Логика. Учебное пособие
.pdf
|
Дедуктивныеумозаключения |
А В, А |
– modus ponens (утверждающий способ); |
В |
|
А В, В – modus tollens (отрицающий способ).
А
Таким образом, правильными являются умозаключения от утверждения антецедента (А) к утверждению консеквента (В) и от отрицания консеквента ( В) к отрицанию антецеден- та ( А).
Например, «если идет дождь, то крыши мокрые. Дождь идет. Значит, крыши мокрые» и «если наступает осень, с де- ревьев опадают листья. Листья еще не опали. Значит, осень не наступила».
Разделительно – категорические умозаключения. Эти умозаключения также являются двухпосылочными, причем в них имеется дизъюнктивная посылка (А В) или строго дизъюнктивная посылка (А В). Другая же посылка и заклю- чение совпадают с одним из дизъюнктов (А или В) или с его отрицанием ( А или В).
К числу правильных разделительно-категорических умозаключений относятся:
А В, А |
– modus tollendo ponens; |
В |
(отрицающе-утверждающий способ) |
А В, А |
– modus ponendo tollens. |
В |
(утверждающе-отрицающий способ). |
Например, «в банкомате закончились деньги или он сломался. Банкомат не сломался. Значит, кончились деньги» и «В понедельник
студент-вечерник был либо на занятиях, либо на работе. Он был на работе. Следовательно, на занятиях его не было».
Условно-разделительные (лемматические) умозаключе-
ния. Эти умозаключения содержат несколько импликативных и одну дизъюнктивную посылку. В дизъюнктивной посылке
81
Логика
разделяются определенные варианты развития событий, каж- дый из которых имеет свое следствие. Рассмотрев и сравнив эти следствия, мы приходим к одному общему заключению. Если число рассматриваемых вариантов равно двум, такие умозаключения называются дилеммами:
A C, B C, A B |
- простая конструктивная дилемма; |
C |
|
A B, A C, B C |
- простая деструктивная дилемма; |
A |
|
A C, B D, A B |
- сложная конструктивная дилемма; |
C D |
|
A С, B D, C D |
- сложная деструктивная дилемма. |
A B |
|
В простых дилеммах заключение представляет собой простое суждение, в сложных – разделительное. В конструк- тивных дилеммах заключение является утвердительным, в де- структивных – отрицательным.
Если рассматривается три возможных варианта положе- ния дел, такие умозаключения называются трилеммами, если больше – полилеммами.
§6.2. Классическое исчисление высказываний
Не менее важными категориями логики являются выво- ды, которые можно извлечь из тех или иных посылок. Рас- смотрим логику высказываний как исчисление.
Исчисление – это сугубо формальная теория, содержа- ние которой фиксируется на специально созданном симво- лическом языке, а все рассуждения строятся как преобразо- вания одних символов в другие по определенным правилам
(табл. 6.1).
82
|
|
|
|
|
|
|
|
Дедуктивныеумозаключения |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
|
|
|
|
Правила вывода1 |
||
|
Правила введения связок |
Правила исключения связок |
||||||
в |
|
В, В |
и |
А |
||||
|
|
|
*С |
|
А |
|||
&в |
|
|
А,В |
&и |
А&В А&В |
|||
|
|
|
А&В |
|
А В |
|||
в |
|
|
А В |
|
и |
А В, А А В, В |
||
|
|
А В А |
В |
|
В А |
|||
в |
|
|
|
В |
. |
и |
А В, А |
|
|
|
* |
С |
В |
|
В |
||
*С – последнее допущение.
Данные правила представляют собой схемы разрешен- ных в логике высказываний преобразований. Например, пра- вило (&в) разрешает от утверждения двух отдельных формул А и В перейти к утверждению более сложной формулы А&В, и так далее (смысл большинства правил будет ясен любому, кто помнит табличные определения соотвествующих связок).
В комментариях нуждаются лишь два правила: введение отрицания ( в) и введение импликации ( в). Как вы поняли, в
формуле величина С, фигурирующая в них, обозначает не любое высказывание, а именно последнее допущение. Дело в том, что допущения (гипотезы, версии) довольно часто применя- ются в построении дедуктивных рассуждений, играя в них вспомогательную роль. И как раз для того, чтобы оценить эту роль, подвести итог рассмотрению того или иного предполо- жения, нужны правила введения отрицания и введения им- пликации.
