Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Найти производные второго порядка следующих функций:

32. y = cos2 x. 33.	y = arctg x2 34.		3			35. y = e−x2 .
		y = log		1 − x2	.
			2

Найти производные второго порядка следующих функций, заданных параметрически:

36. x = sect, y = tg t, t (0, π2 ).

37. x =arcsint, y = ln(1−t2 ), t (−1, 1).

Написать уравнение касательной и нормали к графику функций y = f (x) в данной точке, если:


38.	y = x2 −5x + 4,			x0 = −1. 39.			y = x3 + 2x2 − 4x −3, x0 = − 2.
40.	y =		x0 = 4.			41.	y = tg2x,	x0 = 0.
		x,
42.	В какой точке			M	0	кривой	y2 = 2x3	касательная перпендикулярна к
прямой	4x −3y + 2 = 0?

43.Составить уравнение нормали к параболе y = −x + 2 в точке пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

44.Вычислить приближенно: а) arcsin0,05; б) arctg1,04; в) ln1,2.

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

45.

lim

1 − cos8x

. 46.

lim

ex + e−x

− 2

47. lim

ex −e−x

1 − cos x

sin x

x→0

48.

lim

tgx − x

49.

lim

lntg7x

50.

lim

ln x

,(n > 0).

x→0 x −sin x

x→0 lntg2x1

x→∞ xn

Типовой расчет к разделу 6

В задачах 1-4 продифференцировать данные функции.


											Задача 1
	y = (x2 +1) 3											y = (e3x ) 4					.
1.1.					x3 + 4x					.	1.2.		3x − x3
	y = (tg 3x)											y = (ln2 x) 3
1.3.				2x − x2					.		1.4.			x2 − 1x
1.5.	y = (tg 2		)				.					y = (ctg3x)						.
		x				sin x					1.6.					1+e3x
1.7.	y = (ln 3x)							.				y = (tg 5x) 3							.
															x2 − 2x
				x +tg x							1.8.

1.9. y = (sin (ln x)) 3										x3 −					3	.				1.10.	y = (cos 2x) 3					1+ 23x							.

															x
	y = 23x−x3																			1.12.	y = (1 + cos			)												.
1.11.						sin x							.										x					sin x +1
	y = (1+ sin							)													y =(1+tg x)2
1.13.												x2 − 2x							.	1.14.							x2 −								.
					x																													x
1.15.	y = (sin						)											.			y = (e2x ) arcsin
			x +1								1 + cos x									1.16.											.
																													x
	y = (1+ cos2 x)																			1.18.	y = (ctg x) 4											.
1.17.																	.								1+sin x
												arcsin x
1.19.	y = (tg 2x)													.						1.20.	y = (e3x ) 3									.
									1+ ln x													1+tg x
1.21.	y = (ecos x ) ctg x3.																			1.22.	y = sin2 3x arctg x5 .
1.23.	y = tg			arctg 3x4 .																1.24.	y = 4−x ln5 (x + 2).
		x
1.25.	y = sin4 x arctg 2x3 .

2.1.	y =			1−sin x				.
2.1.	y =							.
			1+tg x
2.3.	y =				tg 3x				.

				1+sin x
				1+sin x
2.5.	y =					x2 −1						.

					sin x + cos x
									.
2.7.	y =				1+ cos x
2.7.	y =		x2 −				1
							1
							x2
							x2
2.9.	y =				sin 3x				.

					2x − x2
					2x − x2
2.11.		y =	3			2x − x2				.
2.11.		y =			cos 2x					.
					cos 2x
2.13.		y =			sin2 x +1						.

					1−sin x2
					1−sin x2

Задача 2

2.2.	y =		1				+ cos x									.

