Логика и методология научного исследования. Учебное пособие

Глава 1. Общая логика

Энтимему можно построить по любой фигуре силлогизма и восстановить её до той же самой или другой фигуры, в зависимости от познавательной задачи, например, для восстановления энтимемы, в которой пропущенная посылка является ложным суждением.

2.Полисиллогизм — это сложный силлогизм, образованный соединением нескольких простых силлогизмов. Если заключение одного силлогизма становится большей посылкой другого, он называется прогрессивным. Если в полисиллогизме заключение одного силлогизма становится меньшей посылкой другого, он называется регрессивным.

3.Сорит — вид сложносокращенного силлогизма, образуемый из полисиллогизмов путем исключения из них посылок, являющихся заключениями простых силлогизмов. Из приведенных выше схем полисиллогизмов получаются соответственно две схемы соритов:

по имени первого его исследователя.

4.Эпихейрема — вид сложносокращенного силлогизма, обе посылки которого являются энтимемами.

41

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Любую эпихейрему можно превратить в сорит, если её посылки превратить в полные силлогизмы и расположить их определенным образом.

Условные, разделительные и условно-разделительные силлогизмы

1.Условные силлогизмы. Уловными называются такие силлогизмы, в которых либо одна, либо обе посылки являют-

ся условными суждениями:

а) силлогизм, в котором обе посылки представляют собой условные суждения называют чисто условным. Он соответствует схеме:

Если А, то В Если В то С

Следовательно, если А, то С

2. Разделительный силлогизм. Разделительным, или дизъюнктивным, силлогизмом называется такое умозаключение, в котором первая посылка есть разделительное (дизъюнктивное) суждение, а вторя посылка и заключение суть суждения дизъюнктивные или категорические.

Данные силлогизмы имеют по два модуса:

а) tolleno ponens, во второй посылке которого отрицается всё, кроме одной альтернативы, и в заключении она утверждается; поэтому модус называется модусом, «утверждающим посредством отрицания»:

S есть A или B или C

S не есть ни A, ни B

Следовательно, S есть C

б) ponendo tollens, то есть, «модус, отрицающий посредством утверждения».

В этом случае, во второй посылке утверждается одна альтернатива; поэтому в заключении все оставшиеся альтернативы отрицаются:

42

Глава 1. Общая логика

S есть или A, или B, или C

S есть A

Следовательно, S не есть ни В, ни C

Для правильности построения дизъюнктивного силлогизма необходимо соблюдение двух правил:

1)в разделительном суждении должны быть перечислены все возможные альтернативы;

2)должно быть учтено точное значение связки «или», которая с логической точки зрения, может быть сильной или слабой, и в сильном варианте все альтернативы исключают ода другую, а при слабом — нет.

3.Условно-разделительные силлогизмы. Их структура проста: одна посылка является условным суждением, а вторая — дизъюнктивным. В зависимости от числа альтернатив, перечисленных в дизюнктивной посылке, условно-разделительный силлогизм можно называть дилеммой, трилеммой, тетралеммой, и т.д. Наиболее употребительной в практике мышления является дилемма. Она бывает простой и сложной, конструктивной и деструктивной. В конструктивной дилемме совершается мысленный переход от утверждения альтернатив к утверждению соответствующих следствий. Деструктивной

дилемме происходит переход мысли от отрицания D. Простая конструктивная дилемма соответствует схеме:

Если А, то C, если B, то C A или B

C

Схема сложной конструктивной дилеммы:

Если A, то B; если C, то D A или C

D

43

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Схема простой деструктивной дилеммы:

Если А, то или B, или C Не B и не С

Не А

Схема сложной конструктивной дилеммы:

Если A, то B; если C, то D Не В и не D

Не А и не С

Ошибка при построении лемматического силлогизма очень часто состоит в том, что дилемма формулируется там, где её дизъюнктивная посылка не исчерпывает всех альтернатив.

Индуктивные умозаключения

Все рассмотренные умозаключения называются дедуктивными, и далеко не исчерпывают всей области умозаключений, хотя и составляют важную и наиболее разработанную в логике её часть. Индукция (букв. inductio — наведение) здесь трактуется как устойчивая связь мыслимого содержания, в которой отражается и фиксирующая восхождение мысли от менее общих положений к более общим. Индукция рассматривается как тип умозаключений, посредство которых производится перенос знания об отдельных предметах на весь класс этих предметов.

