Математика линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в анализ. Практикум

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример. Найти lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

а)	lim [f (x)± g(x)]= A ± B ,					б)	lim [f (x) g(x)]= A B ,
	x→a	f (x)		A			x→a
в)	lim		=		, если В≠ 0,	г)	lim [f (x)]g(x) = AB .	(5.1)
		g(x)		B
	x→a						x→a

Все эти формулы верны и при х→∞.

Пример.

Найти lim

3x2

− 4x + 7

2x2

−5x + 6

x→1

Решение. Применяя формулы (5.1), получим

−4x +11

lim(3x2

− 4x +11)

lim 3x2

− lim 4x + lim 11

lim

x→1

2x2 −5x +8

lim(2x2

−5x

+8)

lim 2x2 − lim 5x +lim8

x→1

=	3 1−4 1+11	= 2.
	2 1−5 1+8

Пример.

Найти

lim

(5x)x2 .

x→2

(5x)x2 =

Решение.

По формуле (5.1) lim

104 = 10000.

x→2

∞

Но, часто встречаются выражения вида

∞

, {0

∞}, {∞ − ∞}, {1 }, ко-

∞

торые называются неопределенностями. Разберем это на примерах.

Пример.

Найти

lim

−

5x +6

−4

x→2

Решение. При х→ 2 пределы числителя и знаменателя дроби равны нулю.

Говорят, что получается неопределенность вида 0

. Для ее раскрытия необ-

ходимо разложить на множители многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, выделив множитель (х−2). После этого дробь сократить и перейти к пре-

делу. Имеем

lim

−5x +6

= lim

(x −2)(x −3)

= lim

x −3

= −

x→2

x2 −4

x→2

(x +2)(x −2)

x→2

(x +2)

Пример. Найти lim

x2 −9

x→3

x +1 −2

Решение. Здесь присутствует неопределенность вида 0 . Для ее раскры-

тия умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю(x +1 + 2). Упростив, получаем

x2 −9

(x2 −9)(

(x −3)(x +3)(

+ 2)

lim

= lim

x +1

lim

x +1

(

x +1 −

(

x +1

− 2)( x +1

+ 2)

− 22

x→3

x +1

(x −3)(x +3)(

+ 2) = lim(x +3)(

+ 2) = 24.

lim

x +1

x→3

x −3

x→3

Пример. Найти lim 7x2 +6x +5 . x→∞ 4x3 −8x2 −2

Решение. При x→ ∞ числитель и знаменатель дроби неограниченно рас-

тут, то есть имеет место неопределенность вида ∞ . Разделим числитель и

∞

знаменатель дроби на xn , где n – старшая из степеней (в нашем примере n=3). Тогда

7x2 + 6x +5

lim

0 + 0 + 0

lim

= lim

x→∞ x

= 0.

x→∞ 4x3 −8x2 − 2

x→∞

4 − 0 − 0

4 −

−

lim

−

x→∞

Неопределенность вида {∞ − ∞} раскрывается путем сведения ее к неоп-

ределенностям вида 0 или ∞ .

0 ∞

Решение. Здесь неопределенность вида {∞ − ∞}. Приведем выражение к

общему знаменателю, получим неопределенность вида 0 :

lim

−

= lim

x −3

= lim

x2 −9

x→3

x −3

x→3 x2 −9

x→3 x +3

Пример. Найти

lim

+ x

− x

− x .

x→∞

Решение. Имеем неопределенность вида {∞ −∞}. Умножим и разделим заданное выражение на сопряженную величину, после чего придем к неопреде-

ленности вида ∞ :

∞

+ x −

+ x +

− x

+ x − x

+ x

lim

x→∞

+ x +

x→∞

+ x + x

− x

lim

=1.

x→∞

+ x +

x→∞

x→∞ (

1 + 0 + 1 − 0)

− x

+ 1

−

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.1, §4, №№ 4.12 − 4.15, 4.18, 4.24, 4.27, 4.30 − 4.32, 4.34].