							2 +tg x
							2 +tg x

2.4.	y =									x2 +		1					.
2.4.	y =			sin x + cos x													.
				sin x + cos x
2.6.	y =			sin x −1							.
2.6.	y =										.
							x2 +1
2.8.	y =						1−arcsin x											.
2.8.	y =				1+ arccos x													.
					1+ arccos x
					3
2.10.		y =			3			sin 3x							.
2.10.		y =				2x − x2									.
						2x − x2
2.12.		y =								tg x			.
2.12.		y =				x3 −3x							.
						x3 −3x
							3
2.14.		y =					3		sin x					.
2.14.		y =				2x − x2								.
						2x − x2

2.15.	y =			tg x				.
2.15.	y =							.
			x3 +3x
		3
2.17.	y =	3		tg x		.
2.17.	y =	x3 +3x				.
		x3 +3x

2.19.	y =				x2 +		1		.
2.19.	y =	sin x + cos x							.
		sin x + cos x

2.21.	y =		3 + 2x − x2							.
2.21.	y =				ex					.
					ex
2.23.	y =	(2x +5)3 .
			etg x
2.25.	y =				e3x						.
2.25.	y =										.
			3x2 − 4x −7

	y = (sin x)		.	3.2.
3.1.		x
3.4.	y = (sin x)x .			3.5.
3.7.	y = x(x2+1).			3.8.

2.16. y =	1+ arcsin x		.

		1+ arccos x

2.18. y = 31−sin x .

1+tg x

2.20.	y =		1−arccos x			.
2.20.	y =					.
		1+ arcsin x
2.22.	y =		e4x		.
2.22.	y =	(3x +5)3			.
		(3x +5)3
2.24.	y =	e−sin 2x		.
2.24.	y =	(x +5)4		.
		(x +5)4

Задача 3 y = xln x .

y = (tg x)x .

y = (cos x)x .

3.3. y = xsin x . 3.6. y = (x2 +1)x . 3.9. y = (x +1)cos x .


3.10.	y =(2 + x)(x2+2).							3.11.	y = (x2 + 2)x+2 . 3.12.						y = (tg x)x+2 .
3.13.	y = (x2 −1)tg x .							3.14.	y = (x2 +1)ex .					3.15.	y = (arctg x)x .
3.16.	y = xarctg x .								y = x		.				y = (		)x .
								3.17.		x				3.18.
								3.17.		x				3.18.		x
	y = (sin x)								y = (ctg x)				.	3.21.	y = (x +1)(1 x).
3.19.	y = (sin x)			x		.		3.20.	y = (ctg x)			x	.	3.21.	y = (x +1)(1 x).
3.22.	1		1		−x			3.23.	y = (ln 3x)(1 x2 ). 3.24.						y =(arcsin 3x)x4 .
	y =	−			.
	y =	−			.
	x		x2
3.25.		1					e−x
	y =			.
	y =	2 −1		.
	x	2 −1

4.1.

2cos

t ,

x =

3sin

t .

y =

4.4.

1− 4t

x =

y = arcsin 2t .

x =

t −1

4.7.

y =

t +1

x =

4.10.

1 −t 2

y =t − ln(1 −t 2 ).

4.13. x = arctg

y = ln(1+t).

x =

4.16.

t +1

− ln(1 + t).

y =t

4.19. x =

1−t

−t

y = ln

1+t

x =

−t

4.22.

y =

1−t

x =

−t

4.25.

−1

y =

1 −t

2 .

Задача 4

4.2. x = sin2 2t ,

y = tg 2t .

	2		t ,
4.5. x = 3sin
		3		t .
y = 2cos

4.8. x = cos2 t ,

y = t +sin 2t .

			t	2
	x =		t					,
4.11.	x =	t	2					,
4.11.		t	2	+1
	y = ln(1+t 2 ).
4.14.
			2	t ,
x = t −cos				t ,
			2
			2	2t .
y = t +sin				2t .
4.17.						2	2t ,
4.17.	x = cos						2t ,
					3		2t .
	y = sin						2t .

4.3. x =t + ln(1+ t 2 ),

y =t − arctg t .

x =t −ln(cost),

4.6. y =t + ln(sin t).

x = (1−t)2 ,

4.9. 1+t

y = 1+t t .