Познавательное значение индукции отмечал и Аристотель. По его мнению, привязанность индукции к опытному наблюдению и непосредственная проверяемость индуктивного обобщения делает её более простым и часто применяемым по сравнению с дедукцией способом умозаключения. Но тем не менее, признавая простоту и очевидность индуктивных умозаключений, Аристотель отдал предпочтение детальной разработке более строгих дедуктивных умозаключений — силлогистике. Его силлогистика сейчас, конечно, имеет больше историческое и дидактическое

44

Глава 1. Общая логика

значение, однако Стагирит впервые сформулировал её как достаточно стройную систему логических умозаключений.

Виды индуктивных умозаключений

Различают полную индукцию, если посылки исчерпывают весь класс изучаемых объектов без исключений, и неполную индукцию, если индуктивное обобщение касается только части этого класса. Заключением по методу полной и неполной индукции является общее суждение.

Полная индукция осуществляется по схеме:

S1 есть P S2 есть P

…

Sn есть P

Известно, что S1, S2, …, Sn исчерпывают все предметы класса S. Следовательно, все S есть P. Например:

Сентябрь в этих местах был холодным и дождливым. Октябрь тоже.

Ноябрь тоже.

Сентябрь, октябрь, ноябрь — осенние месяцы.

Следовательно, осень в этих местах была холодной и дождливой.

Полная индукция базируется на знании о всех предметах изучаемого класса без исключения, и поэтому вывод здесь дает категорическое суждение. Она обнаруживает сходство с силлогистическими умозаключениями, в связи с чем некоторые логики отказывают ей в новизне и значимости получаемых заключений.

Неполная индукция, или индукция через простое перечисление при отсутствии противоречивых случаев, (иногда её называют популярной) даёт заключения, которые истинны только с не-

45

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

которой степенью вероятности, зависящей от того, какая часть предметов исследуемого класса фиксируется в посылках.

Пользуясь неполной индукцией следует избегать ошибки поспешного обобщения и ошибки, давно известной под названием «post hoc, ergo proper hoc» (после этого, значит, по причине этого).

Научная индукция, в отличие от неполной, при которой посылки для обобщения берутся, по большей части, случайно, нацелена на связи существенные, среди которых важное место принадлежит причинно-следственным связям. Особую роль для научной индукции играют наблюдение и эксперимент. Однако всё это, включая вопрос о взаимосвязи дедукции, индукции и аналогии, относится уже не к логике, как таковой, а к методологии научного познания, о которой речь пойдёт в последней части этого учебного пособия.

46

Глава 2. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Символическая логика возникла в результате применения к анализу логических проблем строгих методов, сходных с теми, что используются в математике. С помощью специального языка формул (символов) достигается адекватное, краткое и ясное описание логической структуры доказательств и осуществляется построение строгих логических теорий. К переводу рассуждений с естественного языка на символический и обратно нужно привыкнуть; без этого в области современной логики делать нечего. Символическую логику называют еще и математической, но не следует думать, что в ней разрабатываются только логические проблемы математики и методы символической логики являются математическими в собственном смысле слова. В формальной логике, независимо от математики, с момента её возникновения развиваются свои символические средства и методы анализа. Интересно, например, что понятие переменной было введено в области логики задолго до того, как оно стало применяться в математике. И дело, конечно, не в использовании символов.

Открытие формального метода построения логики принадлежит, опять же, Аристотелю. Он, автор аксиоматического построения логической теории (силлогистики), на десятилетия опередил появление аксиоматического метода в «Началах» Евклида. Формальная техника силлогистики Аристотеля и методы стоиков получили развитие в трудах средневековой логике, например, в трудах Петра Абеляра (1079–1142), Дунса Скота (1266–1308) и Уильяма Оккама (1300–1349) и других.

Одним из основоположников символической логики по праву считается великий философ и математик Г.В. Лейбниц (1646– 1716). В частности, он автор оригинальной системы силлогисти-

47

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

ки и ее арифметической интерпретации. Главным недостатком предшествующей логики он считал отсутствие строгого и точного логического языка, и выдвигал масштабную программу формализации всего научного знания. Лейбниц первым в науке стал строить логические исчисления, формализовал расширенную силлогистику, занимался логикой отношений, установил аналогию между логикой и алгеброй, применил аксиоматический метод построения логики и пытался формализовать все её основные принципы. Выдающимися предшественниками современной символической логики можно назвать А. де Моргана (1806– 1871) и Б. Больцано (1781–1848).

