Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

axbx + a yby + azbz

ax2 + a2y + az2

bx2 + by2 + bz2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.

Более детально:

1) если rangA < rang(A/ B), то система несовместна, то есть решение не

существует;

2) если rangA = rang(A / B)= r , то система совместна, то есть существует

хотя бы одно решение, при этом:

а) если ранг равен числу неизвестных r = n , то система имеет единственное решение;

б) если ранг меньше числа неизвестных r < n, то система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти методом Гаусса, последовательного исключения неизвестных.

Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразо-

a	a	...	a	b
11	12		1n	1
a21	a22	...	a2n	b2	при-
ваний расширенную матрицу системы A / B =	... ... ...			...	при-
...	... ... ...			...
	am2	...
am1	am2	...	amn bm

вести к ступенчатому виду (привести к нулю элементы, стоящие под главной диагональю).

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы называются следующие действия:

1)умножение какой-либо строки матрицы на число λ ≠ 0;

2)перестановка двух строк;

3)прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число λ .

Элементарными преобразованиями второго рода называются аналогичные действия со столбцами.

Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями, называются эквивалентными и соединяются знаком . Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

Предположим, что a11 ≠ 0. Тогда, умножая первую строку на ( − a21 / a11) и прибавляя ко второй строке, умножая первую строку на ( − a31 / a11) и при-

бавляя к третьей строке, и так далее, получим нулевые элементы в первом столбце под элементом a11. Далее, подобные операции проводим со второй

строкой для получения нулей во втором столбце ниже элемента a22 , который,

напоминаем, был пересчитан на первом этапе. После производим аналогичные операции с третьим столбцом и так далее.

В результате получаем расширенную матрицу, соответствующую системе уравнений

l11x1 + l12x2 + + l1r xr + l1,r +1xr +1 + + l1n xn = c1,
	l22x2 + + l2r xr + l2,r +1xr +1 + + l2n xn = c2,

	lrr xr + lr,r +1xr +1 + + lrn xn = cr ,

	0	= cr +1,

	0	= cr +2,

	0	= c	m,

Присутствие хотя бы одного из неверных числовых равенств в нижней части системы говорит о несовместности системы (отсутствии решений).

Если же все сr+1, …cm равны нулю, то система уравнений совместна.

Тогда, опуская эти верные равенства и перенося в системе все члены, содержащие xr+1,...xn в правую часть, имеем

	+ l12x2 + + l1r xr = с1 −l1,r +1xr +1 − −l1n xn ,
l11x1	+ l12x2 + + l1r xr = с1 −l1,r +1xr +1 − −l1n xn ,
	l22x2 + + l2r xr = c2 −l2,r +1xr +1 − −l2n xn ,
	lrr xr = cr −lr,r +1xr +1 − −lrn xn.
	lrr xr = cr −lr,r +1xr +1 − −lrn xn.

Здесь ( xr+1,...xn ) – свободные переменные, принимающие произвольные значения. Неизвестные x1,..., xn называются базисными и определяются по значениям свободных неизвестных. Из последнего уравнения находим xr , затем его подставляем в предпоследнее уравнение, находим xr−1 и так далее.

Пример. Решить систему уравнений:

						x + 2y + 3z = 6

						3x −5y + 3z =1.

						2x + 7 y − z = 8
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
1		2	3		6
1		2	3		6
	3	- 5	3		1	. Умножаем каждый элемент 1-й строки на (-3) и скла-
	3	- 5	3		1	. Умножаем каждый элемент 1-й строки на (-3) и скла-

	2	7	-1	8

дываем со 2-й строкой. Умножаем каждый элемент 1-й строки на (-2) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

1		2	3	6		3

	0	-11	- 6	-17	. Умножаем каждый элемент 2-й строки на		и

						11
	0	3	- 7	- 4

складываем с 3-й строкой. Получаем


1	2	3		6
	-11	- 6		-17		. Тогда	r(A) = r(A B)=3	– система совместна.
0	-11	- 6		-17		. Тогда	r(A) = r(A B)=3	– система совместна.
		- 95			95
0	0			-	95
0	0			-	11
		11			11
Полученной матрице соответствует система


x + 2y +3z = 6;					откуда обратным ходом получаем z = 1; y=1; x=1.
	-11y −6z = -17;				откуда обратным ходом получаем z = 1; y=1; x=1.
	95		95
	95		95
	- 11 z = - 11 ,
	- 11 z = - 11 ,

