Логика. Учебное пособие
.pdf
Понятие
ракрывают два различных понятия: «прямоугольник с равны- ми сторонами» и «ромб с прямыми углами».
Категория – (греч. «кategoria» – высказывание, обвине- ние, признак) предельно общее понятие. Образуется как по- следний результат отвлечения (абстрагирования) от предме- тов их особенных признаков.
Понятие – это мысль, в которой на основании некоторо- го признака выделяются из универсума и обобщаются в класс все предметы, обладающие этим признаком. Символически обозначается буквой .
Универсум – это предметная область, о которой идет речь в данном языковом контексте. Символически она обо- значается буквой U. В качестве универсума могут выступать множество городов, чисел, людей, их действий и др.
Заметим, что понятия, раскрывающие смысл терминов, в свою очередь, тоже могут быть выражены в языке. Это осуще- ствляется с помощью универсалий – описательных имен видаА( ). Читается такая конструкция следующим образом: «предмет такой, что он обладает признаком А( )». Пере- менная указывает на универсум данного понятия. (Если U есть множество чисел, то – число, если U есть множество лю- дей, то – человек, и др.) Символ А( ) указывает на тот при- знак, по которому выделяются предметы.
Универсум U, по которому пробегает переменная , на- зывается также родом данного понятия, а признак А( ) – ви- довым отличием. Таким образом, всякое понятие выделяет в универсуме (роде) U те и только те предметы, которые обла- дают видовым отличием А( ).
Графически это изображается следующим образом (рис.
3.1).
U
А
Рис. 3.1. Выделение понятия
41
Логика
С семантической точки зрения всякое понятие обладает двумя важнейшими характеристиками: содержанием и объемом.
Содержание понятия, выраженного универсалиейА( ), – это тот самый признак А( ), на основании которого выделяются из универсума и обобщаются в класс все предме- ты в данном понятии.
Объем понятия, выраженного универсалией А( ) – это класс всех тех предметов из универсума, которые обладают признаком А( ). Сокращенно объем понятия А( ) часто обо- значают просто буквой А. Предметы, входящие в класс А, на-
зываются элементами объема понятия А( ).
Виды понятий. Все понятия делятся на виды по объему
исодержанию.
1.Виды понятий по объему.
При выделении видов понятий нужно учитывать раз- личные их особенности. Наиболее важными основаниями для деления понятий являются: 1) тип их объема, 2) тип элемен- тов, входящих в их объемы, 3) тип признаков, на основании которых производится обобщение.
По характеру объема понятия делятся на пустые и не-
пустые.
–Пустым считается понятие, в объеме которого нет ни одного элемента (например, «человек, являющийся сейчас президентом СССР»)
–Непустым считается понятие, в объеме которого есть по крайней мере один элемент (например, «число, являющееся четным»).
Непустые понятия, в свою очередь, делятся на единичные
иобщие.
–Единичным считается понятие, в объеме которого есть ровно один элемент (например, «число, являющееся простым
ичетным»).
–Общим считается понятие, объем которого состоит из более чем одного элемента (например, «человек, являющийся студентом какого-либо вуза»).
42
Понятие
Общие понятия также делятся на: универсальные и неуни-
версальные.
–Универсальным считается понятие, объем которого сов- падает с универсумом (например, «квадрат, у которого все стороны равны»).
–Неуниверсальным считается понятие, объем которого меньше универсума (например, «четырехугольник, у которого все стороны равны»).
2. Виды понятий по типу элементов объема.
По типу элементов объема понятия делятся:
а) на конкретные и абстрактные.
–Конкретным считается понятие, элементами объема ко- торого являются объекты или множества объектов (например, «человек, умеющий играть в гольф»);
–Абстрактным считается понятие, элементами объема которого являются свойства или отношения (например, «со- стояние аффекта, вызванное чрезвычайным происшествием»).
б) собирательные и несобирательные.
–Собирательным считается понятие, элементами объема которого являются множества (например, «толпа людей, со- бравшихся на митинг»).