Можно полагать, что начало систематическому развития символической логики положено в книгах Джорджа Буля Математический анализ логики (1847) и Исследование законов мысли (1854). Свою формальную систему он назвал «алгеброй логики» и всячески подчеркивал значение для науки значение для науки языка, содержащего набор символических средств. Созданная Булем алгебра логики получила развитие в работах У.С. Джевонса (1835–1882), Э. Шрёдера (1841–1902), Д. Венна (1834–1923) и других логиков.

Существенную роль в развитии разных аспектов логики сыграли труды русского математика и астронома П.С. Порецкого (1846–1907). Огромное значение для современных представлений о законах логики имеют работы немецкого ученого Г. Фреге, особенно его книга «Исчисление понятий». Большую роль в развитии идей Фреге сыграл трёхтомный труд Principia Mathematica англичан Б. Рассела и А. Уайтхеда. Крупнейшие результаты, определившие её нынешнее состояние были получены Д. Гильбертом, К. Гёделем, Г. Генценом, А. Чёрчем, А. Тарским. Значительный вклад в развитие современной логики внесли А.Н. Колмогоров, П.С. Новиков, А.И. Мальцев, А.А. Марков, Н.А. Шанин и другие.

В настоящее время символическая логика — это интенсивно развивающаяся наука, которая имеет ряд теорий и независимых направлений исследования. Она получила разнообразные применения в математике и кибернетике, биологии и лингвистике, педагогике и праве, философии и социологии.

48

Глава 2. Символическая логика

2.1. Логика высказываний

Логика высказываний — первая, вводная часть символической логики, и основными её понятиями являются высказывание и логический союз (или логическая связка). Всё сказанное ранее о суждениях и умозаключении верно и для логики высказываний с поправкой на особенности символического языка и некоторые особенности применяемых методов.

Высказыванием (proposition) называется предложение (sentence), выражающее суждение (judgment).

Если суждение, составляющее смысл высказывания, истинно, то выражающее его высказывание называется истинным.

Сходным образом, высказывание считается ложным, если ложно выраженное в нем суждение.

Итак, рассматривается часть логики, построенная с помощью высказываний, которые либо истинны, либо ложны. Поэтому речь идёт о двухзначной логике (причем о классическом её варианте).

Язык логики высказываний

Это искусственный язык, содержащий:

1)пропозициональные буквы (пропозициональные переменные) p, q, r, s, t ... возможно, с нижними индексами;

2)логические знаки: f отрицание; ë импликация; Ð конъюнкция; ] дизъюнкция; d эквивалентность; ^ логическое следование; _ логическая равносильность

3)технические знаки: ( — левая скобка; ) — правая скобка. Иногда последние два символа (в отличие от первых пяти,

считающимися исходными), называют метазнаками. Роль формальных образований, аналогичных элементарным и сложным суждениям, играет еще одно ключевое понятие символической логики (и всей математики — понятие «формула».

Определение формулы логики высказываний:

1) пропозициональная переменная есть формула;

49

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

2)если А есть произвольная формула, то fA — тоже формула;

3)если А и В суть произвольные формулы, то А ë В, А ] В, А Ð В, А d В суть формулы.

Никаких других формул, кроме указанных в пунктах 1) — 3) в логике высказываний нет.

Заглавные латинские буквы А и В принадлежат не языку логики высказываний, а метаязыку, то есть, языку, на котором мы говорим об этой логике. Они служат для обозначения произвольных формул, записанных на языке переменных, и называются метабуквами, или метапеременными. Строго говоря, выражения, содержащие метабуквы, являются не формулами, а схемами формул. Относительно любого выражения можно решить является ли оно формулой логики высказываний, проверив, соответствует ли оно приведенному определению формулы.

Например, последовательность знаков:

(((p ë q) ] f r) Ð (( r d p )) ë q)

является формулой этой логики, что подтверждается следующим образом:

1.Пропозициональные переменные p и q являются формула-

ми. Тогда, обозначив переменную буквой А, а переменную q букой B, выясняем, что p ë q тоже формула. Выражение f r , согласно определению, тоже является формулой.

2.Обозначение p исходного выражения является формулой. Аналогичны рассуждении о правой его части.

3.Значит, вся исходная последовательность является фор-

мулой логики высказываний.

Любая часть формулы, которая сама является формулой, называется подформулой этой формулы. Например, подформулами анализируемой выше формулы являются переменные p, q, r (каждая из которых входит в формулу дважды), а также f r, p ë q и ((p ë q) ] f r). Вся формула считается частью (подформулой) самой себя. Подформулы А и В в формуле А Ð В (соответственно, в формуле А ] В) называются конъюнктами (соответственно, дизъюнктами). В формуле p ë q переменная p называется антецедентом, а q — консеквентом.

50