						5.2. Замечательные пределы
Для раскрытия					неопределенностей вида 0		и {1∞}	часто использу-
						0
ются первый и второй замечательные пределы:
1)	lim	sin x	=1;
	x→0	x		x
2)	lim		1	x	=	1		(5.2)
2)	lim	1 +	x		=	lim (1 +α) α =е≈2,71828.		(5.2)
	x→∞		x			α→0

Пример. Найти lim sin 9x . x→0 sin 3x

Решение. Имеем неопределенность 0 . Используя, первый замечатель-

ный предел, получим

lim sin 9x

sin 9x

9x lim

sin 9x

= lim

lim

x→0

= 3.

x→0 sin 3x

x→0

3x lim

sin 3x

x→0

Пример. Найти

lim

1−cos5x .

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида 0 . Используя тригонометри-

ческую формулу (1−cos x = 2sin2

) и первый замечательный предел, получим

1−cos 5x

2sin

= 25

sin

25 .

lim

= lim

lim

x→0

x→0 5x

x→0

Пример. Найти

lim

4x +1

3x+1

4x −1

x→∞

Решение. Вычислив предел основания, видим, что имеем дело с неопреде-

ленностью вида {1∞}, для раскрытия которой используется второй замечатель-

ный предел. Преобразуем исходное выражение, выделив в основании единицу, и преобразовав ко второму замечательному пределу:

4x +1

3x+1

4x −1+

2 3x+1

3x+1

lim

= lim

4x −1

= lim 1

4x −

x→∞ 4x −1

x→∞

2x−1 xlim→∞

2(3x+1)

2x−1

2 2

lim

2x−1

lim 1

= e x→∞

= e

−1

x→∞

5.3. Раскрытие неопределенностей вида {0∞}, {00}, {∞0}

Неопределенность вида {0 ∞} сводится к рассмотренным выше неопре-

деленностям вида 0 или ∞ с помощью тождественного преобразования

0 ∞

заданной функции.
Пусть lim	f (x) = 0 , а	lim g(x) = ∞. Тогда
x→a		x→a			f (x)			g(x)
	lim f (x)g(x) = lim				f (x)	=	lim	g(x)	.
	lim f (x)g(x) = lim				g(x)	=	lim	f (x)	.
	x→a		x→a 1		g(x)		x→a 1	f (x)
		2x sin	4
Пример. Найти lim				.
Пример. Найти lim				.
	x→∞		2x

Решение. Имеем неопределенность вида {∞ 0}. Сведем ее к неопределен-

ности вида 0 и воспользуемся первым замечательным пределом:

sin

3x sin

lim

= 7

lim

= 7 1 = 7.

x→∞

Пусть

lim f (x) = 0

или

∞, а

lim g(x) = 0 , тогда при вычислении предела

x→a

lim f

(x)g(x) имеем неопределенности вида {00 }или {∞0 }. Их преобразуют к

x→a

{0 ∞},

используя

тождество

неопределенности

вида

f (x)g(x) = eg(x)ln f (x)

( f (x) > 0), а затем к неопределенностям вида

или ∞

∞

Задачи для самостоятельного решения: [3, №№ 657 − 695; 4, гл. 1, 4.36 − 4.42, 4.49 − 4.53, 4.58].

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить:

1. lim

2 + 3

x2 − 2x +1

8x3

−

lim

−

lim

x→3 x

2 −3

x→2

2 − x

8 − x3

x→1

x3 − x

x→1 6x2 −

5x +1

x4 − 5x

3x +1

−3

x −1

lim

−

. 6.

lim

. 7.

lim

. 8. lim

−1

2x +1

x→∞ x

− 3x +1

x→∞ 5x +

x→10 x −10

x→∞

x2 + 4

− 2

− 2x).

lim

10.

lim

(

−

). 11.

lim (

4x2 − 7x + 4

x − a

x→0

x2 + 9 −3

x→+∞

x→∞

Используя замечательные пределы, вычислить:

12.

lim

sin 3x .

13. lim

sin 7x .

14.

lim

x ctgπx.

