Логика и методология научного исследования. Учебное пособие

Глава 2. Символическая логика

Интересны и важны следующие правила и законы, которые можно обосновать средствами минимальной логики:

(А ë В) ((А ë f В) ë f А). Производное правило введения отрицания:

А ë В А ë f В . f А

Закон введения двойного отрицания:

Аë f f А.

(А вот «обратную» импликацию, то есть, принцип удаления двойного отрицания f f А ë А невозможно доказать в минимальной логике. Желающий может проверить это самостоятельно.)

Закон противоречия (или принцип непротиворечия): f (А Ð f А).

Законы контрапозиции (А ë В) ë (f В ë f А), (А ë fВ) ë (В ë f А).

Две схемы производного правила modus tollens:

Производное правило простой деструктивной дилеммы:

А ë В А ë С f В ] f С . f А

Квазисильное косвенное доказательство

Можно уменьшить ограничения, наложенные на косвенное доказательство, а именно: не требовать, чтобы специальное допущение обязательно входило в доказательство. В результате получается так называемое квазисильное косвенное доказательство.

Понятно, что любое слабое косвенное доказательство является и квазисильным, но обратное неверно. Квазисильное доказательство есть частный случай косвенного доказательства,

81

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

полученного в результате того, что при построении квазисильного доказательства запрещается вводить отрицание консеквента доказываемой кратной импликации. Логическая система, имеющая в числе основных правил принцип построения квазисильного косвенного доказательства, представляет собой одно из исчислений конструктивной логики. Важное значение имеют специфические для неё теорема:

А ë (f А ë В)

и производное правило удаления отрицания:

А f А .

В

На первый взгляд это правило кажется «парадоксальным». Это потому, что в обычных рассуждениях оно применяется или неявно (например, в составе более сложных правил), или на промежуточных стадиях рассуждения.

Одна из четырех схем производного правила, известного в традиционной логике как modus tollendo ponens (способ утверждения посредством отрицания):

А ] В f А .

В

Часто логику высказываний, представленную здесь системой

N, называют классической логикой высказываний. В классической логике есть теоремы не доказуемые в её конструктивном варианте, например, закон исключенного третьего А ] f А и закон удаления двойного отрицания f f А ë А. Однако конструктивная логика связана с классической рядом интересных соотношений, свидетельствующих о том, что в известном смысле конструктивная логика не беднее логическими средствами, чем классическая. Согласно результату В.И. Гливенко, в конструктивной логике высказываний для любой теоремы классической логики высказываний доказуемо ее двойное отрицание; при этом все теоремы классической логики, начинающиеся знаком отрицания, доказуемы в конструктивной. Г. Гёдель доказал также, что любая теорема классического исчисления высказываний, не содержащая других связок, кроме Ð и f , доказуема в конструктивном исчислении высказываний.

82

Глава 2. Символическая логика

Конструктивная логика, как самостоятельное логическое исчисление, имеет свою семантику. Её возникновение связано с особым, конструктивным пониманием математических объектов, согласно которому они являются результатами процесса конструирования. Её требованиям не удовлетворяют классические (сильные) косвенные доказательства. Согласно такому пониманию, существование объекта с заданными свойствами считается доказанным когда указан способ потенциально осуществимого построения объекта с заданными свойствами.

Сильное (классическое) косвенное доказательство

Интересна ситуация, которая возникает, когда к конструктивному варианту исчисления высказываний добавляется правило следования, которое можно назвать правилом двойного отрицания. Оно представимо двумя схемами:

Можно сказать, что в случае (1) речь идет об удалении двойного отрицания, а в случае (2) — о его введении.

Добавление этого правила к конструктивному варианту пропозициональной логики дает так называемое исчисление высказываний. Обозначив его Ncs, можно показать, что оно равнообъемно (эквивалентно) системе N (которая выше была сформулирована первой). Если вводить понятие сильного косвенного доказательства, это выглядит следующим образом

П р а в и л о п о с т р о е н и я с и л ь н о г о к о с в е н н о г о д о к а з а т е л ь с т в а :

Сильное косвенное доказательство формулы вида А1 ë (А2 ë… (Аn ë С) … )

строится согласно следующему предписанию. На любом шаге построения можно написать:

1)одну из формул А1, А2, … Аn в качестве допущения:

1а) формулу f С в качестве допущения сильного косвенного доказательства;

83

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

2)формулу, следующую из ранее полученных формул по одному из правил вывода;

3)ранее доказанную формулу.

Сильное косвенное доказательство считается построенным, когда в соответствии с пунктами (1)–(3) получена последовательность формул, содержащая формулу f С, пару противоречащих формул и оканчивающаяся одной из формул данной пары.

Таким образом, выявляется следующая классификация доказательств в пропозициональной логике. Они подразделяются на прямые и косвенные, а последние, в свою очередь — на слабые, квазисильные и сильные. Рассмотрев с системой N (или, что то же, Ncs), можно раскрыть её иерархическую структуру, то есть выделить в ней ряд подсистем, находящихся в отношении субординации.