Пример. Решить систему уравнений:

x + y + z =12x + y + z = 2 .3x + 2y + 2z = 3

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

1		1	1	1	1		1	1	1		1 1			1		1
1		1	1	1	1		1	1	1		1 1			1		1
	2	1	1	2		0	-1	-1	0			0	-1 -1			0
	2	1	1	2	~	0	-1	-1	0	~		0	-1 -1			0	,


	3	2	2	3		0	-1	-1	0			0	0	0	0

r(A) = 2 ; r(AB)= 2 => система совместна. Тогда


x + y + z =1		x + y + z =1
	- y - z = 0		y = -z		,

где z – свободная переменная, z = t,		тогда x =1,		y = -t, z = t.

Пример. Решить систему уравнений или доказать ее несовместность

2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =1,

x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0,

3x1 + 3x2 −3x3 −3x4 + 4x5 = 2,

4x1 + 5x2 −5x3 −5x4 + 7x5 = 3.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, поменяв местами первые два уравнения

1	−1	1	1	− 2	0
1	−1	1	1	− 2	0

A / B = 2 1		−1	−1	1	1 .
	3	−3	−3	4
3	3	−3	−3	4	2
4	5	−5	−5	7	3

Последовательно умножая первую строку на -2, - 3, -4 и складывая со второй, третей и четвертой строками соответственно, получим

1 −1		1	1 − 2		0	1 −1 1			1	− 2	0
1 −1		1	1 − 2		0	1 −1 1			1	− 2	0

0 3		−3	−3	5	1	~ 0 3 −3 −3				5	1 .
	6	− 6	− 6	10			0	0	0	0
0	6	− 6	− 6	10	2	0	0	0	0	0	0
0	9	−9	−9	15	3	0	0	0	0	0	0

Последняя матрица получена из предыдущей умножением второй строки на -2 и на -3 и прибавлением к третьей и четвертой строкам соответственно. В левом верхнем углу находится минор второго порядка отличный от нуля. Видим, что ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны двум. Следовательно, система совместна. Выпишем уравнения, соответствующие этим строкам матрицы, считая неизвестные, не входящие в выделенный минор, па-

				x	− x	2	= −x	3	− x	4	+ 2x	5 .
раметрами. Получим 1						2		3		4		5 .
				3x2 = 3x3 + 3x4 −5x5 +1
	Решим полученную систему уравнений относительно x1														и x2 , считая ос-
тальные неизвестные произвольными числами. Тогда x2													=	1		+ x3 + x4	−	5 x5 ,
	= 1 +	1 x												3				3
x	= 1 +	1 x	5	.
1	3	3	5

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить определители (в скобках указан ответ)

		1	2	3		,	(0);					x			x +1		x + 2		= 0 ,			(−∞,+∞);
		1	2	3								x			x +1		x + 2
		4	5	6								x +3		x + 4			x +5
		7 8 9										x + 6 x + 7 x +8
	0		1	2			3						1	3		1	3				1		2	2	2
	0		1	2			3						1	3		1	3				1		2	2	2
	1		0	1			2	,		(−12);			1	2		5	0	, (0);			− 2		2	2	2		, (36).
	2 1 0 1												1 3 − 2 3								− 2 2			3 2
	3 2 1 0												1 0 −13 6								− 2 − 2 − 2 4
			2. Найти произведения матриц AB , если:
				1																	2		3	−1
					2
																	AB =									;
a) A =									,		B = [2 3 −1],						AB =				4		6	− 2		;
					3																6		9	−3
																								5
				−5																−10 −15				5
															2	3	1
b) A = [5 7 − 2], B =															1	4	2	,		(AB = [21 37 21]);

																3
														− 2		3	−1
c) A = [4 0 − 2 3 1],															B = [2 1 −1 5 2] ;									(AB = 31)
3. Найти многочлен от матриц
																2	2 0							5	0 2
a) f (A) = A2 −3A +5E , A = 1																	1 1			, f (A) =				1	5 1			;



																1	0 3							2	2 5
									2								2 −1							0	0
b) f (A) =							A		2	−5A +3E ,					A =					,
b) f (A) =							A			−5A +3E ,					A =					,	f (A) =					.
																−3			3					0	0
4. Вычислить AB − BA , если:
			1 2					1				4			1 1							−10		− 4 −7

