= −

= −1 .

Таким образом, уравнение касательной имеет вид y −5 = 2(x − 2), а урав-

нение нормали

y −5 = − 1

(x − 2) .

С физической точки зрения,прозводная есть скорость изменения функции. Пример. Точка перемещается по закону x(t) = 6t 2 +3t −1(м). Найти ско-

рость перемещения материальной точки в момент времени						t = 4 (с).
′	м				v(4) =12		м
				,		4 +3 = 51		.
Решение. Имеем v(t) = x (t) =12t +3
	с						с
Для раскрытия неопределенностей		0		,	∞
		0			при вычислении пределов
					∞
функций можно использовать правила Лопиталя.
Теорема Лопиталя. Пусть функции			f (x)		и ϕ(x) непрерывны и диффе-

ренцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке, то есть f (x0 )=ϕ(x0 )= 0, кроме того ϕ′(x0 )≠ 0 , тогда, если существует предел

lim

f '(x)

A, то

lim

f (x)

= A.

x→x0 ϕ'(x)

x→x0

ϕ(x)

Если производные f (x) и ϕ (x) удовлетворяют тем же условиям, что и

′

функции f (x) и ϕ(x), теорему можно применить еще раз:

lim

f (x)

lim

f ′(x)

= lim

f ′′(x)

и так далее.

ϕ′(x)

ϕ′′(x)

x→x

ϕ(x)

x→x

Теорема справедлива и в том случае, когда x → ∞.

Пример. Найти предел

lim

ln2 x

x→∞

lim ln2 x

(ln2 x)′

2 ln x

ln x

Решение.

lim

= lim

lim

x→∞

(x)′

x→∞ 1

x→∞

(ln x)′

lim 1

= lim

= 0 .

(x)′

x→∞

x→∞ x

Пример. Найти предел

lim

4x2 + 2x

x→∞ 3x2 − 7x − 4

Решение.

lim

4x2 + 2x

= lim

(4x2 + 2x)′

(3x2 − 7x − 4)′

x→∞ 3x2 − 7x − 4

x→∞

= lim

8x + 2

= lim

(8x + 2)′

lim 8

4 .

x→∞ 6x − 7

x→∞ (6x − 7)′

x→∞ 6 3

Правило Лопиталя можно использовать и для раскрытия неопределенностей вида [0 ∞], [∞ − ∞], [1∞ ], [0∞ ], [00 ], [∞∞ , предварительно преобразовав

их к неопределенностям

∞

или

∞

Пример. Найти предел

lim

−

x −1

x→1 ln x

Решение. lim

−

= [∞−∞]= lim

x −1−ln x

= lim

− x

→

x −1

1 ln x x −1

x 1 ln x (x −1)

x 1

+ln x

= lim

x→1

Пример. Найти предел

lim (cos 2x)

x→0

Решение.

tg2x

]

ln cos2x

−sin 2x 2

−2 xlim→0

∞

xlim→0 2x cos 2x

lim (cos 2x)

lim e

= e

x→0

[

x→0

−2 lim

= e−2 .

= e

x→0 2 cos2 2x

Пример. Найти предел

lim xtgx .

x→0

ln x

Решение. lim xtgx = [00

etgx ln x = lim e

= exlim→0

ln x

ctgx

lim

ctgx

x→0

xlim→0

−1

lim

−sin

lim

−2sin x cos x

= e

sin2 x

= e−0 =1.

= e x→0

= = e x→0

Задачи для самостоятельного решения: [3, №№ 773 − 782, 784 − 792, 800 − 807, 827 − 830, 846 − 855, 4, гл. 5, №№ 1.1, 1.9, 1.10, 1.21 − 1.45, 1.131, 1.132, 1.138 − 1.142, 1.154 − 1.158, 1.205 − 1.208, 1.216, 1.221].

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:

			2		4					5x5			3			3								a			3	x2
1.	y = 6 − 2x	+	2	x	4	.	2. y = −			5x5	.	3.	3			3			5		4. y =			a		+	3	x2	.
													y = x2					x		+ a.
			3							a2													5				b
																									x3
																									x3
5.	y = a +bx .		6.	y =			2	−	1 .	7.	y =	2 +		x	.		8.			y =	1 − x2	.		9.		y = 2sin x −3tgx.
	y = a +bx .			y =			2x −1	−	1 .		y =				.					y =	1 − x2	.				y = 2sin x −3tgx.
	c + dx						2x −1		x			2 − x									1 + x2