–Несобирательным считается понятие, элементами объема которого являются отдельные предметы, свойства или отноше- ния (например, «волнение, испытываемоеперед экзаменом»).
3) Виды понятий по содержанию.
По типу признаков понятия подразделяют:
а) на положительные и отрицательные
–Положительным считается понятие, в котором предме- ты обобщаются на основании признака, которым они обла- дают (например, «учебник, купленный в книжном магазине»).
–Отрицательным считается понятие, в котором предме- ты обобщаются на основании признака, которым они не об- ладают (например, «студент, не знающий японский язык»);
б) относительные и безотносительные
–Относительным считается понятие, в котором пред- меты обобщаются на основании их отношения к другим
43
Логика
предметам. Например, относительным является понятие о жене – «женщина, состоящая в браке с каким-то мужчиной», – поскольку его признак выделяет женщин не по их собствен- ным качествам, а через отношение к каким-то мужчинам, т.е. как одну из сторон супружеской четы.
– Безотносительным считается понятие, в котором предметы обобщаются на основании их собственных свойств. Например, понятия о композиторе – «человек, сочиняющий музыку».
В заключении отметим, что осуществить полный логиче- ский анализ понятия, значит определить его универсум (род), объем и содержание, а также установить, к каким видам оно относится по всем указанным ранее основаниям деления.
§3.2. Булевы операции над понятиями
Операции над понятиями, точнее – над объемами поня- тий, т.е. классами называются булевыми, по имени английско- го логика Дж. Буля, построившего особую алгебру логики, по- лучившую в его честь название булевой алгебры.
Предположим, что даны два понятия А( ) и В( ). Ус- ловимся, что род у этих понятий один и тот же. Объемы этих понятий будем сокращенно обозначать просто буквами А и В (читается: «класс А» и «класс В»). Тогда с этими объемами можно осуществить следующие операции рис. 3.2).
А
В
а)
А
В
б)
А |
В |
А |
А |
|
|
|
б |
|
в) |
|
г) |
Рис. 3.2. Операции: а) – пересечение (А В); б) – объединение (А В); в) – вычитание (А\В); г) – взятие дополнения ( А)
44
Понятие
Штриховкой на схемах обозначен результат применения соответствующих операций к классам А и В.
Пересечение объемов двух понятий равняется классу пред- метов, которые входят одновременно в объем каждого из них. Объединение двух понятий равняется классу предметов, которые входят в объем по крайней мере одного из них. Вычитание объ- ема одного понятия из объема другого равняется классу пред- метов, которые входят в объем первого понятия, но не входят в объем второго. Дополнение к объему понятия представляет со- бой класс предметов, которые не входят в объем этого понятия.
§3.3. Отношения между понятиями по объему
Между понятиями существуют объективные, независя- щие от человека отношения. Прежде всего, это отношения
сравнимости и несравнимости.
Два понятия А( ) и В( ) являются сравнимыми, если и толькоеслиихуниверсумысовпадают. Например, понятияопре- ступнике и о жертве преступления – сравнимы. Оба они относят- сякоднойитойжепредметнойобласти– универсумулюдей.
Два понятия А( ) и В( ) – несравнимы, если они отно- сятся к различным универсумам. Например, понятие о четном числе и понятие о европейской столице являются несравни- мыми, поскольку первое из них имеет своим родом универсум чисел, а второе – универсум городов.
Среди всевозможных пар сравнимых понятий можно выделить три фундаментальных отношения в том смысле, что с их помощью возможно задать все остальные отношения. К числу фундаментальных принадлежат отношения совмести-
мости, включения и исчерпывания.