15.

lim

3arcsin x .

x→0

x→π

tg 3x

x→0

1−cos 2x

x + 3

2x+1

+ 5

16.

lim

. 17.

lim

− ctg x . 18.

lim

19.

lim

x→0

x→0 sin x

x→∞ x − 2

−5

x→∞ x

20.

lim (cos x)

21.

lim x[ln(2 + x) −ln x].

x→0

x→∞

Вычислить односторонние пределы:

x −3

2 + x

22.

lim

23. lim

. 24.

lim (2

+ x) x . 25.

lim

7 2−x.

26. lim arctg x.

x −3

4 − x2

x→3±

x→2±

x→0±

x→2±

x→±∞

Найти пределы:

27. lim

x3 + 4x −

28.

lim

tg 2x

29. lim

4x2 +1

− x

. 30.

lim

7x2 +5x +

3x2 + x +

sin 4x

3x +5

3 +

14x2 + 2x

x→1

x→+∞

x→∞

x→2

x2 + x +1

−1

sin10x

− cos 2x

31.

lim

x −

−a

32.

lim

33. lim

sin 9x

34.

lim

x sin x

x→+∞

x→π

x→0

tg x −sin x

35.

lim

36.

lim

+1 −

− 4x

. 37.

lim

x2 − 4

x→0

x→−∞

x→−2 x +1

1+ x2 − 1+ x

x tg x

+ x

−3 3x +1

38.

lim 5 x+3.

39. lim

. 40.

lim

41.

lim

− cos x

x→∞

x→0

1− 1+ x

x→0 1

x→0

Ответы

1. 2. 2. ∞. 3. 0.

4. 6. 5. 1.4.

6. ∞.

3/5.

8. 1/6.

3/2.

10.

0. 11. −7/4.

12.

3. 13. −7/3.

14. 1/π.

15. 3/4.

16.

17.

0. 18. e10.

19. e10.

20. e−1/ 2.

21. 2.

22. +1,

−1.

23. −∞,

+∞.

24.

+∞,

25.

+∞. 26.

π 2 ,

−π 2.

27.

2/3.

28. 1/2.

29. 1/3.

30.

1/2.

31.

32.

1/2.

33.

–10/9. 34. 2. 35.

1/2.

36.

–2.

37.

–1/4.

38. 25. 39. 1. 40.

41.

–1/9.

Типовой расчет к разделу 5

Задача 1

1.1.

lim

x2 −5x + 6

lim

х3 − x2 +

x2 + x .

x→2 x2 −12x + 20 .

1.2. x→0

1.3.

lim

6 + х− x2

lim

2x2 − x −1

1.4.

x3 − 27

− x − 2

x→3

x→1

1.5.

lim

2x2 −7x + 4

1.6.

lim

+ х− x2

x2 −5x

+ 6

x3 − 27

x→2

x→3

1.7.

lim

3x2 + 2x −1 .

1.8.

lim

x2 − 4x −5

x→1/ 3 27x3 −1

x→−1 x2 − 2x −3

1.9.

lim

3x2 + 2x −1

1.10. lim

3x2 −11x +

− x2 + x + 2

2x2 −5x −3

x→−1

x→3

1.11.	lim	x3	−8	.

	x→2 x2 + x −6

1.13.

lim

2 −

+ x

− 20

x→4 x2

1.15.

lim

3x2

−7x −

2x2

−7x +3

x→3

1.17.

lim

2 +

4x −

x→−1 3x2 + x − 2

1.19.

lim

7x2 + 4x −3

2 +3x +1

x→−1 2x

1.21.

lim

2x2

−9x +10

+3x −10

x→2

1.23.

lim

−5x2 +11x − 2

3x2 − x −10

x→2

1.25.

lim

3x2

−6x − 45

2x2

−3x −35

x→5

lim

2x2

+11x +15

3x2 +5x −12 .