Если начать с положительной (позитивной) логики, обозначив её Npos, то, добавив к ней правило слабого косвенного доказательства можно получить минимальную логику Nmin. Далее, заменив в Nmin правило слабого косвенного доказательства правилом квазисильного косвенного доказательства, получаем систему конструктивной логики Ncn, которая в нашем рассмотрении «подчинена» полной системе N.

Субординация рассмотренных логически систем представляет собой естественную логическую иерархию, которую можно рассматривать в качестве абстрактной модели развития форм логических умозаключений (рассуждений). В ней переход от Npos к Nmin является переходом от форм умозаключений, лежащих в основе прямых доказательств, к формам умозаключений, в которых осуществляются и слабые косвенные доказательства. Дальнейшие переходы представляют увеличение «степеней косвенности» форм умозаключений.

В данной иерархи можно выделить Npos как в известном смысле предельную систему, в которой нет других правил вывода кроме МП. Это исчисление позитивной (положительной) импликации. В нем формализуется минимум фундаментальных логических принципов в том смысле, что логические средства этой системы явно или неявно используются при построении всех логических доказательств.

84

Глава 2. Символическая логика

Важнейшие свойства исчисления высказываний

Две самые главные характеристики пропозициональной логики, представленной в виде исчисления высказываний, да и любой логической и математической системы вообще — это свойства корректности (непротиворечивости) и полноты. Имеется в виду корректность и полнота относительно класса логических тождеств (тождественно-истинных суждений). Они выражаются следующими теоремами (например, для классического варианта N).

Т е о р е м а п о л н о т ы

Если некоторая формула тождественно-истинна, то она доказуема в системе N.

Поскольку здесь фигурирует семантическое понятие истинности, данное свойство иногда называют семантической полнотой рассматриваемой системы.

Т е о р е м а к о р р е к т н о с т и ( н е п р о т и в о р е ч и в о с т и )

Любая доказуемая в N формула является тождественно-истинной.

Существует два пути установления теоремы корректности. Первый состоит в том, чтобы напрямую показать, что любая доказуемая в рассматриваемой системе формула истинна при любом наборе истинностных значений входящих в неё переменных. Такое доказательство является достаточно сложным. Второй путь более приемлем для того, кто намерен изучить логику. Он состоит в том, что (сравнительно легко) доказывается непротиворечивость аксиоматического исчисления высказываний, которое есть просто другая форма представления системы N; отсюда и следует её корректность. Поэтому познакомимся сначала с еще одним видом логических исчислений.

85

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

2.5. Аксиоматическое представление логики высказываний

Логические системы такого вида называются системами гильбертовского типа по имени немецкого математика Д. Гильберта. По сравнению с системами натурального вывода в этих системах формальная структура доказательств существенно отличается от логического строения обычных рассуждений. Здесь не используется метод введения допущений в качестве основного правила и доказательства строятся как выводы из формул, принятых в качестве аксиом данной системы (а аксиома — это, грубо говоря, высказывание, принятое за истину без всякого доказательства).

При построении исчисления высказываний гильбертовского типа выбирают конечное число эффективно определенных (например, с помощью простых таблиц) логических тождеств в качестве аксиом и указывают правила вывода, применяя которые, из аксиом можно получать новые логические тождества в качестве теорем, или доказуемых формул, соответствующей логической системы.

В системе H аксиомами являются формулы следующих видов:

A1. A ë (B ë A)

A2. (A ë (B ë C)) ë ((A ë B) ë (A ë C)) A3. A ë (B ë (A Ð B))

A4. (A Ð B) ë A

A5. (A Ð B) ë B

A6. A ë (A ] B)

A7. B ë (A ] B)

A8. (A ë C) ë ((B ë C) ë ((A ] B) ë C)) A9. (A ë B) ë ((A ë f B) ë f A)

A10. A ë (f A ë B) A10 0. f f A ë A

Единственным правилом вывода является МП. Доказательство в системе H строится согласно следующему

предписанию.

86

Глава 2. Символическая логика

На каждом шаге можно написать:

1)одну из аксиом;

2)формулу, следующую из ранее написанных формул

по правилу МП.

Доказательство формулы F считается построенным, если в соответствии с пунктами 1)–2) получена последовательность формул, заканчивающаяся формулой F. Эта формула считается

доказуемой формулой или теоремой системы H.

Тривиальное доказательство формулы q ë q, состоявшее в системе N из одной строки, в системе H требует, по меньшей мере пяти строк. (Читателю предлагается убедиться в этом самостоятельно.)

