Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

11.21.

2x + y −3z − 2 = 0 ,

2x − y + z − 6 = 0 .

11.22.

x + 5y − z +11

= 0 ,

x − y + 2z −1 = 0 .

11.23.

x − y + z − 2 = 0 , x − 2y − z + 4 = 0 .

11.24.

6x − 7 y − z − 2

= 0 ,

x + 7 y − 4z −5 = 0 .

11.25.

x + y + 2z −5 = 0 , 2x −5y − z +5 = 0 .

12.1.

x −2

=

y −3

=

z +1

, x + 2y + 3z −14 = 0 .

−1

−1

4

12.2.

x +1

=

y −3

=

z +1

, x + 2y −5z + 20 = 0 .

3

−4

5

12.3.

x −1

=

y +5

=

z

−1

,

x −3y + 7z − 24 = 0 .

−1

4

2

12.4.

x −1

=

y

=

z +3

,

2x − y + 4z = 0 .

1

0

2

12.5.

x −5

=

y −3

=

z −2

,

3x + y −5z −12 = 0 .

1

−1

0

12.6.

x +1

=

y +2

=

z −3

,

x + 3y −5z + 9 = 0 .

−3

2

−2

12.7.

x −1

=

y −2

=

z +1

,

x − 2y + 5z +17 = 0 .

−2

1

−1

12.8.

x −1

=

y −2

=

z −4

, x − 2y + 4z −19 = 0 .

2

0

1

12.9.

x +2

=

y −1

=

z +4

,

2x − y + 3z + 23 = 0 .

−1

1

−1

12.10.

x +2

=

y −2

=

z +3

, 2x −3y −5z − 7 = 0 .

1

0

0

12.11.

x −1

=

y −1

=

z

+2

,

4x + 2y − z −11 = 0 .

2

−1

3

12.12.

x −1

=

y +1

=

z −1

, 3x − 2y − 4z −8 = 0 .

1

0

−1

12.13.

x +2

=

y −1

=

z

+3

, x + 2y − z − 2 = 0 .

−1

1

2

12.14.

x +3

=

y −2

=

z +2

, 5x − y + 4z + 3 = 0 .

1

−5

3

41

12.15.

x −2

=

y −2

=

z

−4

,

x + 3y + 5z − 42 = 0 .

2

−1

3

12.16.

x −3

=

y −4

=

z −4

,

7x + y + 4z − 47 = 0 .

−1

5

2

12.17.

x +3

=

y −1

=

z −1

,

2x + 3y + 7z −52 = 0 .

2

3

5

12.18.

x −3

=

y +1

=

z +3

,

3x + 4y + 7z −16 = 0 .

2

3

2

12.19.

x −5

=

y −2

=

z +4

,

2x −5y + 4z + 24 = 0 .

−2

0

−1

12.20.

x −1

=

y −8

=

z +5

,

x − 2y −3z +18 = 0 .

8

−5

12

12.21.

x −3

=

y −1

=

z

+5

,

x + 7 y + 3z +11 = 0 .

1

−1

0

12.22.

x −5

=

y +3

=

z

−1

,

3x + 7 y −5z −11 = 0 .

−1

5

2

12.23.

x −1

=

y −2

=

z −6

,

4x + y − 6z −5 = 0 .

7

1

−1

12.24.

x −3

=

y +2

=

z

−8

,

5x + 9y + 4z − 25 = 0 .

1

−1

0

12.25.

x +1

=

y

=

z +1

, x + 4y +13z − 23 = 0 .

−2

0

3

этой плоскости, имеет вид

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 .

(4.1)

Общее уравнение примой на плоскости

Ax + By +C = 0 .

(4.2)

42

Каноническое уравнение прямой

x − x0

=

y − y0

,

(4.3)

l

m

где M 0 (x0 , y0 ) - точка, лежащая на прямой, q ={l,m} -

направляющий вектор

прямой (вектор, параллельный прямой).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей угловой

коэффициент k

y − y0 = k(x − x0 ) .

(4.4)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx +b ,

(4.5)

где k =tgϕ , ϕ - угол наклона прямой к оси Ox ;

b = y

0

− kx

- отрезок, отсе-

каемый прямой на оси Oy .