	2cos				3	t ,
4.12. x =	2cos					t ,
			2		t .
y = 3tg					t .
	e−t
x =				,
x =				,
4.15.	t −1
	e−t
y =				.
y =	t +1			.
	t +1
	e	t
x =	e			,
x =				,
4.18.	t +1
	et
y =				.
y =	t −1			.
	t −1

4.20. x = arctg t ,				4.21. x =3(t −sin t),
	y =t − ln(1 + t).				y = 4(1−cos t).
						1+t 2
	x = arcsint ,				x =	t		2	−1	,
4.23.			).	4.24.		t			−1
4.23.		2		4.24.
		2							1
	y = ln(1−t								1
					y =					.
					y =		t	2	−1	.
							t		−1

7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Литература: [2, гл. 5, §§ 2 − 6, 9 −11; 2, раздел 4, гл. 2, §§ 2 − 9].

Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на интервале

(a,b) , если для x1, x2 (a,b)	из неравенства х2 > х1 следует неравенство
f (х2) > f (x1) (f (х2) < f (x1)).	х2 > х1 следует неравенство f (х2 ) ≥ f (x1) или
Если же из неравенства	х2 > х1 следует неравенство f (х2 ) ≥ f (x1) или

f (х2) ≤ f (x1) , то функция называется соответственно неубывающей или невоз-

растающей на этом интервале.

Теорема (достаточной признак возрастания и убывания функции). Если во всех точках интервала (a,b) производная функции удовлетворяет неравенству

f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0), то функция f (x) возрастает (убывает) на этом интервале. Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f (x), если

значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значения во всех точках достаточно близких к х0 , то есть выполняются неравенства

f (x0 + ∆х)< f (x0 ) (f (x0 + ∆х)> f (x0 )).

Необходимое условие экстремума. Если функция имеет экстремум при x = х0 , то ее производная в этой точке равна нулю. Такие точки называют ста-

ционарными.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует называются критическими точками, функция при этом в этих точках должна существовать.

Достаточные условия экстремума.

1. Пусть функция f(x), определена и непрерывна в интервале, содержащем критическую точку х0 и имеет производную во всех точках этого интерва-

ла, за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда если f ′(x) > 0 при

x < х0	и	f (x) < 0 при x > х0 , то точка х0 является точкой максимума, если
же f		′	и f	(x) > 0 при x > х0 , то точка х0	является точкой
	(x) < 0 при x < х0
	′			′
минимума.
2. Если в точке х0			первая производная равна нулю
	f ′(х0) = 0 , то точка х0			является точкой максимума, если	f ′′(x0) < 0 и яв-

ляется точкой минимума, если f ′′(x0) > 0.

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то в точках этого отрезка она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах отрезка или в критических точках.

Кривая является выпуклой (вогнутой) на каком-то интервале, если она лежит ниже (выше) касательной, проведенной в любой ее точке.

Если f ′′(x0 ) > 0, то кривая в точке с абсциссой х0 вогнута, если f ′′(x0 ) < 0, то кривая в этой точке выпукла.

Точка кривой, отделяющая выпуклую часть дуги от вогнутой, называется

точкой перегиба.

Необходимое условие перегиба. Если х0 − абсцисса точки перегиба графика функции y = f (x), то f ′′(x0) = 0 или f ′′(x0) не существует. Такие точки

называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие перегиба. Если в достаточно малой окрестности критической точки второго рода х0 вторая производная функции y = f (x)

имеет противоположные знаки при x < х0 и при x > х0, то точка кривой y = f (x) с абсциссой х0 есть точка перегиба данной кривой.

Прямая называется асимптотой кривой, если при удалении точки по кривой в бесконечность, ее расстояние до прямой стремится к нулю. Различают

вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
Прямая x = a является вертикальной асимптотой,					если хотя бы один из
односторонних пределов функции	y = f (x)			равен бесконечности, то есть, если
выполняется хотя бы одно из условий			lim	f (x) = ±∞,	lim	f (x) = ±∞.
		x→a+			x→a	−
Для определения наклонной асимптоты y = kx + b кривой y = f (x) пара-
метры k и b находятся из равенств
k = lim	f (x)		, b =	lim (f (x)	− kx).

x→±∞	x			x→±∞
Причем случаи х→ +∞ и x → −∞ следует рассматривать отдельно. На-
клонные асимптоты кривой y = f (x)		существуют только тогда, когда эти пре-

делы имеют конечные значения.