Возьмем, например, правило ( в). Над чертой стоят две формулы, противоречащие друг другу: В и В. Это значит,
1 Заметим, что в данной таблице нет правил, касающихся эквива- ленции и строгой дизъюнкции. В практике рассуждения подобные связки встречаются реже остальных, а правила для них довольно громоздки. Поэтому будем рассматривать их как конъюнкции более простых, импликативных формул.
83
Логика
что в какой-то момент наших рассуждений мы пришли к двум взаимоисключающим выводам. Отчего такое могло случиться? Видимо, мы исходили из какого-то ложного допущения (С), и его следует отрицать. В том случае, если допущений было не- сколько, естественно отрицать последнее из них (если после этого противоречие остается, используем правило ( в) еще раз, и так далее до обнаружения ошибочной посылки). Рас-
смотрим пример правила введения отрицания: предположим, что Земля квадратная (С),
тогда тень, отбрасываемая ею, тоже должна быть квад- ратной. (В);
но тень Земли на Луне во время лунного затмения – круг- лая ( В);
Предположение неверно, т.е. Земля не является квадратной
( С).
Рассмотрим правило введения импликации. Оно применя-
ется в тех случаях, когда используемое допущение не приво- дит к явному противоречию, так что вместо двух взаимоис- ключающих суждений мы получаем одно, вполне ясное и не- противоречивое (В). Можем ли мы утверждать его как очевидную и незыблемую истину? Нет, ведь оно получено с использованием допущения (С), которое само по себе еще не доказано. Но мы вправе утверждать, что по крайней мере су- ждение В вытекает из упомянутого допущения (С В), т.е. В истинно при условии истинности С. Например:
предположим, число х кратно четырем (С); четыре кратно двум; получается, х кратно числу, которое кратно двум; значит, х тоже кратно двум (В).
Итак: если число х кратно четырем, то оно кратно и двум. (С В).
Выводом называется непустая конечная последователь- ность формул, удовлетворяющая условиям:
1) Каждая из них либо является посылкой, либо получе- на из предыдущих формул по одному из правил вывода;
84
Дедуктивныеумозаключения
2) Если в выводе применялись правила ( в) или ( в), то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до ре- зультата применения данного правила, исключаются из уча- стия в дальнейших шагах вывода
Последнее требование означает, что эти формулы уже были использованы и возвращаться к ним более нельзя. По- чему? Если использовалось правило ( в), значит в выводе фи- гурировало заведомо ложное допущение, из которого было получено противоречие. Очевидно, что делать из него еще ка- кие-либо умозаключения, равно как и использовать уже сде- ланные, абсурдно. Если же речь идет об использовании пра- вила ( в), то мы понимаем, что в выводе фигурировало допу- щение C, позволившее получить некоторую нужную нам формулу B, но само по себе еще не доказанное. Возвращаться к этому допущению (или к формулам, из него выведенным) означало бы выдавать гипотетическую истинность В (при ус- ловии С) за категорическую. Это может привести к ошибке под названием «круг в доказательстве».
Формулы, исключенные из дальнейшего хода рассужде- ния после применения правила ( в) или ( в), называются под- выводом. Это значит, что они были полезны лишь внутри ка- кого-то вывода, но не обязательно являются истинными сами по себе. Стоит заметить, что в сложных рассуждениях могут встречаться не только подвыводы, но и подвыводы внутри подвыводов, и так далее. Таким образом, процедура построе- ния вывода как бы разбивается на несколько подчиненных один другому блоков, объединенных одной общей целью. По- этому изложенная здесь логическая теория называется систе-
мой субординатного (т.е. подчиненного) вывода.
Рассмотрим пример рассуждения, производимого с по- мощью системы субординатного вывода. (В дальнейшем тот факт, что некоторые формулы в выводе являются исключен- ными, будем обозначать вертикальной чертой, а допущения, используемые в ходе вывода – знаком «+».)