0

Угол между двумя прямыми

y = k1x +b1 и

y = k2 x +b2 , вычисляется по

формуле

tgθ =

k2 − k1

.

(4.6)

1+ k k

2

1

Условие перпендикулярности прямых: k2 = −

1

.

k

1

Пример. Составить уравнения прямых, проходящих через точку P(1,−2)

и лежащих параллельно и перпендикулярно прямой

2x +3y −3 = 0 .

Решение. Уравнение прямой, параллельной данной, в соответствии с

(4.1), ищем в виде A(x −1) + B(y + 2) = 0 .

Из условия параллельности

прямых по

формулам (3.9) имеем

2(x −1) +3(y + 2) = 0.

Уравнение прямой, параллельной заданной, ищем из (4.3)

x −1

=

y + 2

.

l

m

43

комой прямой коллинеарен нормальному

вектору n = {2,3} заданной прямой.

Имеем

x −1

=

y + 2

.

2

3

Для решения задачи можно воспользоваться уравнением прямой с угло-

вым коэффициентом. Преобразуем уравнение заданной прямой

y = −

2 x +1 .

k = − 2 .

3

Угловой коэффициент

Тогда

для

двух

параллельных

прямых

3

1

= 3 . По формуле

k

= k

2

= −2

. Для прямой перпендикулярной данной k2 = −

1

3

k1

2

(4.4) уравнения искомых прямых будут иметь вид

y = −

2 x +

8

и

y = 3 x + 1 .

3

3

2

2

Пример. Дан треугольник с вершинами A(−1,1) ,

B(1,5) ,

C(3,−2) . Найти

уравнения его сторон.

Решение. Уравнения сторон треугольника ищем в виде (4.3). Направляю-

щие векторы сторон строим по двум заданным точкам.

Для стороны AC: q = {4,−3},

x −3

=

y + 2

, 3x + 4y −1 = 0.

4

−3

Для стороны АВ: q = {2,4},

x

−1

=

y

−5

,

2x − y +3 = 0.

2

4

Для стороны BC : q = {2,−7},

x −3

=

y + 2

, 7x + 2y −17 = 0 .

2

− 7

1)

х2

+

у2

=1

( a ≥ b >0) - каноническое уравнение эллипса с полуосями

а2

b2

2)

х

2

−

у2

=1, ( a ≥ b >0) - каноническое уравнение гиперболы с полу-

а

2

b

2

осями а и b.

и b называются соответственно действительной и мнимой

Величины a

(так как пересекает гиперболу в двух точках): у = 0

х2

=1

x = ±a ; 0у

a2

2

– мнимая ось (так как не имеет с гиперболой общих точек): х =0

− y

=1

b2

действительных решений нет. Точки A(−a,0) и B(a,0)

– вершины гиперболы,

к диагоналям прямоугольника определяемым уравнениями y = b x

y = −b x ,

a

a

которые называются асимптотами гиперболы.

линию, определяемую уравнением

36x2 +36y2 −36x − 24y − 23 = 0 .

Решение. Выделяя полные квадраты,

преобразуем

левую часть уравне-

ния.

Имеем

− 2

1

x +

1

−

1

1

y +

1

−

1

− 23 = 0

или

36 x2

2

4

4

+ 36 y2 − 2

3

9

9

1

2

1

2

=18.

Вводя новые координаты

X = x

−

1

,Y = y −

1

,

36 x −

2

+ 36 y −

3

2

3

после деления на 18 получаем 2X 2 + 2Y 2 =1 или X 2 +Y 2 =

1 . Таким образом,

1

1

2

О

;

получено уравнения окружности с центром в точке

2

3

(рис. 4.1).

1

y

Y

1/3

01

X

0

1

/2

x

Рис. 4.1

линию, определяемую уравнением

x2 − y2 −6x +10 = 0 .

Решение. Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения.

Имеем (x2 − 2 3x +9 −9) − y2 +10 = 0 ; (x −3)2 − y2 = −1; y2 −(x −3)2 =1.