Если k = 0 и b имеет конечное значение, то асимптота является горизонтальной.

Общее исследование функции включает следующие этапы.

1.Нахождение области определения функции, точек разрыва и выяснения их характера.

2.Определение четности, нечетности, периодичности функции (в случае положительного ответа вести исследование на соответствующем множестве значений аргумента), нахождение точек пересечения графика функции с осями координат.

3.Определение асимптот графика функции.

4.Определение интервалов возрастания и убывания функции.

5.Нахождение точек экстремума.

6. Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба.

Полученные данные используются для построения графика функции. Основными ориентирами являются точки кривой, соответствующие экстремальным значениям функции, точки перегиба графика и асимптоты.

Пример. Исследовать функцию у = х3 + 2х2 2+ 7х −3 и построить ее график. 2х

Решение. 1. Функция определена при всех значениях х, кроме точки x = 0, следовательно, область определения: х (−∞,0) (0, ∞). Выясним характер точ-

ки разрыва x = 0. Для этого вычислим левый и правый пределы функции при

7x −3

х→ 0. Имеем

lim f (x) =

lim

+1 +

= −∞. Таким образом, в

x→0±

2x2

x→0± 2

точке x = 0 функция имеет разрыв второго рода.

2. Функция не является четной или нечетной.

f (−x) =

− х3 +

2х2 −

7х −3

≠

f (x),

f (−x) ≠ − f (x).

2х2

Функция не является также периодической. Следовательно, исследовать функцию надо на всей области определения.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Полагая y = 0 , имеем х3 + 2х2 + 7х −3 = 0. Точное решение уравнения элементарными методами получить нельзя, но границы корня получить просто: f (1) = 7 > 0,

	1	= −	11	< 0.	Таким образом, кривая пересекает ось Ох в точке x	1
f	3	= −	27	< 0.	Таким образом, кривая пересекает ось Ох в точке x	3	,1 .
	3		27		0	3

Ось Оу кривая не пересекает, так как x ≠ 0 .

3. Найдем асимптоты графика. Из п. 1 решения следует, что ось Оу является вертикальной асимптотой графика, поскольку при х→ 0 функция стремится к бесконечности. Проверим, имеет ли кривая наклонные асимптоты. Вычислим пределы

		f (x)			1		1		7			3			1
k =	lim		=	lim		+		+			−			=		,

		x			2		x		2x	2		2x	3		2
	x→±∞			x→±∞

b = lim ( f (x) − kx) =

lim

−

=1.

Следовательно, кривая имеет

x→±∞

2x2

x→±∞

наклонную асимптоту y =

1 x +1.

4. Найдем интервалы монотонности и точки экстремума. Дифференцируя,

х3 − 7х + 6

. Решая уравнение х3 −7х+ 6 = 0 или

получаем y′ = 2 −

2х2

х3

2х3

(x −1)(х2 + х −6) = 0, находим три критические точки x =1, x				2	= 2,	x = −3.Та-
	имеем y′ = (х −1)(х − 2)(х + 3) .	1		2		3
ким образом,	имеем y′ = (х −1)(х − 2)(х + 3) .	Видим,	что		на	интервалах
	2х3
(−∞,−3) , (0,1),	(2,∞) производная y′ > 0 и функция возрастает. На интервалах
(−3,0), (1,2) производная y′ < 0 и функция убывает.
При переходе через критические точки −3		и 1 производная меняет знак с

«+» на «−». В этих точках функция имеет локальный максимум f(−3) = −11/6, f

(1) = 7/2. При переходе через критическую точку х=2 производная меняет знак с «−» на «+». В этой точке функция имеет локальный минимум f(2) = 27/8.

5. Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика и точки пере-

гиба. Вычислим вторую производную	y′′ =	7		9		7		9
			−		=		x −		.
		x3		x4		x4		7

Имеется одна критическая точка второго рода х=9/7. Легко проверить, что y′′< 0 , если х (−∞,0) (0,9/ 7) и функция выпуклая. При х (9/ 7,∞) y′′> 0

и функция вогнута.

Построим график функции.