85
Логика
Пример. 6.1. Наташа долго думала, кого пригласить на свой день рожденья: «Если пригласить Тараса, то не придет Эрика – она с ним в ссо- ре. Если на дне рожденья будет Элла, то надо приглашать и Тараса, пото- му что они брат и сестра. А если не придет Элла, то не придет и Таня». Докажите, что если пригласить Таню, то не придет Эрика.
Примем обозначения: d – придет Тарас;
j – придет Эрика; r – придет Таня; m – придет Элла.
Запишем условия задачи в качестве посылок:
+1. d j
+2. m d по условию
+3. m r
Посмотрим, что будет, если пригласить Таню:
|
+4. r |
|
|
|
|
|
|
[цель: j] |
|
|
Придет ли тогда Элла? |
|
|
|
|
+5. m |
Допустим, она не придет. |
[цель: прот.] |
|
|
||||
|
6. r |
(3, 5 и) |
Тогда не придет и Таня. |
|
|
Мы получили противоречие (6 противоречит 4). Придется |
|||
|
||||
отрицать последнее допущение. Закрываем этот подвывод. |
||||
|
7. m |
(4, 6 в) |
|
|
|
8. m |
(7 и) |
Элла все-таки придет |
|
|
9. d |
(2, 8 и) |
Значит, придет и Тарас |
|
|
10. j |
(1,9 и) |
Следовательно, непридетЭрика. |
|
Итак, из предположения, что придет Таня, мы с необходимо- стью получаем, что не явится Эрика. Это и требовалось доказать. Вводим импликацию и снова закрываем подвывод
11.r j |
(10 в). |
Конечно, данный вывод можно было строить и другими способами. Все зависит от того, какие допущения и в каком порядке мы выбираем. Но лучше делать это не наобум, а ру-
86
Дедуктивныеумозаключения
ководствуясь определенными эвристиками (табл. 6.2). (Эври- стика – тактический прием, упрощающий процедуру поиска решения.)
|
|
|
Таблица 6.2 |
|
Эвристики, основанные на анализе цели |
||
|
|
|
|
№ п/п |
Цель |
Допущение |
Новая цель |
1 |
А |
А |
Противоречие |
2 |
А |
А |
Противоречие |
3 |
А В |
А |
В |
4 |
А & B |
|
А, потом В |
|
|
|
(или наоборот) |
5 |
А B |
А, |
Противоречие |
|
|
Потом В |
Противоречие |
Так, в приведенном выше рассуждении про Таню и Эри- ку были использованы эвристики №3 и №1 (см. указания о введении новых целей на шагах 4 и 5).
Конечно, в процессе построения вывода необходимо держать в уме не только поставленные цели, но и достигнутые на каждом шаге результаты.
|
|
|
|
Таблица 6.3 |
|
|
Эвристики, основанные на анализе вывода |
||||
|
|
|
|
|
|
№ |
В выводе есть |
Поставленная |
Допущение |
Новая цель |
|
п/п |
формула |
цель |
|
|
|
|
|
|
|
Противоречие, |
|
1 |
А В |
В |
А |
чтобы затем |
|
получить А, а из |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
него – В |
|
2 |
|
противоречие |
А (либо В) |
А В, чтобы |
|
(А В) |
возникло |
||||
|
|
|
|
противоречие |
|
|
|
|
|
Противоречие, |
|
3 |
А В |
В |
А |
чтобы затем |
|
получить А, а из |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
него – В |
|
|
|
|
|
87 |
|
Логика
Упражнение 6.1. При помощи системы субординатного выво- да обоснуйте следующие рассуждения. Укажите, какие эвристики вы при этом использовали.
а) если «Динамо» не выиграет следующий свой матч, то в случае, если «Спартак» выиграет свой матч, он станет чемпионом. Если же и «Спартак» и «Динамо» победят в своих следующих встречах, «Торпедо» уже не может рассчитывать на второе место. Следовательно, если «Тор- педо» все-таки займет второе место, а «Спартак» не станет чемпионом, то только потому, что он проиграл свой матч;
б) если в мире существует зло, то Бог, если он всеведущий, должен знать об этом. Если Бог знает о существовании зла, но не может его ис- править, то он не всемогущий. Если же он может его исправить, но не исправляет, то он не всеблагой. Но Бог по определению является всеведу- щим, всеблагим и всемогущим. Следовательно, если зло существует, то оно будет им исправлено.