Вводя новые координаты

X = x −3,Y = y , получаем Y 2 − X 2 =1 -

0

2

3

x X

Имеем 2(x2 − 2x +1−1) + 2y −3 = 0 ; 2(x −1)2 + 2y = 5 ; y − 5 = −(x −1)2 .

5

2

Вводя новые координаты X = x −1,Y = y −

,

получаем − X 2 =Y -

2

5

(рис. 4.3).

уравнение параболы, вершина которой в точке O1 1;

2

0 1

x

шина А(1;3) и уравнения двух медиан

x − 2y +1 = 0 и y −1 = 0.

19. Даны две смежные вершины

A(−3;−1) и B(2;2)

параллелограмма

ABCD и точка Q(3;0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сто-

рон этого параллелограмма.

20. Найти точку M1 симметричную точке M 2 (8;−9)

относительно пря-

мой, проходящей через точки A(3;−4) и B(−1;−2) .

48

3) написать уравнение прямой L′′, проходящей через точку М

парал-

лельно заданной прямой L.

Исходные данные: а) L: − 2x + y −1 = 0, M (−1; 2); б) L: 2y +1 = 0,

M (1, 0);

в) L: x + y +1 = 0, M (0;1).

27.

L1 : −2x + y −1 = 0,

L2 : 2y +1 = 0.

28.

L :

x −1

=

y

,

L

:

x + 2

=

y

.

1

0

1

− 2

2

1

29.

L1 : x + y −1 = 0,

L2 :

x

=

y +1

.

30.

2

− 2

Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить ли-

нии, определяемые уравнениями:

1) 9x2 + 4y2 −18x −8y − 23 = 0 ; 2) 4x2 +9y2 +16x +18y −11 = 0;

3) x2 − 4y2 + 6x +16y −11 = 0; 4) 9x2 − 4y2 +18x +8y −31 = 0;

5) y +3x2 −6x +5 = 0; 6) x = y2 +3y + 4.

Ответы

5) 2

; 6) 13. 2. 137. 3. 34. 4. 8

. 5.

1. 1) 5; 2) 10;

3) 5;

4)

;

2

13 и 15.

3

5

7. Середины сторон AB ,

BC и AC соответственно (2;-4), (-1;1), (-2;2). 8. (5;-3),

(1;-5). 9. (-9;0). 10.

1) 14; 2) 25. 11. 20. 12. (3;−5) . 13. (1;−3) , (−2;5) ,

(5;−9) и

49

(8;−17) . 14.

S =17 .

15.

1) −

5 ;

2)

3

.

16.

(-2;-1).

17.

4x + y −3 = 0 .18.

x −2y −7 = 0,

3

5

3x −5y + 4 = 0 , x + 7 y −16 = 0 ,

x −4y −1 = 0,

x − y + 2 = 0.

19.

3x −5y − 22 = 0 и x + 7 y +10 = 0 .

20. M1(10;−5) . 21. Уравнения сторон квад-

рата:

4x + 3y +1 = 0 ,

3x − 4y + 32 = 0 ,

4x + 3y − 24 = 0 ,

3x − 4y + 7 = 0 ;

уравнение

его

второй

диагонали:

x + 7 y − 31 = 0 .

22.

3x − 4y +15 = 0 ,

4x + 3y −30 = 0 , 3x − 4y −10 = 0 ,

4x +3y −5 = 0 . 23. D(9;−5;6). 24. 7.

AB

BC

AC

π

π

25.

=5,

=5 2,

=5;

,

.

A =

2

B =C =

4

3

x +1

y − 2

26. а) ρ(M , L) =

,

L′:

=

,

L′′: −2(x +1) + (y − 2) =0;

5

− 2

1

б)

ρ(M , L) =

1

, L′:

x −1

=

y

, L′′ : y = 0;

2

2

0

в) ρ(M , L) = 0, L′:

x

=

y +1

, L′′: x + y +1 = 0.

1

1

3

1

1

27. Пересекаются в точке

M 0

−

4

;−

2

;

cos(L1L2 )

=

.

5

M 0 (1,0);

2

28. Пересекаются в точке

cos

(L1,L2 ) =

.

5