Фундаментальные отношения:
1) понятия А( ) и В( ) находятся в отношении со- вместимости, если и только если пересечение их объемов А и В не пусто, т.е. А В . Это означает, что в универсуме име- ется по крайней мере один элемент, обладающий как призна- ком А( ), так и признаком В( ) (например, А – студент, В – спортсмен);
45
Логика
2) понятие В( ) находится к понятию А( ) в отноше- нии включения если и только если при вычитании объемаА( ) из объема В( ) получается пустое множество, т.е. В\A = . Это означает, что всякий элемент универсума, обладаю- щий признаком В( ), обладает также признаком А( ) (напри- мер, А – учащийся, В – студент);
3) понятия А( ) и В( ) находятся в отношении исчер- пывания, если и только если объединение их объемов А и В равно универсуму, т.е. А В = U. Это означает, что каждый элемент универсума обладает признаком А( ) или признаком В( ) (например, А – сын, В – дочь; каждый человек является чьим-то сыном или дочерью).
Вспомогательные отношения выводятся из фундамен-
тальных. Наиболее важные из них следующие: равнообъем-
ность, подчинение, соподчинение, противоречие, дополнение, пере- крещивание.
1. А и В равнообъемны. 2. А подчиняется В. 3. А и В со- подчиняются.
|
|
А, В |
|
А |
В |
|
|
А |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
б |
|
|
|
в |
||
4. |
А противоречит В. 5. А дополняет В. 6. А и В перекре- |
||||||||||
щиваются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А |
|
В |
|
А |
|
В |
|
А |
В |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
д |
|
|
|
е |
|
|
Рис. 3.3. Вспомогательные отношения: а – равнообъемность;
б – подчинение; в – соподчинение; г – противоречие; д – дополнение; е– перекрещивание
46
Понятие
§3.4. Обобщение и ограничение понятий
Помимо булевых операций, к понятиям часто применя- ются такие операции обобщение и ограничение. Они основаны на отношении типа «род-вид». Из двух непустых понятий од- но считается родовым, а другое видовым, если второе нахо- дится в отношении подчинения к первому. Это отношение на формальном языке обозначается символом « «.
Например, из двух понятий А( ) «европейский город» и В( ) «европейская столица» первое является родовым, а второе – видовым, т.е., В А. Интересно, что содержания этих понятий находятся в обратном отношении, а именно, содер- жание А( ) является частью содержания понятия В( ). Этот факт известен в логике как закон обратного отношения.
Закон обратного отношения: объем понятия А( ) со-
ставляет часть объема понятия В( ), если и только если со- держание понятия В( ) является частью содержания понятияА( ). На формальном языке: А В А( ) В( ).
Сравним, например, два понятия (рис. 3.4):
1)«студент, сдавший все экзамены» и
2)«студент, сдавший хотя бы один экзамен».
Объем первого понятия включа-
ется в объем второго (среди студентов, сдавших хотя бы один экзамен, есть 2 такие, кто сдал все экзамены). А вот содержания этих понятий находятся в обратном отношении: из содержания первого (сдать все экзамены) логически следует содержание второго (сдать хо- тя бы один экзамен).
Обобщением называют переход от видового понятия к родовому (т.е., от понятия с меньшим объемом и большим со- держанием, к понятию с большим объемом и меньшим со- держанием). Для непустых понятий пределом обобщения яв- ляется универсальное понятие.
47
Логика
Например: «мужчина, который является президентом Рос- сии» → «мужчина, живущий в Кремле» → «мужчина, живущий в Москве» → «мужчина, живущий в России» → «мужчина, живущий в деревне» → «мужчина»
Ограничением называют переход от родового понятия к видовому (т.е., от понятия с большим объемом и меньшим со- держанием, к понятию с меньшим объемом и большим со- держанием). Для непустых понятий пределом ограничения является единичное понятие.
Например: «человек» → «человек, живущий в Европе» → «человек, живущий в Москве» → «человек, живущий в ЗАО Моск- вы» → «человек, являющийся нынешним префектом ЗАО Москвы».
§3.5. Деление и классификация
Важные логические операции – деление и классификация понятий.