Обратите внимание, что в рассуждении про Таню и Эрику мы опирались на некоторые изначально данные условия (шаги 1–3). Полученное заключение справедливо лишь для этих усло- вий, но не является логическим законом (теоремой) само по себе. Теперь необходимо ввести ещедваопределения.
Доказательством называется вывод из пустого множе- ства не исключенных посылок.
Теоремой (логическим законом) называется последняя формула в доказательстве.
Другими словами, доказать теорему – значит вывести ее из пустого множества не исключенных посылок.
§6.3. Непосредственные умозаключения
Непосредственными называются умозаключения, в кото- рых вывод делается из одной посылки. Несмотря на тривиаль- ность, в практике аргументации таким выводам отводится очень важная роль. Они служат для того, чтобы быстро и правильно отрицатьили переформулироватьисходноевысказывание:
а) умозаключения по логическому квадрату. Используя от-
ношения, зафиксированные в логическом квадрате (см. рис. 5.1), можно осуществлять ослабление и отрицание атрибутив- ных высказываний.
88
Дедуктивныеумозаключения
Ослабление представляет собой переход от общего вы- сказывания к частному с тем же качеством (вывод по вертика- ли логического квадрата).
SaP Все рыцари являются храбрыми.
SiP Некоторые рыцари являются храбрыми. SeP Ни один дракон не является вегетарианцем.
SoP Некоторые драконы не являются вегетарианцами.
В результате ослабления теряется часть информации, содержащейся в посылке, но получается логически правиль- ный вывод.
Отрицание – это одновременное изменение качества и количества исходного высказывания (из общего высказывания получаем частное, из частного – общее, из утвердительного отрицательное, из отрицательного – утвердительное). Этот вывод осуществляется по диагонали логического квадрата.
SaP Неверно, что все подсудимые являются виновными. SoP Некоторые подсудимые не являются виновными.
SeP Неверно, что ни один юрист не является адвокатом. SiP Некоторые юристы являются адвокатами. .
Остальные выводы по логическому квадрату представ- ляют собой ту или иную комбинацию отрицания и ослаб- ления:
SaP |
SeP |
SiP |
SoP |
SiP |
SoP |
SiP |
SoP |
SeP |
SaP |
SoP |
SiP |
SeP |
SaP |
SaP |
SeP; |
б) обращение атрибутивных высказываний. Обращение
(конверсия) – это непосредственное умозаключение, в котором субъект заключения совпадает с предикатом посылки, а пре- дикат заключения – с субъектом посылки. Другими словами, вывод делается по схеме:
S – P
P – S.
При обращении атрибутивных высказываний надо пом-
нить следующие правила:
89
Логика
1)качество суждения меняться не должно (из утвердитель- ного высказывания получаем утвердительное, из отрицатель- ного – отрицательное);
2)если термин распределен в заключении, он должен быть распределен и в посылке.
Обращение общеотрицательных и частноутвердитель- ных высказываний дает высказывания, эквивалентные исход- ным. Такое обращение называется чистым (conversio simplex).
S+eP+ |
Ни один гений не является злодеем. |
P+eS+ |
Ни один злодей не является гением. |
S– i P – |
Некоторые студенты являются спортсменами. |
P– i S – |
Некоторые спортсмены являются студентами. |
Общеутвердительные высказывания обращаются с огра-
ничением (conversio per accidens): в заключении слово «все» за-
меняется на «некоторые»). Иначе нарушается правило №2.
S+ аP – |
Все студенты – люди. |
P– i S – |
Некоторые люди – студенты. |
Частноотрицательные высказывания вообще не обра- щаются, так как при их обращении в принципе нельзя со- блюсти сразу оба правила.
S– o P+ |
Некоторые женщины не являются матерями. |
P– o S+ |
Некоторые матери не являются женщинами; |
в) превращение атрибутивных высказываний. Превращение
(обверсия) – это непосредственное умозаключение, в котором субъект заключения совпадает с субъектом посылки, а преди- кат заключения является термином, противоречащим преди- кату посылки. Вывод делается по схеме:
S – P
S – ~P.
При превращении атрибутивных высказываний нужно помнить, что:
90