В этой системе аксиомы заданы с помощью схем аксиом, то есть, выражений метаязыка данной системы. Конкретную аксиому можно получить надлежащим замещением метапеременных произвольными формулами в соответствующей аксиомной схеме. Однако можно поступить иначе, задав аксиомы в самом языке системы в виде списка формул. В этом случае потребуется еще одно правило — правило подстановки.

З а м е ч а н и е .

Нетрудно видеть, что любое доказательство в системе H можно рассматривать в качестве одноименного доказательства в системе N. Кроме того, в системе N есть правило МП. Таким образом, первая часть доказательства эквивалентности этих систем тривиальна. Для нахождения метода обратного преобразования N-выводов в H-выводы в системе H вводится понятие вывода из посылок (изображаемого схемой А1, А2 , …, Аn / С) и применяется теорема дедукции:

если предъявлен вывод А1, А2, …, Аn / С в системе H,

то в этой системе можно построить вывод А1, А2, … , Аn–1 / А ë С.

С помощью этой теоремы можно показать, что, удаляя аксиому A10 0 из системы H, мы получаем эквивалентную ей систему. Значит, можно было бы обойтись без этой аксиомы. Включение её в состав H продиктовано только необходимостью провести в этой системе различие между конструктивными и неконструк-

87

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

тивными доказательствами, как это было сделано в системе N. Теорема дедукции облегчает доказательство непротиворечивости логической системы. Непротиворечивость является непременным требованием, предъявляемым к любой системе способов рассуждения. Суть его в общем-то проста — в системе не может быть доказуемо некое высказывание и его отрицание.

Логическая система называется разрешимой, если существует эффективный метод, позволяющий конечным числом сравнительно простых действий для любой формулы установить, выводима ли она в данной системе. Этот метод называется разрешающей процедурой, или разрешающим алгоритмом. Из результатов проведенного рассмотрения классической логики высказываний следует, что системы N и H разрешимы, и простейшей разрешающей процедурой для них является метод семантических таблиц.

Прежде, чем перейти к общеметодологической части данного учебного пособия, уместно сделать одно замечание. Специалисты в области логики бывают двух видов. Одни получают новые, более или менее значимые для логики результаты, а другие провозглашают, что, занимаясь всю жизнь этой наукой, они, наконец, приступили к решению главного вопроса: «Что есть логика?» К каким из них примкнуть или заявить, что у него своя логика, и другая ему не нужна — каждый решает сам.

88

Глава 3.

МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1. Понятие метода и методологии

Научная деятельность, как и любая другая, осуществляется при помощи определенных средств, а также особых приемов и способов, т.е. методов, от правильного использования которых во многом зависит успех в реализации поставленной задачи исследования.

Метод — это совокупность приемов и операций практического и теоретического освоения действительности. Основная функция метода — внутренняя организация и регулирование процесса познания или практического преобразования того или иного объекта.

Научный метод — это система правил и приемов, с помощью которых достигается объективное познание действительности.

Характер метода существенно определяется:

—предметом исследования;

—степенью общности поставленных задач;

—накопленным опытом и другими факторами.

Методы, подходящие для одной области научных исследований, оказываются непригодными для достижения целей в других областях. В то же время мы являемся свидетелями многих выдающихся достижений как следствий переноса методов, хорошо зарекомендовавших себя в одних науках, в другие науки для решения их специфических задач. Наблюдаются, таким образом, противоположные тенденции дифференциации и интеграции наук на основе применяемых методов.

Любой научный метод разрабатывается на основе определенной теории, которая, таким образом, выступает его предпосыл-

89

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

кой. Эффективность и сила того или иного метода обусловлена содержательностью и глубиной той теории, на основе которой он формируется. В свою очередь метод используется для углубления и расширения теоретического знания как системы. Таким образом, теория и метод тесно взаимосвязаны: теория, отражая действительность, трансформируется в метод посредством разработки вытекающих из нее правил, приемов, операций — методы способствуют формированию, развитию, уточнению теории,

еепрактической проверке. Основные функции метода:

—интегративная;

—гносеологическая;

—систематизирующая.

В структуре метода центральное место занимают правила. Правило — это предписание, устанавливающее порядок действий при достижении некоторой цели. Правило является таким положением, в котором отражена закономерность в некоторой предметной области. Кроме того, в структуру метода входят некоторые приемы.

Понятие методологии

В самом общем смысле под методологией понимается система методов, используемых в некоторой области деятельности. Однако в контексте философского исследования методология — это, прежде всего, учение о методах научной деятельности, общая теория научного метода. Ее задачи заключаются в исследовании возможностей и перспектив развития соответствующих методов в ходе научного познания. Методология науки стремится упорядочить, систематизировать методы, установить пригодность их применения в различных областях.

Методология науки представляет собой теорию научного познания, исследующую познавательные процессы, происходящие в науке, формы и методы научного познания. В этом смысле она выступает знанием философского характера.

Методология как общая теория метода формировалась в связи с необходимостью обобщения и разработки тех методов, ко-

90