Деление понятия – это логическая операция, в результа- те которой совершают переход от родового понятия к множе- ству видовых понятий. Деление некоторого непустого поня- тия В( ) – это переход от данного понятия к некоторой сис- теме непустых понятий S = { А1( ), А2( ), …, Аn( )}, каждое из которых является видовым по отношению к исходному. В состав деления входят:
1)делимое понятие – родовое понятие В( ), объем ко- торого разбивается на классы;
2)члены деления – видовые понятия А1( ), А2( ), …,Аn( ), полученные в результате такого разбиения;
3)основание деления – характеристика предметов, вхо- дящих в объем делимого понятия, модификация которой и порождает систему членов деления S.
В зависимости от выбранного основания деления, разли- чают следующие виды деления: дихотомическое и по видоиз-
менению основания.
В случае дихотомического деления родового понятия
В( ) основание деления – признак, присущий лишь части
48
Понятие
предметов, входящих в объем В( ). Деление осуществляется по наличию или отсутствию этого признака у предметов де- лимого понятия. Например, животные делятся на позвоноч- ных и беспозвоночных.
Во втором случае в качестве основания деления исполь- зуются варьируемые характеристики элементов объема дели- мого понятия (вес, цвет, объем, форма, величина и др.). На- пример, треугольники делятся на прямоугольные, остро- угольные и тупоугольные.
Можно выделить основные правила деления.
Правило 1. Деление должно быть соразмерным, т.е. объем де- лимого понятия должен равняться сумме объемов членов деления.
Объединение объемов членов деления должно совпадать с объемом делимого понятия.
При нарушении данного правила возникает ошибка под названием «неполное деление». Например, «женщины делятся на шатенок и блондинок» (пропущены классы брюнеток, рыжих и др.). Простейший способ избежать этой ошибки – всегда включать в систему деления категорию «и прочие».
Правило 2. Все члены деления должны исключать друг друга, т.е. их объемы не должны иметь общих элементов.
При нарушении данного правила возникает ошибка
«перекрещивающееся деление». Например, «войны делятся на
«захватнические», «освободительные» и «справедливые». Здесь в объем понятия «справедливые» входит понятие «освободи- тельные».
Правило 3. Деление должно осуществляться по одному осно- ванию.
При несоблюдении данного правила возникает ошибка «сбивчивое деление». Если деление сбивчивое, оно довольно час- то оказывается также неполным или перекрещивающимся. На- пример, «студенты делятся на «первокурсников», «третьекурс- ников» и «отличников». Здесь деление осуществлено по разным основаниям: погодамобучения и по качествуобучения.
Правило 4. Деление должно быть непрерывным, т.е. члены деления должны быть однопорядковыми видами. При этом каждое
49
Логика
видовое понятие должно быть близким видом данного рода. При на- рушении этого правила возникает логическая ошибка «прыжок в делении». Например, «все экзамены делятся на «устные» и «письменные. В свою очередь письменные могут быть в виде выполнения тестов или письменного ответа на экзаменацион- ные вопросы билета». В данном примере непрерывность де- ления соблюдена.
Деление понятий играет важную роль в такой форме систематизации логического знания, как классификация.
Классификация – результат многоуровнего, последова- тельного деления некоторого понятия на его рода, а родов на виды, а видов на подвиды и др. Классификации крайне важ- ны в научных исследованиях, когда требуется привести полу- ченные знания в единую стройную систему. Примеры клас- сификации: периодическая система химических элементов Д. Менделеева, классификация общественно-экономических формаций К. Маркса
Для построения классификации можно использовать все виды логического деления.
Выделяют два вида классификации в соответствии с ха- рактером оснований, используемых в операциях делений: ис-
кусственную и естественную.
Искусственной считается классификация, в которой в качестве оснований деления используются второстепенные, несущественные характеристики предметов. Пример: теле- фонный справочник, тезаурус.
Естественной считается классификация, в которой в ка- честве оснований деления используются существенные харак- теристики предметов.
Существенными, как правило, называются те характери- стики предмета, которые используются для теоретически на- учного описания этого предмета. Такие характеристики со- ставляют его «сущность».
50