Рис. 7.1

Задачи для самостоятельного решения: [3, №№ 1099, 1100 − 1104, 1106; гл. 5, №№ 4.61, 4.64, 4.66, 4.74, 4.83, 4.97, 4.100, 4.111].

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить промежутки возрастания и убывания функции:

1) f (x) = x3 +5x + 6; 2) f (x) = x−2

3) f (x) = 2x2 −ln x (x > 0);

4)f (x) = 3x2 −3; 5) f (x) = x3 −3x + 2.

2.Доказать, что функция f (x) =1− x3 убывает на всей числовой прямой.

3.Найти максимумы и минимумы функций:

f (x) =

x2 − x

; 2)

f (x) = x ln x ; 3)

f (x) =

1 x4

−

2 x3

−

3 x2

+ 2;

x2 − x +3

f (x) =

; 5) f (x) = x2e−x .

1+ x2

4.Решеткой длиной 120 метров нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

5.Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

6.Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании а данного треугольника, а две вершины – на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту h.

7.Из квадратного листа картона со стороной а вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

8.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9.Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения р. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

10.В прямой круговой конус радиуса R и высоты h вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

11.В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот

объем.

12.Из сектора круга радиуса R свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?

13.Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Оx найти точку, сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.

14.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

1)	f (x) = x4 −6x2 + x;	2) f (x) = x4 + 2x3 −12x2 −5x + 2;
3)	f (x) = (x −1)4 ;	4)	f (x) =	2x2	;
				3 + x2
	f (x) = 2x2 + ln x;
5)		6)	f (x) = x arctg x.
			79

15. При каком значении а кривая

y = x3 + ax2 +1 имеет точку перегиба

при х = 1?

y = x4 + ax3 + 3 x2

16. При каком значении а кривая

+1 будет иметь вы-

пуклость вниз на всей числовой прямой?

17. Найти асимптоты графиков функций:

1) f (x) =

;

2) f (x) =

+ x;

f (x) =

x2 +5

+ 2x;

f (x) = xe1 x .

x −1

2x −1

x2 −1

Построить графики функций:

18. y = x3 −3x . 19. y =12x − x3. 20. y =

+ x2. 21. y =

− 2x2.

22. y = x + 2

−x

−

23. y = x

24. y =

25. y =

x2 −1. 26. y =

x2 −1

x2 +1.

1 − x.

x + 2

27.y = 3x2 −1. 28. y = 2x −33x2 . 29. y =1 + 3(x −1)2 . 30. y =(x − 2)23 −(x + 2)23.

31.y = (x −2)23 +(x + 2)23. 32. y = x(x −1)23. 33. y =1 −xx2 . 34. y = x2x−4 .

35. y = x2 3 (1− x). 36. y =

. 37. y =

2x −1

38. y

3 −2x

39.

y =

(x −1)2 .

x2 +1

(x −1)

(x −2)2

x2 +1

40. y =

41.

y =

(x +1)2

42.

y = xe−x 2. 43.

y =

44.

y = x2e1 x .

−

+ 2x

45. y = (1− x)ex .

46. y = xe−x2 2.

47.

y = x3ex . 48. y = x3e−x .

49.

y =

4(1− x)

50. y =

e−x

51. y

= ex + e−x .

52. y = ex − e−x

53.

y =

54.

y = x2e−x2 .

ex (x

x2 − 3

ex − e−x

ex + e−x

+3)

55. y = xln x.

56.

y = x − ln x.

57.

y =

1+ln x

58.

y = xln2 x.

59.

y = x2 ln2 x.

x2 +1

60. y =

61. y =

ln(x −1)

. 62.

y =

. 63.

y =

64.

y = 2x3 −5x2 +14x −6 .

ln x

x −2

(x −1)

Ответы

1) Возрастает на (−∞; + ∞) ,

2) возрастает на (−∞; 0)

и убывает на

(0; + ∞) , 3)

возрастает

на

и убывает

на

возрастает

на

;+ ∞

, 4)

(−∞; −1)

и (1; + ∞) , и убывает на (−1;1) , 5) возрастает на (−∞; −1) и (1; + ∞) ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]