		A								,							, AB − BA =						6	14				;
		A	= 2 1					2		,	B = − 4				2 0		, AB − BA =						6	14			4	;
			1 2					3				1			2 1								− 7	5 − 4

																		15

5. Вычислить произведение трех матриц

	0		0	1	−1		−1					1
		1 1		2	−1		−1	4					3
а)		1 1		2		2	2	4	,			5	3	;
а)			2			2	2		,			5		;
	2		2	3				1				5
						1	1
			3			1	1
	3		3	4								7
	1		2 1 2				3	1	1	2	1				1	9 15

b)										1			,				;
b)	0		1 2		−1 1			0	0	1	2		,		−5	5 9	;
						1	2			1
	3		1 1			1	2	−1	3	1	1				12	26 32

6.Найти обратную матрицу.

			4		0 5									4 0					−5
а) A =			0		1 −6			,					−18 1						24
а) A =			0		1 −6			,		A−1 =			−18 1						24		;

					0 4									−3 0					24

			3
			3		1 − 2									1		11			−3 5
												−1		1
b) A =				4 2			1		,	A			=				−17 21 −11						;
b) A =				4 2			1		,	A			=				−17 21 −11						;
					−1 5									36					6		2
			3		−1 5									36		−10			6		2

7.	Решить матричные уравнения.
	4		−6			2		5							1 8			23

а) 2				1 X = 1					3	,			= 16 0						2		;
а) 2				1 X = 1					3	,		X	= 16 0						2		;

	1 2				−3					1	−3		0						6 4			5
b)		3 2			− 4		X =						7						= 2 1			2		;
b)		3 2			− 4		X =			10 2			7	,			X		= 2 1			2		;
		2 −1			0					10 7			8
		2 −1			0					10 7			8						3 3			3

		5			3		1			−8 3				0							1	2 3
c)	X															,
					−3													X		=					.
		1			−3		− 2 = −5 9							0				X		=	4	5 6			.
		−5			2		1			− 2 15				0							7	8 9

8.	Решить системы уравнений.
	2x −3y + z = −7,																2x − y +3z = 3,
a) x + 4y + 2z = −1,									(−1,1,−2) ;						b) 3x + y −5z = 0,										(−1,1,−2) ;
			4y = −5.
	x −		4y = −5.														4x − y + z = 3.
														16

9. Решить системы уравнений.

+ x

= 4,

− 2x2 + x3 + x4

=1,

+ x

= 5,

x +3x

− 2x2 − x3 − x4

= −1,

b) x1

x1 + x2 + 5x3 = −7,

− 2x

+ x

+5x

= 5.

+3x

−3x

=14.

(x1, x2 ,−x1 + 2x2 ,1).

(1,2,−2)

10.

Найти решения однородных систем.

3x + 2y + z = 0,

x − y + 2z = 0,

− 4x

+5x

+3x

= 0,

−6x

+ 4x

+ 2x

= 0,

2x +5y +3z = 0,

b) 2x − 2y + 4z = 0,

3x + 4y + 2z = 0.

5x −5y +10z = 0.

4x1 −8x2 +17x3 +11x4 = 0.

(0,0,0);

(y − 2z, y, z);

,−

+5x

x −7

−

x , x

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Литература: [1, гл.7, §§ 44-47; гл.8, §§ 48-52; гл. 9, §§ 53, 54; гл. 10, §§ 5558], [3, гл. 2, § 1-3].

Вектором называется направленный отрезок.

Если вектор определяется двумя заданными точками – его началом A(x1, y1, z1) и концом B(x2 , y2 , z2 ) , то проекции вектора a = AB на координат-

ные оси (координаты		вектора) определяются формулами		ax = x2 − x1,
ay = y2 − y1,	az = z2 − z1, то есть a = {ax , a y , az .
Длина	вектора	a = {ax , a y , az	определяется	формулой

a = ax2 + a2y + az2 .

Проекций вектора a на ось l называется скалярная величина, равная произведению его длины на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора

al = пр.l a = a cosϕ .

Если α, β, γ - углы, образованные вектором a с осями прямоугольной системы координат Ox, Oy, Oz , то проекции вектора a на координатные оси равны ax = a cosα , ay = a cos β , az = a cosγ (cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1).

Числа cosα ,

cos β ,

cosγ называются направляющими косинусами векто-

ра

- векторы единичной длины,

направленные по координат-

Если i

, j, k

ным осям Ox, Oy, Oz ,

то вектор

может

быть представлен

в виде

a = {ax , ay , az }= axi

+ ay

+ az k

, где i

, k

– вектора, составляющие декарто-

вый базис.