2.1. x→−3

2.3.

lim

x3 −3x + 2

2 − 4x + 3

x→1 x

2.5.

lim

х4 − x2 + x +1

x→−1

2.7.

lim

− x +3

5x2

+3x −3

x→2

2.9.

lim

x2 −1

x→−1 x2 +3x + 2

2.11.

lim

2 +19x −5

2 +11x

x→−5 2x

1.12.	lim			x2	− x − 2	.
				x3 +1
	x→−1
1.14.	lim			4x2 +11x		−		3		.
				x2 + 2x −3
	x→−3
1.16.	lim			4x2 + 7x − 2						.
				3x2 +8x + 4
	x→−2
1.18.	lim			x2	− 4x −	5			.
				3x2 + 2x − 2
	x→−1
1.20.	lim		3x2		−3x + 2				.
				x2	− x −12
	x→4
1.22.	lim	4x2			+ x −5		.
	x→1 x2 − 2x +1
1.24.	lim			x2 −5x −14					.
		2x2			−9x −35
	x→7

Задача 2

2.2.		lim	2x2	+5x −10		.
				x3	−1
	x→1
2.4.		lim	3x2 + 2x +1			.
				x3	−8
		x→2

2.6.

lim

2x2 −3x −1

x4 −1

→1

2.8.

lim

+ 2x

4x + 4

x→−2 x2 +

2.10.

lim

2x2

+ 7x − 4

+ 64

x→−4

2.12.

lim

х3 − x

2 + x −1

+ x

− 2

x→1

2.13.

lim

x2 − 2x +1

2x2 −7x +5

x→1

2.15.

lim

9x2

17x −

+ 2x

x→−2 x2

2.17.

lim

4х3 − 2x2 +

3x2

+ 7x

x→0

2.19.

lim

3x2 +5x −1

x2 −

5x + 6

x→3

2.21.

lim

x2 +

3x − 28

−64

x→4

2.23.

lim

x2 +

3x − 28

− 4x

x→4

2.25.

lim

2 − 4

+ x −10

x→−2 3x2

3.1.

lim

3х3

−5x2 + 2

2х3

+5x2 − x

x→∞

3.3.

lim

5х4

−3x2 + 7

х4

+ 2x3 +1

x→∞

3.5.

lim

х3 − 4x2 + 28х

5х3 +3x2 + x

−1

x→∞

lim

−3х4 + x2 + х

х4 +3x − 2 .

3.7. x→∞

3.9.

lim

− х2

+3x +1

3х2

+5x −5

x→∞

3.11.lim 4х2 +5x −7 .

x→∞ 2х2 − x +10

3.13.lim 3х33+ 2x +9 .

x→∞ 2х − x + 4

2.14.

lim

x3 −8

2x2

−9x +10

x→2

2.16.

lim

x2 + x − 2

х3 − x2 − x

x→1

2.18. lim

4х4

−5x2 +1

−1

x→1

2.20.

lim

− x −30

x3 +125

x→−5

2.22.

lim

3 −1

−1/ 4

x→1/ 2 x

2.24.

lim

2 +11x +10

2 −5x +14

x→−2

Задача 3


3.2.	lim	4х3 + 7x		.
		2х3	− 4x2 +5
	x→∞
	lim	7х3	− 2x2 + 4х		.
			2х3 +5
3.4. x→∞
3.6	lim	3х2	+10x + 3	.
		2х2	+ 5x − 3
	x→∞

3.8.lim 2х2 + 7x +3 .

x→∞ 5х2 −3x + 4

3.10.

lim

х3 −3x2 +

7х3 + 2x +1

x→∞

3.12.

lim

3х4 + 2x +1

х4

− x3 + 2x

x→∞

3.14.

lim

3х

2 + 5x − 7

3х2 + x +1

x→∞

3.15.lim 2х33+ 7x − 2 .

x→∞ 3х − x − 4

3.17.	lim	3х4		−6x2	+		2	.
		х	4	+ 4x −3
	x→∞
3.19.	lim	8х4		− 4x2	+		3	.
			2х4 +1
	x→∞
3.21.	lim	7	х3 + 4x			.
			−3x + 2
	x→∞ х3

3.23.lim 2х33+ 7x2 − 2 .

x→∞ 6х − 4x +3

3.25.

lim

х−

2х2 +5x4

2 +3х2 + x4

x→∞

4.1.

lim

− 2x + 4

2x4 +3x2 +1

x→−∞

4.3.

lim

3x2

+ 7x − 4

+ 2x −1

x→−∞

4.5.

lim

2x3 + 7x −1

x→∞ 3x4 + 2x +5

lim

3x6

−5x2 + 2

2x3 + 4x −5 .