Скалярным произведением векторов

называется число,

равное

произведению их длин на косинус угла между ними

(a,

cosϕ .

Скалярное произведение обладает переместительным и распределительным свойствами

(a,b )= (b , a );

((a +b ),c )= (a,c )+ (b ,c ).

Если векторы заданы координатами a = {ax , a y , az , b = {bx ,by ,bz }, то их скалярное произведение определяется по формуле

(a,b )= axbx + a yby + azbz ,

а угол между ними соотношением

Физический смысл скалярного произведения. Скалярное произведение векторов a и b есть работа постоянной силы ( a ), совершенная вдоль прямолинейного перемещения (b ).

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c = [a ×b ], определяемый условиями:

sinϕ , где ϕ - угол между векторами

;

вектор

перпендикулярен плоскости, определяемой перемножаемыми

векторами a и b ;

3) вектор c направлен так, что наблюдателю, смотрящему из его конца на

векторы a и b , видно, что кратчайшее вращение от a к b производится против часовой стрелки (тройка векторов правая).

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного

произведения векторов a и b есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящих из одной точки.

Основные свойства векторного произведения:

[a ×b ]= −[b ×a];

[(a +b ) ×c]= [a ×c]+[b ×c].

Если векторы заданы координатами a = {ax , a y , az ,

= {bx ,by ,bz }, то их век-

торное произведение определяется по формуле

[a ×

a y

Пример. Даны векторы a = {2;5;7},

= {1; 2; 4}. Найти координаты век-

торного произведения [a ×b ].

Решение. По формуле вычисления векторного произведения находим

[a ×

5 7

2 7

2 5

= i

− j

1 4

= 6i − j − k .

Итак, [a ×

{6;−1;−1

Смешанным произведением трех векторов a,

называется их век-

торно-скалярное произведение ([a ×b ],c ).

Если векторы заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

([a ×		],c )=	ax	a y	az	.
			bx	by	bz
	b
			cx	cy	cz

Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение ([a ×b ],c ) равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах


a,		, c , взятому со знаком «+», если тройка					a,		, c – правая, и со знаком «-»,
a,	b	, c , взятому со знаком «+», если тройка					a,	b	, c – правая, и со знаком «-»,
если тройка a,				, c – левая. Если же a,		, c	компланарны, то ([a ×				],c )=0.
если тройка a,			b	, c – левая. Если же a,	b	, c	компланарны, то ([a ×			b	],c )=0.

Пример. В пространстве даны четыре точки: A(1;1;1), B (4;4;4), C(3;5;5), D (2;4;7). Найти объем тетраэдра ABCD.

Решение. Объем V тетраэдра ABCD равен одной шестой объема паралле-

лепипеда, построенного на векторах

, то есть одной шестой абсо-

лютной величины смешанного произведения ([

). Найдем это сме-

шанное произведение.

Прежде

всего

определим координаты векторов

. Имеем:

= {3;3;3},

={2;4;4}

={1;3;6}. Тогда

4 4

2 4

([AB

=3 12 −3 8+3 2 = 18.

= 3

−3

3 6

1 6

Отсюда V = 16 18 = 3.

Задачи для самостоятельного решения: [4, №№ 749, 751, 754, 774, 777, 782, 783, 789, 802, 816, 819, 832, 842, 850, 853, 867, 874, 875].

Задачи для самостоятельного решения

1. Даны точки A(3;−1;2) и B(−1;2;1) . Найти координаты векторов AB и BA.

4. Вычислить направляющие косинусы вектора a = 3 ; 4 ;12 .

13 13 13

8. Даны векторы a = {3;−2;6} и b = {− 2;1;0}. Определить координаты сле-

дующих векторов:

а) a −

;

б) 2a +3

;

в) 1 a −

9. Найти орт вектора a = {6;−2;−3}.

a = {3;−5;8} и

10. Определить модули

суммы

и разности векторов

= {−1;1;−4}.

2π

11. Векторы

образуют угол ϕ =

. Зная, что

= 3,

= 4, в ы-

числить: а) a

; б) a 2 ;

в) (a +

)2 ;

г) ((3a + 2

),(a + 2

));

д) (3a + 2

)2.

13. Векторы

образуют угол ϕ = π

; зная, что

=1, вы-

числить угол α между векторами p = a +

и q = a −

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]