4.7. x→−∞

4.9. x→−∞

7x2 + 5x + 9

1 + 4x − x2 .

lim

2x2 +5x + 7

4.11.

lim

+ х

x→−∞ 3x4 − 2x2

4.13.

lim

5x3 −3x2 + 7

4 +3x2

x→−1 2x

4.15.

lim

2x3 +3x2 +5

x→−∞ 3x2 − 4x

3.16. lim 18x2 + 5х2 . x→∞ 8 − 3х − 9x

3.18.lim 8х2 + 4x −5 .

x→∞ 4х2 −3x + 2

3.20.lim 3х2 − 4x + 2 .

x→∞ 6х2 +5x +1

3.22.	lim	1+ 4	х− х4		.
			2	+ 2x4
	x→∞ х+3х

3.24. lim 3х+14x22 . x→∞1+ 2х+ 7x

Задача 4

4.2.

lim

3х4 + 2x −5

2х2

+ x + 7

x→∞

4.4.

lim

3х

− x6

х2 −

2x +5

x→∞

4.6.

lim

2х3

+ 7x2 + 4

х4 +5x −1

x→−∞

4.8.

lim

х7

+5x2 − 4

3х

2 +11x −7

→∞

4.10.

lim

3х4

+ х2 −6

x→∞ 2х2 +3x +1

4.12.

lim

3х3

+ 4x2 −7х

2х2 + 7x −3

x→∞

4.14.lim 5х2 −3x +41 .

x→∞ 1+ 2х− x

4.16.	lim	6х2		−5x + 2	.
			х3	+ 2x −1
	x→∞ 4
	59

4.17.	lim		11x	3 +3x	.
		2x2 − 2x +1
	x→−∞
4.19.	lim		6x3	+5x2 −3			.
			2x2 − x + 7
	x→−∞
4.21.	lim		8x5	− 4x3 +3			.
			2x3 + x −7
	x→−∞
4.23.	lim		5x4	− 2x3 +		3	.
			2x2	+3x −7
	x→−∞
4.25.	lim		3x4	+ 2x2 −8				.
			8x3	− 4x +5
	x→−∞

5.1.xlim→∞ 72xx32−+23xx2−+51 .

5.3.lim 7x4 −3x + 4 . x→∞ 3x2 − 2x +1

5.5.	lim	4x3 − 2x2 + х				.
				3x2 − x
	x→−∞
5.7.	lim	2x2		−5x + 2	.
			4 +3x2 −9
	x→∞ x
5.9.	lim	2x3		−3x2 + 2х		.
			x2 + 7x +1
	x→∞

5.11.lim 7x5 2+ 6x4 − х3 .

x→∞ 2x + 6x +1

5.13.	lim		7	−3x4			.
			3	+3x2	−5
	x→−∞ 2x
5.15.	lim		3x + 7			.

	x→−∞ 2 −3х+ 4x2
5.17.	lim	10x −7				.
			+ 2x3 +1
	x→∞ 3x4

4.18.	lim	8х2		+3x +5		.
			х3	− 2x2	+1
	x→∞ 4

4.20.lim 3х2 + 4x −7 .

x→∞ х4 − 2x3 +1

4.22. lim 2х2 −7x +1 .

x→∞ х3 + 4x2 −3

4.24. lim 8х3 + x2 −7 . x→∞ 2х2 −5x +3

Задача 5

3x2

5.2.

lim

−7x + 2

+ 2x − 4

x→−∞

5.4.

lim

2 − x + 7

3x4

−5x2

+10

x→−∞

5.6.

lim

3x4 − 2x

2 + 2x

−5

x→∞

5.8.

lim

5x2

− 4x + 2

4x3

+ 2x

−5

→−∞

5.10.

lim

3x2 −7x +5

4x5 −3x3

+ 2

x→−∞

5.12.

lim

4 −3х

− 2x2

3x4 +5x

x→−∞

5.14.

lim

8x4 + 7x

3 −

2 −5x +1

x→∞

lim

2x3 −3x +1

7x +5 .

5.16. x→−∞

5.18.

lim

5x4 −3x

+3x2

x→−∞1+ 2х

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]